рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Понятие евклидова пространства.

Понятие евклидова пространства. - раздел Математика, Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства Опр. Линейное Пространство Называется Евклидовым, Если На Нем Введена ...

Опр. Линейное пространство называется евклидовым, если на нем введена операция скалярного произведения, ставящая в соответствия любым векторам х и у Є L число x × y, обладающее (удовлетворяющее) следующим свойствам:

1° x × y= y × x

2° (lx) y= l(xy)

3° x (y + z)= xy + xz

4° x × x ³ 0,причем скалярный квадрат x × x= 0, х= 0

В Евклидовых пространствах можно ввести понятие длины вектора│j│= и угол между векторами cos j =

Нужно показать, что ïcos j ï£ 1 для этого докажем неравенство Коши - Ьуняковского (Шварца):

0£│a × b│£│a││b│

Док-во: Рассмотрим скалярный квадрат (a- lb)(a- lb)= a × a- la × b- l a × b + l2b× b= │a│2- 2la × b+ l2│b│2³ 0 как скалярный квадрат.

Последнее неравенство рассмотрим как квадратное относительно l.

l2│b│2- 2abl + │a│2³ 0

Дискриминант D£ 0, D= b2- 4ac= (-2ab)2- 4│b│2│a│2£ 0

4(ab) 2- 4│b│2│a│2£ 0 ê: 4

(ab) 2£ │b│2│a│2

Извлекаем корень

0£│a × b│£│a││b│

На основании неравенства Коши - Буняковского определение cos угла между векторами Евклидова пространства корректно.

Замечание: Евклидово пространства размерности n принято обозначать En,

E2- евклидово пространство всех векторов на плоскости, E3- в пространстве.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l l ln Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов х l l... Опр Упорядоченный набор чисел участвующий в разложении вектора по базису... х n координаты вектора ЛП...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие евклидова пространства.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Элементы векторной алгебры. Линейные (векторные) пространства.
Опр. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие 8 аксиомам, т.е: 1) для любых х; у Є

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Дана система векторов а1, а2, а3, … аn Є линейному пространству L. Опр. Вектор α1 а1+ α2 а

Теорема о линейной зависимости системы векторов линейного пространства.
Теорема 1 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-

Лекция 2. Размерность и базис линейного пространства.
Опр. Если в ЛП система, состоящая из n векторов ЛНЗ, а любая система с большим количеством векторов ЛЗ, то такое пространство называется n- мерным, а n называют размерностью пространства.

Теорема о разложении вектора по базису.
Опр. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом в ЛК базисных векторов этого пространства. Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l1, l2

Лекция 3. Декартовая система координат.
Рассмотрим три не нулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, ... ,ln- это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О и расп

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Возьмем в пространстве произвольную точку М (х, у, z). Первая координата х - абсцисса- это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – ось OZ.

Проекция вектора на ось.
Опр. Проекция вектора на ось называется число модуль, которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше к

Условие коллинеарности двух векторов.

Лекция 4. Скалярное произведение векторов.
Опр. Скалярное произведение двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на cos угла между векторами. По определению a · b= │a│

Свойства скалярного произведения.
1° a · b = b · a a · b= │a││b│· cos φ= │b││a│· cos φ= b · a   2° a · b= 0, т.к. a

Возьмем два вектора в координатной форме
а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, bz)= bxi + byi + b

Лекция 5. Векторное произведение двух векторов.
Опр. Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами: 1° │с│=│a││b│sin φ

Векторные произведения координатных ортов.
i k

Векторное произведение в координатной форме.
a´b= (axi + ayi + azk)× (bxi + byi + bzk)= ax bx i× i + ax by i×

Смешанное произведение трех векторов.
Опр. Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b) · с. По определению abc. Чтобы вычислить смешанное пр

Лекция 6. Смешанное произведение в координатной форме.
Возьмем три вектора в координатной форме а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, b

Лекция 1. Плоскость в пространстве.
Опр. Любой не нулевой вектор перпендикулярный плоскости называется вектором нормали к этой плоскости. N= (A, B, C) Пусть т. М0 (x0, y0, z

Анализ общего уравнения.
1) А= 0, B, C, D ≠ 0 нет х, нормаль N= (0, B, C) скалярное произведение N· i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0, N ^ i, N ^ OX, плоскость ║OX Аналогично, В=0, нет у, плоско

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Пус

Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскости отсекает на координатных осях отрезки a- оси ОХ, b- оси ОУ, с - оси OZ.

Взаимное расположение двух плоскостей.
1) Плоскость 1 с уравнением параллельно плоскости 2 с уравнением

Прямая в пространстве.
Опр. Любой ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой. l= (m; n; p) ║прямой S- в подобиях т. М0

Лекция 2. Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей.

Переход от одних уравнений прямой к другим.
1) От канонических к параметрическим.

Взаимное расположение прямых в пространстве.
1) Прямая 1 c l1= (m1, n1, p1) ║ прямой 2 c l2=(m2, n2, p2)  

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Возьмем в пространстве плоскость α с уравнением , N= (A, B, C) и прямую а с уравнение

Различные расстояния в пространстве.
1) Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+ By+ Cz+ D=0. Рассмотрим от точки до плоскости это

Расстояние от точки до прямой.
т. М0 (3, 1, -1), прямая

Лекция 3. Прямая на плоскости.
Аналогично тому, как выводились канонические уравнения от прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости.
  Каноническое уравнение Общее уравн

Окружность.
Опр. Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности). Пусть центр окружности С (а, b) и ра

Эллипс.
Опр. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (радиусов), есть величина постоянная равная 2а большая, чем расстояние между

Гипербола.
Опр. Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная равная 2а, меньшая, чем расстояние межд

Парабола.
Опр. Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы). Расположим параболу т

Сфера в пространстве.
Опр. Сферой называют множество точек пространства равноудаленных от заданной точки (центра сферы) на заданное расстояние (радиус сферы). Пусть центр сферы С (a, b, c), радиус R, т.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги