МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ЛЕКЦИЯ № 7

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПЛАН

1. Формула Ньютона – Лейбница.

2. Дальнейшие свойства определенного интеграла.

3. Методы интегрирования определенных интегралов

 

Вычисление определенного интеграла по формуле

Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим простой способ вычисления…   Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и F(x) –

2.

2.1.Определенный интеграл вида , где x – независимая переменная, называется определенным интегралом с переменным верхним пределом, понятно, что результатом интегрирования будет функция от x.

 

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

(3)

Оценка интеграла.

Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , (), то

. (4)

Методы интегрирования

Для нахождения определенного интеграла применяют методы интегрирования, аналогичные методам интегрирования в неопределенном интеграле. Рассмотрим основные из них.

 

Формула интегрирования по частям в определенном

Интеграле

Теорема. Пусть и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива следующая формула: . (5) Доказательство. Вывод этой формулы следует из формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла: .…

Замена переменной в определенном интеграле

Часто при вычислении определенного интеграла применяется метод замены переменной.   Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на отрезке вместе со своей производной, где и .…