Измерение силы и тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для оценивания силы и тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, показывая, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где – общая дисперсия признака Y;

– межгрупповая дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство=1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 9 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчёт по формуле (11):

Для расчёта общей дисперсии применяется вспомогательная табл.10.

Таблица 10

Вспомогательная таблица для расчёта общей дисперсии

Номер банка п/п	Прибыль, млн руб.
	45,1	-11,803	139,3187	2034,01
	6,2	-50,703	2570,8280	38,44
	67,0	10,097	101,9427	4489,00
	27,3	-29,603	876,3573	745,29
	62,5	5,597	31,3227	3906,25
	60,0	3,097	9,5893	3600,00
	16,9	-40,003	1600,2667	285,61
	20,9	-36,003	1296,2400	436,81
	65,0	8,097	65,5560	4225,00
	16,0	-40,903	1673,0827	256,00
	69,0	12,097	146,3293	4761,00
	35,0	-21,903	479,7560	1225,00
	53,4	-3,503	12,2733	2851,56
	66,2	9,297	86,4280	4382,44
	56,0	-0,903	0,8160	3136,00
	58,0	1,097	1,2027	3364,00
	47,0	-9,903	98,0760	2209,00
	64,7	7,797	60,7880	4186,09
	46,2	-10,703	114,5613	2134,44
	53,7	-3,203	10,2613	2883,69
	67,0	10,097	101,9427	4489,00
	68,0	11,097	123,1360	4624,00
	70,0	13,097	171,5227	4900,00
	80,1	23,197	538,0853	6416,01
	67,7	10,797	116,5680	4583,29
	72,0	15,097	227,9093	5184,00
	84,0	27,097	734,2293	7056,00
	87,0	30,097	905,8093	7569,00
	90,2	33,297	1108,6680	8136,04
	85,0	28,097	789,4227	7225,00
Итого	1707,1	1650,197	14192,2897	111331,97

 

Расчёт общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

– квадрат средней величины значений результативного признака.

 

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где –групповые средние;

– общая средняя;

–число единиц в j-ой группе;

k – число групп.

Для расчёта межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 11. При этом используются групповые средние значения из табл.9 (графа 5).

Таблица 11

Вспомогательная таблица для расчёта межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру кредитных вложений, млн руб.	Число банков,	Среднее значение в группе,
40 – 90		16,800	-40,103	4824,8320
90 – 140		40,216	-16,687	1670,6690
140 – 190		59,283	2,380	67,9728
190 – 240		78,222	21,319	4090,4552
Итого		56,903	x	10653,9291

 

Расчёт межгрупповой дисперсии по формуле (13):

Расчёт эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 75,07%

Вывод. 75,07% вариации суммы прибыли банков обусловлено вариацией объёма кредитных вложений, а 24,93% – влиянием прочих неучтённых факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чеддока (табл. 12):

Таблица 12