рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Отображения (функции)
Реферат Курсовая Конспект
Отображения (функции)
Отображения (функции) - раздел Математика, ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ С Понятием «Функция»В Некоторых Частных Случаях Вы Познакомил...
С понятием «функция»в некоторых частных случаях вы познакомились в школе. Приведем общее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть A, B - множества. Отображением(функцией) f из A в B называется правило, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B. Обозначение: . Если aÎA, то сопоставленный ему элемент обозначается f(a).
Примеры.
1. Функции x, sin x, x2 отображают множество вещественных чисел в то же множество.
2. Функция , определенная правилом
, где b – фиксированный элемент множества B это постоянная функция.
3. Тождественная функция , определенная по правилу Обозначение от слова «identification».
Введем важные понятия образа и прообраза множества при отображении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Образом множестваA1ÌA при отображении называется множество
.
Прообразом множестваB1ÌB при отображении называется множество . Образом и прообразом пустого множества по определению являются пустые множества.
Примеры. Образом множества [-1,1] при отображении x2 является отрезок [0,1]. Прообраз одноэлементного множества {1} при этом отображении это двухэлементное множество {-1,1}. Образом любого непустого множества при постоянном отображении из примера 2 является одноэлементное множество {b}. При отображении из примера 2 прообраз любого множества, содержащего элемент b, есть множество A; прообраз есть Æ, если множество B1 элемента b не содержит. Прообраз и образ любого множества при тождественном отображении совпадают с этим множеством.
Определим две операции над отображениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть и отображения. Их композицией (суперпозицией)называется отображение
, определенное по правилу .
Говорить о коммутативности введенной операции не имеет смысла, поскольку в общем случае отображение не определено. Даже если отображение определено, то совпадать с оно не обязано. Например, если f=sin x, g=x2, то . Это разные функции. Например, первая неотрицательная, вторая нет.
В то же время операция суперпозиции является ассоциативной. Если , , то отображения и совпадают (проверьте это!). Как обычно, ассоциативность позволяет опускать скобки!
Справедливы также очевидные свойства
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение называется обратнымк отображению ,если .
Ранее символ использовался для обозначения прообраза множества. Из контекста обычно ясно, о чем идет речь: понятие прообраза применимо к множествам, а обратного отображения – к отдельным элементам.
Не всякое отображение имеет обратное. Проверьте, например, что не существует обратного отображение к x2:R®R. Отображение, которое имеет обратное, называется обратимым.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.Если отображения и обратимы, то отображение также обратимое, причем .
Доказательство. Для доказательства достаточно проверить тождества из определения.
.
.
Здесь использована ассоциативность композиции и простые тождества, приведенные ранее. Это равенство имеет простую интерпретацию. Вы, когда одеваетесь, сначала надеваете пиджак, потом пальто. При раздевании последовательность действий противоположная.
Важную роль в дальнейшем играет один класс отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отображение называется взаимно однозначным соответствием (биекцией), если
1.
2. Из условияf(a1)= f(a2) следует, что a1= a2.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Суперпозиция взаимно однозначных соответствий является взаимно однозначным соответствием.
Доказательство. Пусть , - взаимно однозначные соответствия.
1. в силу свойства 1 взаимно однозначных соответствий.
2. Пусть (a1)= (a2). Из условия и взаимной однозначности отображения следует, что , отсюда в силу взаимной однозначности отображения следует, что a1= a2, что и требовалось.
Существует тесная связь между обратимостью и взаимной однозначностью.
Теорема 4. Отображение является обратимым тогда и только тогда, когда оно является взаимно однозначным соответствием.
Доказательство. 1. Пусть отображение обратимо, т.е. существует обратное отображение . Пусть yÎB, . По определению обратного отображения, , т.е.
Отсюда поскольку y – произвольный элемент B, получаем: . Пусть теперь f(a1)= f(a2). Применим к обеим частям этого равенства обратное отображение . Тогда f(a1))= f(a2))= a2. Тем самым отображение f является взаимно однозначным.
2. Пусть теперь отображение взаимно однозначное. Рассмотрим прообраз одноэлементного множества . В силу первого свойства взаимно однозначного отображения , в силу второго свойства это множество состоит из одного элемента. Положим , если (смысл символа в этих выражениях различен!). Проверьте, что это отображение является обратным к f.
Понятие обратной функции знакомо из школьного курса математики, однако, там изложение было несколько запутанным. Например, знаете ли вы, каковы обратные функции для функций
sin x, x2:R® R (R – множество вещественных чисел)? Многим ответ покажется странным: таких функций… не существует! Во-первых, значения этих функций не совпадают с множеством всех вещественных чисел (для sin x область значений [-1,1], для x2 – [0,¥)). Кроме того, (-1)2=12=1, sin 0=sin p=0, т.е. значения этих функций в разных точках совпадают.
Что же тогда такое arcsin, например? Рассмотрим те же функции, но будем считать, что они заданы на меньших множествах:
.
Эти отображения являются взаимно однозначными, следовательно по доказанной теореме являются обратимыми. Обратные отображения обозначают arcsin x и . Проанализируйте самостоятельно функции cos, tg, ctg.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.Отображение, обратное к взаимно однозначному соответствию, также является взаимно однозначным соответствием.
Это фактически доказано при доказательстве предыдущей теоремы.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Отображения (функции)
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.022 сек.
Новости и инфо для студентов