Системы линейных алгебраических уравнений

Определители:

Вычисление определителя порядка п=2:

 

порядка п=3 (и выше):

(аналогичное разложение допустимо для любой строки или столбца)

 

 

Системы линейных алгебраических уравнений

Метод Крамера

 

, , ,

1) При : .

2) При система несовместна.

3) При система требует исследования другими методами.

 

Метод Гаусса:

 

Расширенная матрица системы т уравнений с п неизвестными (составленная из всех коэффициентов и правых частей уравнений) приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований над строками. При этом количество уравнений может уменьшиться с т до .

 

Число независимых (базисных) переменных определяется разностью между общим количеством переменных (п) и числом оставшихся в системе уравнений (r).Через n-r базисные переменные выражаются оставшиеся (зависимые) r переменные (начиная с нижнего, самого короткого уравнения).

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Коллинеарные векторы: || ||т, ||т (т – некоторая прямая) Компланарные векторы: ||ω, ||ω, ||ω (ω – некоторая… Ортогональная проекция вектора на вектор :

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Окрестность точки

r-окрестность:

Ограниченные множества:

А ограничено сверху: (верхняя граница):

А ограничено снизу (нижняя граница):

А ограничено :

Минимум множества:

Максимум множества:

Верхняя грань (точная верхняя граница) – наименьшая из верхних границ:

Нижняя грань (точная нижняя граница) – наибольшая из нижних границ:

 

Последовательность: или

Монотонная последовательность:

возрастающая -

убывающая -

Ограниченная последовательность:

 

Предел последовательности а_п:

Если последовательность ограничена и монотонна, она сходится (имеет предел).

Сходящаяся последовательность ограничена.

 

Второй замечательный предел:

 

Предел функции в точке

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малая функция в точке :

Бесконечно большая функция в точке :

 

Теорема. ;

Сравнение бесконечно малых:

Если и , то и - бесконечно малые одного порядка.

При с=1 и эквивалентны: ~.

При с=0 -бесконечно малая большего порядка малости относительно

Первый замечательный предел:

Следствия: (при ) ~, ~, ~, ~

Второй замечательный предел:

Следствия: (при ) ~, ~

Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , если

Если х₀ – точка разрыва,

1. – х₀ разрыв I рода, (В-А) – скачок (А=В – устранимый разрыв)

2. – х₀ разрыв II рода

 

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Геометрически производная – угловой коэффициент касательной к графику…

Таблица производных

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Производная сложно-показательной функции

Дифференциал: (где )

 

ТеоремаЛагранжа (формула конечных приращений):

или

ТеоремаЛопиталя:

 

Исследование функций

1.Если возрастает (убывает), то .

2.Если , то возрастает (убывает).

3.(т.Ферма) Если - т. extr, и существует , то .

4.Если в т. , то при () - т. min (- т. max).

5.Если на (), то функция выпукла вниз (вверх).

6.Наклонная асимптота y=kx+b, где

Формула Тейлора

Формула Маклорена (х₀=0):

ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Таблица неопределенных интегралов

1.

2.

3.

4. 8.

5. 9.

6. 10.

7. 11.

12.

13.

14. 16.

15. 17.

-------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям

Основные подстановки:

1.:

, где

2.

3.

4.

5. : , ,

Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин, объемов

Площадь плоской фигуры

1.:

2.:

3.:

Длина дуги плоской кривой

Объем тела вращения

Площадь поверхности вращения

 

Несобственные интегралы

Первого рода:

Второго рода:

Признаки сходимости

1) Если неотрицательные функции таковы, что , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

2) Если неотрицательные функции таковы, что , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Дифференцирование функции двух переменных

Градиент:

Производная по направлению

Дифференциал функции двух переменных

Первого порядка:

Второго порядка:

 

Экстремум функции двух переменных

 

Локальный экстремум

- т. max (min) функции , если:

1.

2.

1)

2)

3)

4) - требуется дополнительное исследование

 

Условный экстремум

Экстремумы функции при дополнительном условии соответствуют экстремумам функции Лагранжа , которые находятся из условий

 

Числовой ряд

Сумма ряда – предел последовательности частичных сумм:

, где

Необходимое условие сходимости – если ряд сходится, то .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов ().

Признак сравнения

2) При ряды и сходятся или расходятся одновременно. 2. Признак Коши (радикальный)

Признак Даламбера

Ряд сходится при , расходится при . 4. Признак Коши (интегральный) Если монотонно убывающая неотрицательная функция такова, что , то ряд сходится или расходится одновременно с…

Ряд Тейлора

или Ряд Тейлора для некоторых функций: (сходится при )