Дифференцируемость функций нескольких переменных

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде . (1) При этом линейная часть приращения дифференцируемой функции называется ее дифференциалом в точке , что записывается…

Замечание.

где - бесконечно малые функции при . Доказательство., поскольку . С другой стороны,

Замечание.

где - бесконечно малые функции при . Если , то . То есть в случае независимой переменной . Аналогично и . Поэтому … .

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Доказательство. Функция непрерывна в точке , если . Если же функция дифференцируема в данной точке, то . Обратное неверно, а именно, существуют непрерывные в точке функции, недифференцируемые в этой точке.

Частные производные функции нескольких переменных.

Определение. Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению переменной называется величина . Аналогично определяется частное приращение