Производная по направлению

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (т.е. точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Пусть дана функция z=ƒ(х; у) в окрестности точки М₀(х₀; у₀). Рассмотрим произвольный единичный вектор ; , где a и b углы между вектором и соответствующими осями. Из точки М₀(х₀; у₀) проведем прямую М₀М с направляющим вектором . Выберем на этой прямой точку с координатами М(х₀+Dх; у₀+Dу).

Функция z=ƒ(х; у) при этом получит приращение: Δz=f(x₀+Δx, ₀y+Δy)–f(x₀, y₀).

Определение 1:Предел (если он существует)

называется производной функции в точке M₀ по направлению этой прямой и обозначается .

Формула для производной по направлению примет вид:

Итак, производная по направлению единичного вектора характеризует изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора.

Выясним, как нужно выбрать направление, чтобы производная по этому направлению была бы наибольшей.