Структурные средние величины

Для характеристики структуры совокупности применяют особые показатели, которые называют структурными средними. В отличии от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, структурные средние характеризуют величину признака, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся медиана и мода.

Модой называется значение варианта, который чаще всего встречается в совокупности.

Медианой называется варианта, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части — со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Определим моду и медиану по несгруппированным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,5; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для определения медианы необходимо ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3;4,4; 4,5; 4,5; 4,6; 4,6.

Центральной в этом ряду является цена4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианной.

Если ранжированный ряд включает четное число вариант, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 367 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака необходимо найти накопленные частоты. В дискретных рядах распределения медиане соответствует значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые превышает половине объема совокупности. Для цены 365 руб. сумма накопленных частот (116предприятий) впервые превышает половине объема совокупности (95 предприятий), следовательно она и будет медианной ценой.

В интервальном вариационном ряду мода находится внутри модального интервала, который имеет наибольшую частоту и определяется по формуле:

(11)

где мода, нижняя граница модального интервала, величина модального интервала, частота модального интервала, частота интервала, предшествующего модальному, частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная половине общей суммы частот или превышающая эту сумму, и определяется по формуле:

(12)

где медиана; начальное значение интервала, содержащего медиану; величина медианного интервала; сумма частот ряда, сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу, частота медианного интервала.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Второй квартиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только для первого квартиля (Q₁) берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 суммы накопленных частот, а для третьего квартиля (Q₃) берется интервал, содержащий варианту, отсекающую 3/4 суммы накопленных частот. Формулы расчета первого и третьего квартилей будут иметь вид:

(13)

. (14)

Приведем пример расчета моды, медианы и квартилей по данным табл.7.

Таблица 7 - Распределение предприятий района по сумме прибыли

В нашем примере модальный и медианный интервалы совпадают.

Следовательно, в районе преобладают предприятия, получающие прибыль в размере 222 тыс. руб.

Это значит, что половина всех предприятий района имеет прибыль меньше 215 тыс.руб., а другая половина больше 215 тыс.руб.

Расчет квартилей показывает, что 25% всех предприятий района поручают прибыль до 164 тыс.руб., другая четверть предприятий имеет прибыль от 164 до 512 тыс.руб., третья четверть - от 512 до 256 тыс. руб., а остальные 25% - свыше 256 тыс.руб.