Определение показательной, логарифмической и степенной функций
Определение показательной, логарифмической и степенной функций.
Показательная функция.
Функция 
непрерывна и строго монотонна на 
, поэтому у нее существует непрерывная обратная, тоже определенная на всей полуоси 
. То есть для любого положительного действительного числа 
и произвольного натурального 
найдется единственное число 
(корень 
степени из ) такое, что 
, его обозначают 
. Определим показательную функцию для рациональных значений аргумента по формуле 
.
Функция 
будет монотонной на 
, а именно, монотонно возрастающей при 
и, соответственно, убывающей при 
. Поэтому, так как
,
то 
, если 
. Из последнего соотношения вытекает свойство, которое мы назовем непрерывностью показательной функции на множестве рациональных чисел.
Утверждение. Если последовательности рациональных чисел 
и 
ограничены и 
, то 
.
Рассмотрим теперь произвольное действительное число . Обозначим через 
множество рациональных точек, лежащих левее точки , а через 
множество значений показательной функции в точках множества :
.
Через 
обозначим множество рациональных точек, лежащих правее точки и, соответственно через 
множество значений показательной функции в этих точках.
.
Из монотонности показательной функции на множестве рациональных чисел следует, что множество лежит левее множества , поэтому в силу аксиомы непрерывности существует такое число, которое мы обозначим через 
, что 
для всех 
и 
.
Поскольку расстояние между точками множеств и может быть сколь угодно малым, то из непрерывности показательной функции на множестве рациональных чисел следует, что точки множеств и тоже могут лежать сколь угодно близко. Поэтому число - единственное.
Определение. Отображение 
называется показательной или экспоненциальной функцией при основании .
Монотонность и непрерывность показательной функции на 
вытекает из монотонности и непрерывности ее на множестве .
Функция обладает следующими свойствами
.
Замечание. Из непрерывности показательной функции и того, что
,
,
следует, что множество значений функции 
- полуось 
.