Реферат Курсовая Конспект
Границя функції. Геометричний зміст. Односторонні границі функції - раздел Математика, Розділ 4. Вступ до математичного аналізу Зафіксуємо Певне Значення ...
|
Зафіксуємо певне значення , в околі якого функція визначена, в самій точці функція може і не існувати. Точка називаються граничною точкою множини , якщо у будь-якому околі точки існують значення відмінні від .
Означення.Функція має границю при що прямує до (або в точці ), якщо для будь-якої послідовності значень аргументу, збіжної до відповідна послідовність значень функції збігається до .
Отже, якщо
Границю функції пишуть у такому вигляді: або при або
В останніх формулах послідовність нескінченно велика. Якщо при то функцію називають нескінченно великою при .
Якщо при , то функцію називають нескінченно малою при
Наприклад, є функція нескінченно велика при і нескінченно мала при .
Приклад . Довести, що
Розглянемо різницю між і
В знаменнику величина нескінченно велика, а чисельник цього дробу стала величина. Отже, дріб буде нескінченно малою. Таким чином, різниця між і числом є нескінченно малою, а це означає, що
Приклад . Довести, що не існує.
Функція визначена для всіх . Візьмемо послідовність значень аргументу прямує до нуля;
, а тоді
Візьмемо другу послідовність аргументу
Послідовність значень функції
Отже, не існує, тому що для двох різних послідовностей значень , що збігаються до нуля, одержані різні границі відповідних послідовностей значень функцій.
Наведемо означення границі функції за Коші.
Означення .Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім можливо, самої точки . Число називають границею функції в точці , тобто якщо для довільного числа існує таке число що нерівність виконується для всіх
Геометричний зміст границі функції. Якщо число є границею функції при то який би малий -окіл точки ми не взяли, знайдеться такий окіл точки , що для всіх відповідні значення функції містяться в смузі шириною (рис.6.2).
Рис.6.2
Звернемо увагу на поняття односторонніх границь функції.
Згідно з означенням границі функції співвідношення передбачає, щоб відповідні умови означення виконувались для всіх точок близьких до як справа так і зліва. Але на практиці існують функції, що поводяться по різному поблизу точки .
Наприклад,
В зв’язку з цим вводяться поняття правосторонньої та лівосторонньої границі.
Означення.Число називають границею функції зліва (справа) в точці , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу збіжної до відповідна послідовність значень функції збігається до .
Позначається: ліва границя:
,
права границя:
.
Між односторонніми границями та границею функцій в точці має місце певний зв’язок. Якщо односторонні границі функції існують і рівні , то існує , тобто .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: Розділ 4. Вступ до математичного аналізу.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Границя функції. Геометричний зміст. Односторонні границі функції
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов