Збірник задач та вправ з математики для студентів всіх технічних спеціальностей
Міністерство освіти і науки України
ХАРКІВСЬКИЙ МАШИНОБУДІВНИЙ КОЛЕДЖ
Затверджено
Методичною Радою коледжу
Протокол № 1
від 30.09. 2010 р.
Збірник задач та вправ з математики для студентів всіх технічних спеціальностей
Частина I Електронний варіантВступ
У наш час кінцевим результатом навчання повинно бути не тільки оволодіння студентами змістом навчальної дисципліни, зокрема математики, а й сформованість компетентності студента як загальної здатності особистості.
Для того, щоб досягти розуміння студентами ролі математичної компетентності для їх професійної підготовки, для розширення свого світогляду, треба на заняттях математики розглядати відповідні прикладні задачі, а також задачі, які б демонстрували практичний зміст математики, її використання у природознавстві, повсякденному житті.
Запропонований збірник містить задачі на повторення деяких питань математики в обсязі базової школи, а також задачі за темами: “Прямі і площини у просторі”, “Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл”, “Похідна та її застосування”.
Задачі різні за рівнем складності. Частина з них може бути використана для постановки проблемних питань як чисто математичних, так і технічних, для введення нових математичних понять, для гурткової роботи, а також для самостійної роботи студентів.
[до змiсту]
Задачі на повторення матеріалу
Мало знати, слід і застосовувати.
Гете
Лінійні рівняння
1. Визначити число ділень лімба Z, на яке треба повернути гвинт поперечної подачі супорта токарного верстату, якщо діаметр заготовки до обробки D = 24 мм, після обробки d = 20 мм, а ціна ділення лімба С дорівнює 0,04 мм.
2. Визначити ціну ділення лімба з вертикальної подачі консолі фрезерного верстата, якщо за половину оберту гвинта був знятий шар металу t, товщина якого 2,5 мм, а число ділень на лімбі Z дорівнює 100.
Розв’язання трикутників. Трикутник і коло
Рисунок 1 Гвинт (а) з профілем різі (б)Прямі і площини у просторі
Вивчай усе не заради марнославства,
А заради практичної користі.
Г. Ліхтенберг
Рисунок 12 Схема руху трактора для знаходження кута подовжнього нахилу 20.Знайдіть кут поперечного крену трактора, що рухається по схилу уздовж прямої, якщо відомі ті ж самі кути α і…Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл
Не в кількості знань полягає освіта, а в повному
Розумінні й майстерному застосуванні всього того, що знаєш.
Дістервег
24.Потрібно зацементувати підвал глибиною 2 м, шириною 2,5 м і довжиною 4 м.… 25.Двосхилий дах має форму 3-гранної призми; дах простягається уздовж будинку на 21м, ушир - 8,5 м, а висота даху…Похідна та її застосування
У природі немає нічого такого, в чому не проглядався б зміст якогось максимуму чи мінімуму.
Леонард Ейлер
68. Висота каменя, кинутого вертикально вгору зі швидкістю vвід землі h, x= h+ vt -, де g = 10 м/с² -прискорення вільного падіння. 1) Знайдіть залежність швидкості каменя від часу.T =5C.
76. Відомо, що вартість експлуатації мікроавтобуса "Газель" , що працює на маршруті 208 і рухається зі швидкістю v км/год., складає (144+0,04v²) грн./год. З якою швидкістю повинен рухатися мікроавтобус, щоб вартість 1 км шляху була найменшою?
77. Пункти А, В і С розташовані у вершинах рівностороннього трикутника зі сторонами 168 км. З А до В починає рухатись автомобіль зі швидкістю
30 км/год. Одночасно з В до С виїжджає автомобіль зі швидкістю 60 км/год. Через який час відстань між автомобілями буде найменшою?
78. На двох майданчиках будують два одноповерхові склади загальною площею 600 м². Вартість будівництва складу прямо пропорційна квадрату його площі. Крім того, відомо, що будівництво 1 м² на другому майданчику на 40 % дорожче, ніж на першому. Якою повинна бути площа кожного складу, щоб вартість будівництва була найменшою?
79. Радіус круга R змінюється за законом R = 4 + 2t² (см). Знайдіть, з якою швидкістю змінюється його площа в момент часу t = 2 с.
80. Щоб огородити клумбу, яка має форму кругового сектора, приготували шматок дроту довжиною 20 метрів. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була найбільшою.
81. На якій висоті необхідно повісити електричну лампу в аудиторії, щоб у точці М підлога, яка віддалена на відстані l від ортогональної проекції цієї лампи на підлогу, набула найбільшого освітлення (освітлення І =ccos
, де r – відстань від джерела світла, 
- кут падіння променя, с – стала).
82. Сила дії кругового електричного струму на невеличкий магніт, вісь якого розміщена на перпендикулярі до площини круга, що проходить через його центр, подається формулою F = 
де а – радіус круга, х – відстань від центра круга до магніту (0< х< ∞), с– стала. При якому х величина F буде найбільшою?
83. Завод Д необхідно з’єднати автомобільною дорогою з прямолінійною залізницею, на якій розміщене місто А. Відстань ДВ до залізниці дорівнює а, відстань АВ уздовж залізної дороги дорівнює l. Вартість перевезення автомо- більною дорогою в m раз дорожче від вартості перевезення залізницею (m>1). Як провести автомобільну дорогу ДР до залізниці, щоб вартість перевезення від заводу до міста була найменшою?
84. Вартість плавання судна протягом години обчислюється в гривнах емпіричною формулою вигляду а + b v³ , де а іb – сталі, а v – швидкість судна у вузлах ( вузол дорівнює 1,85 км/год ). У цій формулі стала частина витрат а відноситься до амортизації і до утримання команди, а другий член, b v³ - до вартості пального. При якій швидкості судно подолає довільну потрібну відстань з найменшими затратами?
85. Знайдіть довжину l ременю, який туго натягнутий на два шківа з радіусами r і R, якщо відстань між шківами дорівнює C.
86. При визначенні об’ємів ям, траншей, ведер та інших ємностей, що мають форму зрізаного конуса іноді користуються спрощеною формулою: V = ½ h ( s + S ) , де h – висота, s і S – площі основ конуса. З’ясуйте, завищується чи занижується при цьому реальний об’єм. Який відсоток від реального об’єму може складати похибка? Який відсоток від реального об’єму складає похибка для природної на практиці умови: 
< 2 (R і r – радіуси основ, R > r )?
87. Під яким кутом 
(рис. 21) треба збити три однакові дошки, щоб отримати жолоб найбільшої місткості?
Рисунок 21 Поперечний переріз жолоба
88. Доведіть, що з усіх прямокутних брусів (паралелепіпедів), які можна випиляти з колоди, найбільший об’єм має брус квадратного перерізу.
89. Досить раціональним вважається розпилювання колоди на квадратний брус і чотири дошки (рис. 22) з максимально можливою площею поперечного перерізу. Якої товщини дошки отримають при такому розпилюванні з колоди діаметром d?
Рисунок 22 Схема розпилювання колоди на квадратний брус і 4 дошки
90. Щоб випиляти з циліндричної колоди найменш прогінну прямокутну балку, на торці колоди проводять діаметр АВ (рис. 23), ділять його на три рівні частини і з точок ділення С і D проводять перпендикуляри до діаметру. Прямокутник АЕВF приймають за основу шуканої балки. Доведіть доцільність такого способу, враховуючи, що опір згину прямо пропорційний добутку ширини на квадрат висоти перерізу балки.
Рисунок 23 Схема випилювання балки з циліндричної колоди
91. Визначте, яким повинен бути кут примикання (рис. 24) під’їзного шляху СЕ до магістралі АВ, щоб сумарний річний пробіг автомобілів з С до А і В був якомога меншим, якщо відомо, що рух між С і А буде вдвічі інтенсивнішим за рух між С і В, а АВ = 100 км, АС = 50 км, СD = 30 км.
Рисунок 24 Схема примикання під’їзного шляху до магістралі
[до змiсту]
Приклади розв’язання задач