Методика решения алгебраического уравнения - раздел Математика, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Мы Остановимся Здесь Подробнее На Методике Решения Алгебраического Уравнения,...
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать также через ; напомним, что речь идет только о вещественных корнях.
При работе той или иной процедуры часто возникает необходимость вычислить значение при некотором ; организацию вычисления значения удобно проводить по схеме Горнера: строится рекурсия где , , так что .
Далее заметим, что из алгебры известно следующее: существует простая фор-мула, по которой устанавливается интервал (-R,R) такой, что если уравнение имеет какой-либо (напоминаем: вещественный!) корень, то он оказывается внутри этого интервала, а именно:
,
где .
Предположим теперь, что относительно производной многочлена известны интервалы ее знакопостоянства, т.е. такие точки , что на участках функция знак не меняет, а проходя через каждую из точек меняет знак. Нетрудно обосновать в этой ситуации следующие выводы: 1) если внутри интервала (-R,R) точек нет вообще и , то корней (напоминаем: вещественных!) у уравнения нет; если , то корень в интервале есть и его надо уточнить с заданной точностью; 2) если в интервале (-R,R) точки оказались, то надо просчитать в этих точках и в точках ; если среди этих значений нуля нет и все они имеют один и тот же знак, то корней (напоминаем: вещественных!) уравнение не имеет; если же среди этих значений будут числа с разными знаками, то это позволит выделить все участки, на концах которых имеет разные знаки, а внутри которых знак не меняет. К каждому такому участку применима процедура уточнения корня (деление отрезка пополам, методы хорд и касательных).
И еще одно замечание. Если вещественные корни (все) уравнения известны, то по ним полностью восстанавливаются участки знакопостоянства функции : надо просчитать между любыми двумя соседними корнями и по совокупности знаков полученных чисел сделать вывод.
Процедуру выяснения участков знакопостоянства производной можно организовать так. Вычислим производные многочлена : ; заметим, что производная - линейная функция. Поэтому участки ее знакопостоянства вычислимы. Если , то уже возможны формальные действия по описанной выше схеме по уточнению корней исходного уравнения. Если же , то решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням установим участки знакопостоянства функции ; затем решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням определим участки знакопостоянства функции и так далее, пока не окажется решенным исходное уравнение .
Полученная в процессе решения информация позволяет установить также и кратность каждого корня уравнения ; напомним, что корень уравнениясчитается имеющим кратность , если , но . В этом случае, как известно из алгебры, имеет место представление , где - многочлен степени .
Задание для самостоятельной работы
1. Определить количество корней уравнения и для каждого корня найти отрезки локализации: .
2. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения с точностью 0.3.
3. Сколько нужно сделать итераций для получения точности 0.01?
4. Методом простой итерации найти корни уравнения c точностью 0.1
5. Указание: отрицательный корень найти простым преобразованием уравнения, а положительный корень найти методом простой итерации с оптимальным выбором итерационного параметра.
6. Записать расчетную формулу метода Ньютона и указать критерий окончания итераций для решения уравнения . Вычислить два первых приближения к корню.
7. Указать критерий окончания в методе Ньютона для решения задачи: методом Ньютона найти корень уравнения с кверными значащими цифрами.
8. Записать расчетные формулы для нахождения корней и найти число обусловленности вычисления кратного корня уравнения .
9. Найти радиус интервала неопределенности корня уравнения. Предполагается, что абсолютная погрешность вычисления функции равна .
10. Найти абсолютное и относительное числа обусловленности задачи вычисления функции одной переменной.
Вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи приближенного решения нелинейного уравнения и основные этапы ее решения.
2. Докажите оценку погрешности метода бисекций.
3. Запишите расчетную формулу метода Ньютона и дайте геометрическую интерпретацию метода.
4. Что такое итерационная функция?
5. Выведете критерий окончания итераций для метода простой итерации из оценки погрешности.
6. Можно ли найти кратный корень с помощью метода бисекции?
7. Сформулируйте определения абсолютного и относительного чисел обусловленности задачи.
C А СИНЮТИН... ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА... УДК A...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Методика решения алгебраического уравнения
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ввод матриц
Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:
• вводить полный список элементов;
• загружать матрицы из внешних файлов;
• генерировать матрицы, используя встр
Индексы
Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце м
Функции
MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибко
Редактор командной строки
Различные стрелки и управляющие клавиши на вашей клавиатуре позволяют вам вызывать, редактировать и многократно использовать команды, набранные ранее. Например, предположим, что вы допустили ошибку
Создание графика
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вект
Управление осями
Функция axis имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.
Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствую
Печать графики
Опция Printв меню Fileи команда print печатают графику MATLAB. Меню Printвызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандар
Команда help
Команда help – это самый основной способ определения синтаксиса и поведения отдельных функций. Информация отображается прямо в командном окне. Например,
help magic
Сценарии и функции
MATLAB - это мощный язык программирования, также как и интерактивная вычислительная среда. Файлы, которые содержат код на языке MATLAB, называются М-файлами. Вы создаете М-файлы, используя текстово
Сценарии
Когда вы вызываете сценарий, MATLAB просто вызывает команды, содержащиеся в файле. Сценарии могут оперировать существующими данными в рабочем пространстве или они могут сами создавать эти данные. Х
Функции
Функции - это М-файлы, которые могут иметь входные и выходные возвращать. Имя М-файла и функции должно быть одним и тем же. Функции работают с переменными в пределах их собственного рабочего простр
Обусловленность задачи нахождения корня.
Пусть v корень, подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции
Нормы векторов и матриц
Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Д
Обусловленность задачи
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входн
Метод Гаусса
Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.
1. Шаг. Исключим неизвестное
LU разложение матрицы
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.
Введем в рассмотрение матрицы
Метод Холецкого
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU
Метод прогонки
Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиа
Метод Якоби
Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выраз
Метод Зейделя
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют
Метод простой итерации.
Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция
Первая производная. Двухточечные методы
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны
Вычисление производных второго порядка
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы (рис. 11.2):
Вычисление производных третьего порядка
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид:
Численное интегрирование
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремл
Оценка погрешности метода Эйлера
Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:
Модификации метода Эйлера
Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет
Новости и инфо для студентов