Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Чтобы получить аналитические выражения прогибов и углов поворота сечений, необходимо найти решение дифференциального уравнения (1.5).

Интегрируя его первый раз, получим

. (1.6)

Это выражение определяет закон изменения углов поворота сечений (касательной) по длине балки. Уравнение изогнутой оси получим после повторного интегрирования

. (1.7)

Для вычисления интегралов в выражениях (1.6) и (1.7), необходимо сначала написать аналитические выражения изгибающего момента и жёсткости. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способа закрепления балки.

Для уяснения сказанного рассмотрим примеры:

1. Определим прогибы и углы поворота сечений балки, показанной на рис.1.1. Считаем жёсткость балки постоянной: EJ = const. Запишем уравнение изгибающего момента

M = – M_A + R_A ∙ x = – Pℓ + Px. (a)

Дифференциальное уравнение

. (б)

Интегрируя один раз, получим

. (в)

Интегрируя ещё раз, имеем

. (г)

Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных имеем следующие граничные условия:

· при х = 0 Þ ;

· при х = 0 Þ υ = 0.

Из уравнений (в) и (г) получим C = D = 0.

Очевидно, что наибольший прогиб имеет место под силой (см.рис.1.1). Подставив х = ℓ в уравнение (г), найдём

.

Знак «­–» говорит о том, что перемещение происходит вниз (в отрицательном направлении оси υ).

2. Определим прогибы и углы поворота сечений двухопорной балки постоянного сечения, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой (рис.1.3).

Рис.1.3

.

.

Так как EJ = const, ;

. (д)

. (е)

На опорах прогиб равен нулю, граничные условия:

· при х = 0 Þ υ = 0;

· при х = ℓ Þ υ = 0.

Из первого условия следует, что D = 0, из второго условия: . Следовательно, .

Найденные значения С и D подставим в уравнения (д) и (е) и получим готовые к употреблению уравнения углов поворота сечений и прогибов:

,

.

Из рис.1.3 видно, что наибольший по величине угол поворота сечения имеет место на опоре при х = 0:

;

а наибольший прогиб в середине пролёта при х = ℓ/2:

,

.

Из рассмотренных примеров очевидно, что постоянные интегрирования С и D имеют физический смысл: С – угол поворота сечения в начале координат (уравнения (в) и (д)); D – прогиб в начале координат (уравнения (г) и (е))

С = EJθ₀ , D = EJυ₀ . (1.8)

В наших примерах балки имели по одному участку. В случае произвольной нагрузки необходимо составить несколько дифференциальных уравнений, каждое из которых отвечает своему участку. Число постоянных равно удвоенному числу участков. Граничные условия приведут к системе уравнений, число которых равно числу постоянных интегрирования. Однако необходимость решения системы уравнений сильно усложняет задачу. Для балок постоянной жёсткости (EJ = const) была предложена такая форма представления решения дифференциального уравнения, которая обеспечивает равенство постоянных интегрирования на границах участков. При любом числе участков – две постоянных (1.8).