Замечание 1

После подстановки выражений для х и у в уравнение кривой могут получиться уравнения вида:

1) ax'²+bx'+cy'²+dy'+f=0. В этом случае полные квадраты следует выделять по переменным x' и y'.

2) ax'²+dy'+f=0 или cy'²+bx'+f=0. В этом случае уравнения следует записывать в виде:

ax'²+d(y'+ )=0 или су'²+b(x'+ )=0 и сделать замену переменных следующим образом:

x"=x' или x"=x'+

y"=y'+ y"=y'

3) ax'²+bx'+dy'+f=0 или cy'²+dy'+bx'+ f=0. В этом случае сначала необходимо выделить полные квадраты (в первом уравнении по переменной х', во втором – по у'), потом линейную часть уравнения представить так, как описано в пункте 2 этого замечания, а затем ввести замену переменных.

Таким образом, получим:

x"²+3y"²=12 или – уравнение эллипса.

1. Построим систему координат Оху (рис.2).

2. Построим систему координат Ох'y'. Для этого повернем оси на угол a=45° против часовой стрелки.

3. В системе координат Ох'y' отметим точку О'(0; ).

4. Построим систему координат О'x"y". Для этого через точку О' параллельно осям х' и y' проведем оси х" и y".

5.

x"

y

В системе координат О'x"y" построим эллипс .

x'

0'

-2

y'

y"

x

 

 

6. Определяем область решения неравенства. Построенный эллипс разбил плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. В системе координат Оху выберем произвольную точку, не лежащую на кривой, например, т.О(0;0) и подставим ее координаты в исходное равенство. 2×0²-2×0×0+2×0²+6×0-6×0-6£0, -6£0 – верно.

Значит, множеством решений неравенства будет область, которой принадлежит выбранная точка О, т.е. внутренняя часть эллипса.