Збірник задач та вправ з математики для студентів всіх технічних спеціальностей

80. Щоб огородити клумбу, яка має форму кругового сектора, приготували шматок дроту довжиною 20 метрів. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була найбільшою.

81. На якій висоті необхідно повісити електричну лампу в аудиторії, щоб у точці М підлога, яка віддалена на відстані l від ортогональної проекції цієї лампи на підлогу, набула найбільшого освітлення (освітлення І =ccos, де r – відстань від джерела світла, - кут падіння променя, с – стала).

82. Сила дії кругового електричного струму на невеличкий магніт, вісь якого розміщена на перпендикулярі до площини круга, що проходить через його центр, подається формулою F = де а – радіус круга, х – відстань від центра круга до магніту (0< х< ∞), с– стала. При якому х величина F буде найбільшою?

83. Завод Д необхідно з’єднати автомобільною дорогою з прямолінійною залізницею, на якій розміщене місто А. Відстань ДВ до залізниці дорівнює а, відстань АВ уздовж залізної дороги дорівнює l. Вартість перевезення автомо- більною дорогою в m раз дорожче від вартості перевезення залізницею (m>1). Як провести автомобільну дорогу ДР до залізниці, щоб вартість перевезення від заводу до міста була найменшою?

84. Вартість плавання судна протягом години обчислюється в гривнах емпіричною формулою вигляду а + b v³ , де а іb – сталі, а v – швидкість судна у вузлах ( вузол дорівнює 1,85 км/год ). У цій формулі стала частина витрат а відноситься до амортизації і до утримання команди, а другий член, b v³ - до вартості пального. При якій швидкості судно подолає довільну потрібну відстань з найменшими затратами?

85. Знайдіть довжину l ременю, який туго натягнутий на два шківа з радіусами r і R, якщо відстань між шківами дорівнює C.

86. При визначенні об’ємів ям, траншей, ведер та інших ємностей, що мають форму зрізаного конуса іноді користуються спрощеною формулою: V = ½ h ( s + S ) , де h – висота, s і S – площі основ конуса. З’ясуйте, завищується чи занижується при цьому реальний об’єм. Який відсоток від реального об’єму може складати похибка? Який відсоток від реального об’єму складає похибка для природної на практиці умови: < 2 (R і r – радіуси основ, R > r )?

87. Під яким кутом (рис. 21) треба збити три однакові дошки, щоб отримати жолоб найбільшої місткості?

Рисунок 21 Поперечний переріз жолоба

88. Доведіть, що з усіх прямокутних брусів (паралелепіпедів), які можна випиляти з колоди, найбільший об’єм має брус квадратного перерізу.

89. Досить раціональним вважається розпилювання колоди на квадратний брус і чотири дошки (рис. 22) з максимально можливою площею поперечного перерізу. Якої товщини дошки отримають при такому розпилюванні з колоди діаметром d?

Рисунок 22 Схема розпилювання колоди на квадратний брус і 4 дошки

90. Щоб випиляти з циліндричної колоди найменш прогінну прямокутну балку, на торці колоди проводять діаметр АВ (рис. 23), ділять його на три рівні частини і з точок ділення С і D проводять перпендикуляри до діаметру. Прямокутник АЕВF приймають за основу шуканої балки. Доведіть доцільність такого способу, враховуючи, що опір згину прямо пропорційний добутку ширини на квадрат висоти перерізу балки.

Рисунок 23 Схема випилювання балки з циліндричної колоди

91. Визначте, яким повинен бути кут примикання (рис. 24) під’їзного шляху СЕ до магістралі АВ, щоб сумарний річний пробіг автомобілів з С до А і В був якомога меншим, якщо відомо, що рух між С і А буде вдвічі інтенсивнішим за рух між С і В, а АВ = 100 км, АС = 50 км, СD = 30 км.

Рисунок 24 Схема примикання під’їзного шляху до магістралі

[до змiсту]