Многочлены Бернштейна - раздел Математика, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Предположим, Что Функция ...
Предположим, что функция 
задана в отрезке [0,1] в точках 
, при некотором фиксированном n. В этом случае можно построить многочлен Бернштейна: 
Можно доказать, что при 
многочлены 
стремятся к функции равномерно по x; кроме того, для любого конкретного целого 
имеет место предельное соотношение для производных: 
Наконец, известно, что если число 
удовлетворяет неравенству 
на всем отрезке [0,1], то для любого 
из этого отрезка выполняется неравенство: 
.
Это, конечно, позволяет оценивать ошибку, которая возникает при соответствующей интерполяционной замене.
Сказанное выше для случая функции одной переменной можно обобщить на случай двух и более переменных. Мы ограничимся обобщением только на случай двух переменных.
Итак, пусть имеется функция 
на квадрате
,
причем реально она задана в узлах решетки
,
при заранее фиксированных натуральных числах 
и 
. Построим по этой информации следующий многочлен от двух переменных:
,
где 
- биномиальные коэффициенты. Это - многочлен Бернштейна для заданной функции на заданной решетке. С его помощью так же можно осуществлять интерполяцию, принимая его значение в той или иной точке квадрата за значение самой функции. Можно доказать, что для любой точки квадрата имеет место неравенство:
,
которое позволяет оценить погрешность интерполяции. (Здесь константы 
и 
удовлетворяют в рассматриваемом квадрате неравенствам).
.
Замечание.Случай одной переменной рассматривался выше на отрезке [0, 1], а случай двух переменных - в единичном квадрате. В действительности, рассмотрения возможны на любом отрезке [a,b] и на любом прямоугольнике [a,b;c,d]. Для этого в исходной ситуации (т.е. на произвольном отрезке или на произвольном прямоугольнике нужно сделать линейную замену переменных).
Подробнее: пусть функция задана в точках 
отрезка 
, где при некотором фиксированном
Положим
тогда 
если теперь в положить 
, то возникнет ситуация функции 
, заданной уже на отрезке [0, 1]. Аналогично, в случае двух переменных надо сделать замену:
,
после чего возникнет ситуация единичного квадрата.
Задание для самостоятельной работы
1. Построить приближение таблично заданной функции по методу наименьших квадратов многочленами 0-ой, 1-ой и 2-ой степеней.
| X
| -2
| -1
|
|
|
|
| Y
| 9.9
| 5.1
| 1.9
| 1.1
| 1.9
|
Построить графики функции и найденных многочленов.
2. Функция y=a/x+b задана таблицей своих значений.
| x
| 0.1
| 0.2
| 0.5
|
| y
| 10.22
| 5.14
| 2.76
|
Найти параметры a и b по методу наименьших квадратов.
Указание. Предварительно свести задачу к линейной, сделав замену: t=1/x. Тогда функция y приближается многочленом 1-ой степени a t+b.
3. Вывести нормальную систему уравнений для определения параметров a, b, c функции g(x)=a sin(x)+b cos(x)+c, осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию таблично заданной функции y(x).
Вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи приближения функции по методу наименьших квадратов.
2. Что такое среднеквадратичное отклонение.
3. Как определить степень приближающего многочлена.
4. Из какого условия выводится нормальная система наименьших квадратов.
Все темы данного раздела:
Таганрог 2007
УДК 681.326.3 – 181.48(075.8)
Синютин С.А. Вычислительная математика. Учебное пособие по дисциплине «Вычислительная математика» – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 123
Ввод матриц
Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:
• вводить полный список элементов;
• загружать матрицы из внешних файлов;
• генерировать матрицы, используя встр
Индексы
Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце м
Функции
MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибко
Редактор командной строки
Различные стрелки и управляющие клавиши на вашей клавиатуре позволяют вам вызывать, редактировать и многократно использовать команды, набранные ранее. Например, предположим, что вы допустили ошибку
Создание графика
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вект
Управление осями
Функция axis имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.
Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствую
Печать графики
Опция Printв меню Fileи команда print печатают графику MATLAB. Меню Printвызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандар
Команда help
Команда help – это самый основной способ определения синтаксиса и поведения отдельных функций. Информация отображается прямо в командном окне. Например,
help magic
Сценарии и функции
MATLAB - это мощный язык программирования, также как и интерактивная вычислительная среда. Файлы, которые содержат код на языке MATLAB, называются М-файлами. Вы создаете М-файлы, используя текстово
Сценарии
Когда вы вызываете сценарий, MATLAB просто вызывает команды, содержащиеся в файле. Сценарии могут оперировать существующими данными в рабочем пространстве или они могут сами создавать эти данные. Х
Функции
Функции - это М-файлы, которые могут иметь входные и выходные возвращать. Имя М-файла и функции должно быть одним и тем же. Функции работают с переменными в пределах их собственного рабочего простр
Теория погрешностей и машинная арифметика.
Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины
Локализация корней
ПРИМЕР 1. Локализация корней (рис. 4.1).
% Локализовать корни уравнения f(x)=0, где f(x)= x^3 - cos(x) + 1
% Введём функцию f(x)
f = inline('x.^3 - cos(x)
Метод бисекции
Пусть[a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .
Метод Ньютона (метод касательных)
Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:
. Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к кор
Метод простой итерации (метод последовательных повторений)
Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации
Обусловленность задачи нахождения корня.
Пусть v корень, подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции
Интервал неопределенности корня.
Если функция непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня
Применение метода Ньютона для нахождения кратного корня.
Метод Ньютона для случая кратного корня обладает лишь линейной скоростью сходимости. Чтобы сохранить квадратичную сходимость его модифицируют следующим образом:
Методика решения алгебраического уравнения
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать т
Нормы векторов и матриц
Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Д
Обусловленность задачи
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входн
Метод Гаусса
Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.
1. Шаг. Исключим неизвестное
LU разложение матрицы
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.
Введем в рассмотрение матрицы
Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
На k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестной
Метод Холецкого
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU
Метод прогонки
Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиа
Метод Якоби
Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выраз
Метод Зейделя
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют
Метод простой итерации.
Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -
Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов
Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m
Определение параметров эмпирической зависимости
Часто из физических соображений следует, что зависимость между величинами хорошо описывается моделью вида
Постановка задачи интерполяции функций
Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений:
, i=0,1,...n. Требуется найти многочлен степени n
Оценка погрешности интерполяции
Если функция n+1 раз на отрезке [a,b] , содержащем узлы интерполяции , i=0,1,...n, то для погрешности интерполяц
Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция
Пусть функция f(x) интерполируется на отрезке [a, b]. Метод решения этой задачи с помощью единого многочлена для всего отрезка
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция
Первая производная. Двухточечные методы
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны
Вычисление производных второго порядка
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы (рис. 11.2):
Вычисление производных третьего порядка
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид:
Численное интегрирование
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремл
Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Требуется найти функцию , у
Численное решение задачи Коши методом Эйлера
Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках
Оценка погрешности метода Эйлера
Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:
Модификации метода Эйлера
Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет
Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера.
Пусть требуется решить нормальную систему дифференциальных уравнений:
с начальными условиями:
Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений
Системой дифференциальных уравнений называется система вида
где x - независимый аргумент;
yi
Аппроксимация функции по Фурье
Пусть функция задана в интервале . В этом случае (при наличии у нее соответствующих
Преобразование Фурье
Так называется действие, с помощью которого по заданной в интервале функции строитс
Быстрое преобразование Фурье.
В предыдущем пункте было описано дискретное преобразование Фурье - сопоставление набору значений функции набора коэффициентов
Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение)
Это уравнение описывает некоторое установившееся стационарное состояние в пространстве (x,y) в некоторой области G (16.1):
Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение)
Типичная задача, описывающая теплоперенос вдоль одномерного стержня единичной длинны при заданном начальном распределении температуры от
Новости и инфо для студентов