Метод Крамера

Определители играют большую роль в решениях линейных систем из уравнений относительно неизвестных

Существует правило Крамерарешения системы (4), в соответствии с которым где – главный определитель системы, а – также определитель -го порядка, отличающийся от -м столбцом: он заменен столбцом из свободных членов .

Очевидно, что правило Крамера применимо, если , и при исходная система имеет единственное решение. В том случае, если и существует хотя бы один из определителей такой, что , система не имеет решений.

Если и , это означает, что хотя бы одно из уравнений исходной системы является линейной комбинацией других уравнений, и его можно удалить из системы. Остается система из уравнения относительно неизвестных. В ее левой части ищем среди определителей определитель -го порядка отличный от нуля. Берем систему с этим главным определителем, а столбец слагаемых, содержащих переменное , коэффициенты при котором не вошли в этот определитель, переносим в правую часть. Решая новую систему по правилу Крамера, получим решение, зависящее от . Если среди определителей -го порядка нет ненулевых, убираем еще одно уравнение из системы и снова ищем хотя бы один ненулевой определитель, уже -го порядка….

П р и м е р. Решим систему из предыдущего примера методом Крамера. Сначала сосчитаем главный определитель системы: . Затем найдем все определители, где столбцы главного определителя заменяются последовательно столбцами свободных членов: .

В соответствии с формулами Крамера .