Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов - раздел Математика, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Пусть Функция Y=F(X) Задана Таблицей Своих Значений: ...
Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: 
, i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение (СКО) 
минимально.
Так как многочлен 
определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор кофициентов 
, минимизирующий функцию 
.
Используя необходимое условие экстремума, 
, k=0,1,-m получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов: 
, k=0,1,-m.
Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.
Запишем нормальную систему наименьших квадратов для двух простых случаев: m=0 и m=2. При m=0 многочлен примет вид: 
. Для нахождения неизвестного коэффициента 
имеем уравнение:
. Получаем, что коэффициент 
есть среднее арифметическое значений функции в заданных точках.
Если же используется многочлен второй степени 
, то нормальная система уравнений примет вид:
.
ПРИМЕР 1. Приближение функции по методу наименьших квадратов.
Пусть функция задана таблицей своих значений:
| x
| -3
| -1
|
|
|
|
| y
| -4
| -0.8
| 1.6
| 2.3
| 1.5
|
Приблизим функцию многочленом 2-ой степени. Для этого вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:
, 
, 
, 
, 
, 
Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:
Решение системы легко находится:
, 
, 
.
Таким образом, многочлен 2-ой степени найден: 
.
Предположим, что функцию f можно с высокой точностью аппроксимировать многочленом 
некоторой степени m. Если эта степень заранее неизвестна, то возникает проблема выбора оптимальной степени аппроксимирующего многочлена в условиях, когда исходные данные 
содержат случайные ошибки. Для решения этой задачи можно принять следующий алгоритм: для каждого m=0, 1, 2,.. вычисляется величина 
. За оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина 
стабилизируется или начинает возрастать.
ПРИМЕР 2. Нахождение оптимальной степени многочлена.
% Функция задана таблицей значений. Аппроксимировать её многочленом по МНК
% Введём функцию (x, f(x))
x=[0,1.13,1.5,2.25,3];
y=[4.57,0.68,0.39,-1.9,-4.4];
% Вычислим приближения с различной степенью
p0 = polyfit(x, y, 0);
p1 = polyfit(x, y, 1);
p2 = polyfit(x, y, 2);
p3 = polyfit(x, y, 3);
% Вычислим ошибки (СКО) в квадрате
y0 = polyval(p0, x);
y1 = polyval(p1, x);
y2 = polyval(p2, x);
y3 = polyval(p3, x);
err0 = 1 / (4 - 0) * sum((y - y0) .^ 2);
err1 = 1 / (4 - 1) * sum((y - y1) .^ 2);
err2 = 1 / (4 - 2) * sum((y - y2) .^ 2);
err3 = 1 / (4 - 3) * sum((y - y3) .^ 2);
% Сравнивая, видим, что лучшую точность даёт n = 1
err0
err1
err2
err3
>>
err0 = 11.0956
err1 = 0.1308
err2 = 0.1962
err3 = 0.1803
Все темы данного раздела:
Таганрог 2007
УДК 681.326.3 – 181.48(075.8)
Синютин С.А. Вычислительная математика. Учебное пособие по дисциплине «Вычислительная математика» – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 123
Ввод матриц
Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:
• вводить полный список элементов;
• загружать матрицы из внешних файлов;
• генерировать матрицы, используя встр
Индексы
Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце м
Функции
MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибко
Редактор командной строки
Различные стрелки и управляющие клавиши на вашей клавиатуре позволяют вам вызывать, редактировать и многократно использовать команды, набранные ранее. Например, предположим, что вы допустили ошибку
Создание графика
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вект
Управление осями
Функция axis имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.
Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствую
Печать графики
Опция Printв меню Fileи команда print печатают графику MATLAB. Меню Printвызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандар
Команда help
Команда help – это самый основной способ определения синтаксиса и поведения отдельных функций. Информация отображается прямо в командном окне. Например,
help magic
Сценарии и функции
MATLAB - это мощный язык программирования, также как и интерактивная вычислительная среда. Файлы, которые содержат код на языке MATLAB, называются М-файлами. Вы создаете М-файлы, используя текстово
Сценарии
Когда вы вызываете сценарий, MATLAB просто вызывает команды, содержащиеся в файле. Сценарии могут оперировать существующими данными в рабочем пространстве или они могут сами создавать эти данные. Х
Функции
Функции - это М-файлы, которые могут иметь входные и выходные возвращать. Имя М-файла и функции должно быть одним и тем же. Функции работают с переменными в пределах их собственного рабочего простр
Теория погрешностей и машинная арифметика.
Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины
Локализация корней
ПРИМЕР 1. Локализация корней (рис. 4.1).
% Локализовать корни уравнения f(x)=0, где f(x)= x^3 - cos(x) + 1
% Введём функцию f(x)
f = inline('x.^3 - cos(x)
Метод бисекции
Пусть[a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .
Метод Ньютона (метод касательных)
Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:
. Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к кор
Метод простой итерации (метод последовательных повторений)
Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации
Обусловленность задачи нахождения корня.
Пусть v корень, подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции
Интервал неопределенности корня.
Если функция непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня
Применение метода Ньютона для нахождения кратного корня.
Метод Ньютона для случая кратного корня обладает лишь линейной скоростью сходимости. Чтобы сохранить квадратичную сходимость его модифицируют следующим образом:
Методика решения алгебраического уравнения
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать т
Нормы векторов и матриц
Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Д
Обусловленность задачи
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входн
Метод Гаусса
Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.
1. Шаг. Исключим неизвестное
LU разложение матрицы
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.
Введем в рассмотрение матрицы
Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
На k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестной
Метод Холецкого
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU
Метод прогонки
Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиа
Метод Якоби
Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выраз
Метод Зейделя
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют
Метод простой итерации.
Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -
Определение параметров эмпирической зависимости
Часто из физических соображений следует, что зависимость между величинами хорошо описывается моделью вида
Многочлены Бернштейна
Предположим, что функция задана в отрезке [0,1] в точках , при некотором фиксирован
Постановка задачи интерполяции функций
Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений:
, i=0,1,...n. Требуется найти многочлен степени n
Оценка погрешности интерполяции
Если функция n+1 раз на отрезке [a,b] , содержащем узлы интерполяции , i=0,1,...n, то для погрешности интерполяц
Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция
Пусть функция f(x) интерполируется на отрезке [a, b]. Метод решения этой задачи с помощью единого многочлена для всего отрезка
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция
Первая производная. Двухточечные методы
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны
Вычисление производных второго порядка
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы (рис. 11.2):
Вычисление производных третьего порядка
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид:
Численное интегрирование
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремл
Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Требуется найти функцию , у
Численное решение задачи Коши методом Эйлера
Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках
Оценка погрешности метода Эйлера
Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:
Модификации метода Эйлера
Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет
Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера.
Пусть требуется решить нормальную систему дифференциальных уравнений:
с начальными условиями:
Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений
Системой дифференциальных уравнений называется система вида
где x - независимый аргумент;
yi
Аппроксимация функции по Фурье
Пусть функция задана в интервале . В этом случае (при наличии у нее соответствующих
Преобразование Фурье
Так называется действие, с помощью которого по заданной в интервале функции строитс
Быстрое преобразование Фурье.
В предыдущем пункте было описано дискретное преобразование Фурье - сопоставление набору значений функции набора коэффициентов
Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение)
Это уравнение описывает некоторое установившееся стационарное состояние в пространстве (x,y) в некоторой области G (16.1):
Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение)
Типичная задача, описывающая теплоперенос вдоль одномерного стержня единичной длинны при заданном начальном распределении температуры от
Новости и инфо для студентов