Лекция 1. Матрицы и действия над ними.
Основные понятия и определения.
Матрицы впервые появились в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1809-1865) и А.Кэли (1821-1895).
Примечание: Уильям Гамильтон – ирландский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1837);
Артур Кэли (Кейли) – английский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1870).
В настоящее время матрицы широко используются в прикладной математике, в частности, представляют собой удобный аппарат для компактной записи и последующего исследования и решения систем линейных уравнений.
Матрицей типа (размера) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из чисел, которые расположены в m строках и n столбцах.
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Их обозначают строчными буквами с двумя индексами, например, , где i- номер строки ( ), j- номер столбца ( ), в которых расположен этот элемент.
Матрицы обозначают
Иногда используют обозначение матриц:
Соответственно элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки; j- номер столбца.
Сокращенные обозначения:
Используется также обозначение .
Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой А, В и т.д. При необходимости указать тип (размер) матрицы используют обозначения Используется также обозначение или
Набор называется i-й строкой матрицы А, набор
называется j- м столбцом матрицы А.
Рядом матрицы называется строка или столбец.
Элемент матрицы, стоящий в i-той строке и j- том столбце может также обозначаться . Чаще обозначается .
Элементами матрицы могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты: функции, многочлены, матрицы, например:
Мы будем рассматривать только числовые матрицы, т.е. матрицы, составленные из действительных чисел. Множество всех числовых матриц типа m×n , элементами которых являются действительные числа, обозначаются . Здесь - обозначение множества действительных чисел ( - множество комплексных чисел).
Если матрица имеет тип 1×n, т.е. у матрицы всего одна строка , то матрицу называют матрицей - строкой. Индекс строки можно опустить . Число элементов в матрице- строке называют ее длиной: n- длина матрицы- строки.
Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец
,
то ее называют матрицей- столбцом. Число элементов в матрице- столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить
.
Матрицу- строку и матрицу- столбец можно обозначать и .
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-строка или вектор – столбецсоответственно).
Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа отождествляется с этим числом, т.е. (5)1×1 есть 5.
Иногда бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов.
Пусть
векторы - столбцы матрицы А.
Пусть
векторы - строки матрицы А.
Тогда матрицу А можно записать в виде столбца из строк
,
или в виде строки из столбцов
.
Подматрицей матрицы А размера m×n называется матрица A' размера r×s, составленная из элементов матрицы А, находящихся на пересечении выбранных r строк и s столбцов. Номера выбранных строк и столбцов должны следовать в порядке возрастания.
Пример 1.
(строк r=3, столбцов s=4), подматрица матрицы А будет иметь вид
.
Пример 2.
.
Подматрица, состоящая из трех строк и двух столбцов, в данном случае имеет вид
.
Квадратной матрицей порядка n называется матрица, которая имеет столько же столбцов, сколько и строк m=n
Порядок – это число строк (столбцов) квадратной матрицы.
При m≠n – матрица прямоугольная.
Последовательность элементов квадратных матриц называется главной диагональю. Элементы главной диагонали называются диагональными.
Последовательность элементов квадратных матриц называется побочной диагональю.
Понятие главной диагонали и диагонального элемента распространяется и на прямоугольные матрицы.
Пример.
.
Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали, равны нулю
.
Обозначается .
Единичная матрица – диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице. Обозначается буквой Е, или I
Нулевая матрица – прямоугольная матрица типа m×n, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой Θ или O
.
Верхняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю равны нулю.
Нижняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.
Пример.
Трехдиагональные матрицы – квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные и соседние с ними в строке (или в столбце).
Пример.
.
Верхняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.
Нижняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.
Пример.
, .
Ступенчатая матрица (матрица ступенчатого вида) – прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
Примеры.
,
, , .
С точки зрения программирования матрицы – это двумерные массивы чисел.
Действия над матрицами.
Линейные операции над матрицами.
Линейные операции над матрицами – это умножение матриц на число и сложение матриц.
Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковый размер (тип) m×n, и если у них совпадают соответствующие элементы, т.е. . Обозначение А=В.
Суммой матриц и типа m×n называют матрицу того же типа m×n с элементами .
Обозначение
Пример.
.
Свойства операции умножения.
1. Умножение ассоциативно, т. е.
.
2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.
.
3. А*Е=Е*А=А, где Е – единичная матрица ( для квадратной матрицы А порядка n матрица Е также имеет порядок n).
4. Для любой квадратной матрицы А порядка n и нулевой матрицы О порядка n выполняется равенство А*О=О.
5. Для любых матриц А и В типов m×n и n×k выполняется равенство , т.е. транспонирование произведения двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц:
.
Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения матрицы в натуральную степень:
.
Две степени и одной и той же квадратной матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочными .
Нулевая степень квадратной матрицы , где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида
,
где - действительные числа, т.е. многочлены от матричного аргумента.
Пример. Вычислим значение квадратного трехчлена для квадратной матрицы
.
Поскольку , то .
Вычислив
,
находим
.
Транспонирование блочной матрицы.
При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежат и ее элементы.
Пример:
.
Транспонируем блочную матрицу
Критерий линейной зависимости матриц.
Система из k>1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.
Следствия.
Если некоторые из матриц составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система линейно зависима.
Если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.
Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.
Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц , то коэффициенты разложения определены однозначно.
Приведение матриц к ступенчатому виду с помощью
Основные свойства обратной матрицы.
1. (А-1)-1=А.
2. (А×В)-1=В-1×А-1.
3. (АТ)-1=(А-1)Т.
Способ вычисления обратной матрицы.
1. Пусть имеем квадратную матрицу А порядка n. Составим матрицу D размеров n×2n, приписав к матрице А справа единичную матрицу порядка n.
2. Элементарными преобразованиями строк преобразуем D так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу.
3. Тогда правая половина превратится в матрицу А-1.
Более подробно способы вычисления обратной матрицы будут рассмотрены ниже.
Из экзаменационных вопросов.
1. Матрицы, виды матриц.
2. Операции над матрицами и их свойства.
3. Блочные матрицы.
4. Теорема о произведении блочных матриц.
5. Элементарные преобразования матриц.
6. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Свойства.
Литература.
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Учебник. Т.1. Изд. 4-е. – М.: (в 2 ч.). Ч.1/ Дмитрий Письменный. – 10-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2010. – 288 с.: ил. – (Высшее образование). Стр. 10 – 14.
2. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т.1. Изд. 4 – е. – М.: Едиториал УРС, 2012. – 336 с. Стр. 75 – 90.
3. Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 392 с., ил. Стр. 151 -155.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – 10 – е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с. Стр. 114 - 132.
5. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 4 – е изд., испр. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд. – во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. III). Стр. 155 – 182.