Решение.

3.a.

Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя:

Проверим полученный результат:

3.b.

Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле:

Выполним проверку результата:

 

3.c.

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: тогда:

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество:

Найдём искомые коэффициенты:

а) полагая , получаем , откуда ;

б) полагая , получаем , откуда ;

в) полагая , получаем , откуда ;

Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:

3.d.

Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида:

Где - рациональная функция; - целые положительные числа. С помощью подстановки (здесь - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей ) данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

Задача 4.Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака.

Решение.Формула Симпсона или формула парабол имеет вид:

(1)

где .

Рассмотрим при тогда .

Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла.

 

 

В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов.

Так как

по формуле (1) находим

 

Задача 5.Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Решение.В соответствииопределениемнесобственных интегралов имеем

5.a.

5.b.