Дифференцируемость функций нескольких переменных
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде
. (1)
При этом линейная часть приращения дифференцируемой функции называется ее дифференциалом в точке , что записывается…
где - бесконечно малые функции при .
Доказательство.,
поскольку . С другой стороны,
где - бесконечно малые функции при .
Если , то . То есть в случае независимой переменной . Аналогично и . Поэтому
… .
Доказательство. Функция непрерывна в точке , если . Если же функция дифференцируема в данной точке, то
.
Обратное неверно, а именно, существуют непрерывные в точке функции, недифференцируемые в этой точке.
Определение. Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению переменной называется величина
.
Аналогично определяется частное приращение