Градиент и его свойства

Определение 1:Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается или .

Связь производной по направлению и градиента: производная функции z=ƒ(х; у) по направлению равна скалярному произведению градиента функции в указанной точке и единичного вектора заданного направления.

Из этого соотношения очевидным образом следует, что наибольшее значение будет тогда, когда , то есть, когда направление совпадает с направлением градиента.

Определение 2:Градиентом функции z=ƒ(х; у) в данной точке М₀(х₀; у₀) называется вектор, имеющий своим началом эту М₀(х₀; у₀), а своими координатами – значения частных производных функции z=ƒ(х; у) в точке М₀.

Свойства градиента:

· Градиент направлен по нормали к поверхности z=ƒ(х; у) в точке М₀.

· Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции и равен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то есть производной по этому направлению).

· Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.