КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

 

 

КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Часть 2

 

 

Глава 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Для того чтобы судить о работе балок, недостаточно знать только напряжения, возникающие в сечениях балки от заданной нагрузки.

Напряжения позволяют проверить прочность, однако прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жёсткости. Для проверки жёсткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек её оси.

а б

Рис.1.1

На рис.1.1,а показана балка, заделанная одним концом и нагруженная сосредоточенной силой. В результате изгиба ось становится криволинейной. Точка К перемещается в положение К′. Вертикальная составляющая этого перемещения – υ_max, горизонтальная – u_max, угол наклона касательной – θ_max.

Следует отметить, что υ – это перемещение центра тяжести сечения вдоль оси у, а расстояние произвольной точки поперечного сечения от нейтральной оси z – это у (см. рис.1.1,б).

Подавляющее большинство балок, используемых в технике (валы турбин, электрических машин, мосты и пр.), очень жёсткие. Их наибольший прогиб υ_max не должен превышать 1/400 ¸ 1/1000 длины пролёта ℓ. При этом получается, что горизонтальное перемещение u меньше 1/100 ¸ 1/10000 от υ, поэтому считаем, что u = 0.

При малых прогибах υ угол наклона касательной к оси θ можно определить с помощью выражения

θ @ . (1.1)

Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.

. (1.2) Известно также из математического анализа уравнение кривизны плоской кривой … . (1.3)

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Интегрируя его первый раз, получим . (1.6) Это выражение определяет закон изменения углов поворота сечений (касательной) по длине балки. Уравнение изогнутой оси…

Метод начальных параметров

(1.9) Если принять гипотезу, что EJ = const, то дифференциальное уравнение (1.9)…

Энергетические теоремы

  1.4.1.Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил … Условимся относительно обозначений. Перемещение какой-либо точки по определённому направлению от какой-либо силы или…

Метод Мора

Поставлена задача: для упругой системы, нагруженной внешней нагрузкой, например, силой P, рис.1.14а, определить перемещение точки C по направлению… Рис.1.14  

Глава 2. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ

2.1. Общие понятия

Изложенные в предыдущей главе методы определения перемещений широко применяются в расчётах статически неопределимых балок. Если при проектировании длинных балок (мостов, валов турбин) условия прочности и (или) жёсткости не выполняются, можно увеличить сечение балки, а можно поставить дополнительные опоры в пролёте (рис.2.1,б). Второй путь очень часто оказывается предпочтительным, так как позволяет, не увеличивая вес конструкции, сделать её более жёсткой.

а
б

Рис.2.1

Балка с промежуточными опорами становится статически неопределимой, так как трёх уравнений статики уже недостаточно для определения пяти неизвестных реакций.

Напомним, что простую статически неопределимую систему, образованную из стержней, работающих на растяжение-сжатие, мы рассматривали в разделе 2.5 первой части курса. Дополнительное уравнение для определения продольных сил в стержнях – уравнение совместности деформаций – было получено из рассмотрения схемы деформирования системы. Аналогичным по существу методом рассчитываются статически неопределимые балки.

Степень статической неопределимости определяется числом «лишних» связей. Балка на рис.2.1,б имеет две «лишних» промежуточных опоры – их можно удалить без ущерба для равновесия. Степень статической неопределимости этой балки равна двум.

2.2. Расчёт методом сил

В этом методе в качестве неизвестных принимаются реакции опор или внутренние усилия. Порядок расчёта рассмотрим на примере простой балки, степень статической неопределимости которой равна единице (рис.2.2,а).

1. Отбрасываем «лишнюю» связь, превращая тем самым заданную балку в статически определимую. Полученная балка называется основной системой. В качестве «лишней неизвестной может быть взята любая, не равная нулю реакция (реакция опоры R_B или момент в заделке M_А), или изгибающий момент в любом поперечном сечении. Для рассматриваемой балки самое простое – убрать правую опору. Тогда «лишняя» неизвестная – реакция этой опоры R_B = X₁.

2. Загружаем основную систему заданной внешней нагрузкой и «лишней» неизвестной. Получим так называемую эквивалентную систему (рис.2.2,б).

3. Составляем условие совместности деформаций. Оно состоит в отрицании вертикального перемещения точки В:

, (2.1)

где ∆₁ – перемещение точки приложения силы Х₁ по направлению её действия;

– перемещение точки приложения силы Х₁, вызванное действием этой силы (рис.2.2,г);

∆_1Р – перемещение точки приложения силы Х₁, вызванное действием внешней нагрузки (рис.2.2,в).

Перемещение от неизвестной Х₁ удобно представить в виде

,

где δ₁₁ – перемещение, вызванное действием единичной силы Х₁ = 1.

Таким образом, уравнение (2.1) принимает вид

δ₁₁Х₁ + ∆_1Р = 0. (2.2)

Здесь уравнение совместности деформаций записано в стандартной (канонической) форме. Оно имеет такую форму вне зависимости от того, какая принята «лишняя» неизвестная – сила или момент.

а     б   в     г Рис.2.2

Для определения коэффициентов уравнения (2.2) можно воспользоваться любым из изложенных в главе 1 методов: методом начальных параметров или методом Мора. Обычно используют метод Мора, так как он особенно эффективен при расчёте многократно статически

неопределимых балок. Найдём коэффициенты уравнения (2.2), воспользовавшись формулой Мора и вычисляя интегралы по правилу Верещагина (рис.2.3):

,

где ω₁ – площадь эпюры ;

m₁ – ордината под центром тяжести указанной площади, измеренная на той же эпюре . Мы «перемножили» эпюру саму на себя.

Рис.2.3

.

После подстановки значений δ₁₁ и ∆_1р в (2.2) получим

.

Далее строим эпюры Q и М так же, как мы это делали при расчёте статически определимых балок (рис.2.4). Задача решена, статическая неопределённость раскрыта.

Рис.2.4

2.3. Многопролётные неразрезные балки

В машиностроении и в строительстве часто применяют статически неопределимые балки, имеющие несколько промежуточных опор, – их называют неразрезными. Существенное значение при расчёте таких балок имеет рациональный выбор основной системы.

На рис.2.5,а показана трижды статически неопределимая неразрезная балка. По первому варианту основной системы (рис.2.5,б) за неизвестные приняты опорные реакции Х₁, Х₂, Х₃. По второму варианту основной системы (рис.2.5,д) неразрезная балка превращается в четыре простых двухопорных балки постановкой шарниров над промежуточными опорами; и лишними неизвестными являются изгибающие моменты в сечениях балки над промежуточными опорами, также обозначенные Х₁, Х₂ и Х₃.

Для обоих вариантов система канонических уравнений метода сил имеет одинаковый вид

(2.3)

В первом варианте основной системы смысл канонических уравнений состоит в отрицании вертикальных перемещений опорных точек 1,2,3 оси балки. Во втором варианте смысл канонических уравнений состоит в отрицании углов раскрытия двух бесконечно близких сечений над промежуточными опорами. По первому варианту эпюра моментов от заданной нагрузки распространяется на всю балку (рис.2.5,в) и эпюра моментов от	а	Рис.2.5
б
в
г
д
е
ж
з
и

единичного усилия также распространяется на всю балку (рис.2.5,г). Каждое из уравнений системы содержит все неизвестные. По второму варианту эпюра моментов от нагрузки в каждом пролёте распространяется только на свой пролёт (рис.2.5,е), а эпюра моментов от единичных усилий – только на два соседних пролёта (рис.2.5,ж,з,и). Поэтому у нас δ₁₃ = δ₃₁ = 0. При любом количестве неизвестных в каждом уравнении системы будет не более

трёх ненулевых неизвестных Х_i. Поэтому второй вариант основной системы значительно проще, особенно – при большом числе неизвестных.

Итак, для один раз статически неопределимых балок в качестве лишней неизвестной лучше всего принимать реакцию одной из крайних опор. Для дважды и более статически неопределимых балок в качестве лишних неизвестных лучше принимать моменты на промежуточных опорах.

Рассмотрим пример расчёта дважды статически неопределимой балки (рис.2.6,а). Эквивалентная система на рис.2.6,б; лишние неизвестные – моменты на опорах. Система уравнений метода сил

(2.4)

 

 

а
б
в
г
д

Рис.2.6

Коэффициенты уравнений (2.4) находим методом Мора – Верещагина. Поскольку жёсткость балки постоянная и справа в уравнении стоит ноль, на EJ можно сократить.

- эпюру надо «умножить» саму на себя.

Для этого нарисуем эту эпюру дважды (рис.2.7):

.

Рис.2.7

- эпюру надо «умножить» на (рис.2.8):

.

Рис.2.8

- эпюру (рис.2.6,д) надо «умножить» на (рис.2.6,в):

.

.

- эпюру надо «умножить» саму на себя (рис.2.9):

.

Рис.2.9

- эпюру (рис.2.6,д) надо «умножить на (рис.2.6,г):

.

Решаем систему

Умножаем верхнее уравнение на 5 и вычитаем нижнее

20Х₁ + 5Х₂ = – 960

– Х₁ – 5Х₂ = – (–231)

19Х₁ = – 729

Получим Х₁ = –38,37 кН∙м, Х₂ = –38,53 кН∙м.

Чтобы найти опорные реакции, рассмотрим последовательно каждую балку из основной системы под действием заданной внешней нагрузки и найденных опорных моментов (рис.2.10)

Рис.2.10

 

∑М_А = 0; – q ∙ 4 ∙ 2 + R′_B ∙ 4 – 38,4 = 0;

∑у = 0; R_A – q ∙ 4 + R′_B = 0; R_A = 24 ∙ 4 – 57,6 = 38,4 кН.

∑М_В = 0; – q ∙ 4 ∙ 2 + 38,4 + R′_С ∙ 4 – 38,5 = 0;

∑у = 0; R′′_В – q ∙ 4 + R′_С = 0; R′′_В = 24 ∙ 4 – 48 = 48 кН

∑М_С = 0; 38,5 – Р ∙ 3 + R_D ∙ 6 = 0;

∑у = 0; R′′_С – Р + R_D = 0; R′′_С = 40 – 13,6 = 26,4 кН

Реакции опор:

R_A = 38,4 кН; R_В = R′_B + R′′_B = 57,6 + 48 = 105,6 кН;

R_С = R′_С + R′′_С = 48 + 26,4 = 74,4 кН; R_D = 13,6 кН.

Статическая неопределенность раскрыта, далее строим эпюры Q и М (рис.2.11). При этом не составляем аналитические выражения для Q и М по участкам, а пользуемся упрощённой методикой, изложенной в п.5.3 первой части курса.

Из рис.2.11 видно, что в неразрезных балках изгибающий момент на опорах примерно равен (а зачастую и больше) изгибающему моменту в пролёте. Именно поэтому у большинства Санкт-Петербургских мостов через Неву высота сварной балки (или фермы) на опорах больше, чем в пролёте (Троицкий и Литейный мосты).

Рис.2.11

Глава 3. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

3.1. Общие понятия

В предыдущих главах рассматривались простые случаи нагружения прямого бруса – осевое растяжение (сжатие), плоский поперечный изгиб, кручение.

Возможны более сложные воздействия, при которых в поперечном сечении возникают до шести компонентов внутренних сил. Такое нагружение называется сложным сопротивлением. Удобно рассматривать сложное сопротивление как сочетание простых видов нагружения – растяжения, изгиба и кручения, что возможно для жёстких стержней, к которым применим принцип суперпозиции.

Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи сложного сопротивления.

3.2. Косой изгиб

Это такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Рассмотрим балку, заделанную одним концом, на которую действует сила Р, приложенная в центре тяжести концевого сечения под углом φ к оси 0у (рис.3.1,а).

Разложим силу Р на две составляющие по осям координат:

(3.1)

а б

Рис.3.1

В каждом сечении стержня одновременно действуют два изгибающих момента, которые создают изгиб в двух главных плоскостях:

(3.2)

Знак изгибающего момента устанавливается по знаку деформации в первом квадранте. От момента М_z (силы Р_у) верхняя часть бруса удлиняется, нижняя - укорачивается. От момента М_у (силы Р_z) левая часть бруса удлиняется, правая - укорачивается.

Для определения напряжения в произвольной точке, лежащей в первом квадранте, в соответствии с принципом независимости действия сил воспользуемся полученной ранее формулой для нормального напряжения при плоском изгибе (формула (5.18) в первой части курса)

. (3.3)

Знаки напряжений совпадают со знаками изгибающих моментов. Подставляя в формулу (3.3) координаты любой точки с учётом их знаков, получим значение напряжения в этой точке. Для угловых точек модули координат у и z приобретают максимальные значения, поэтому формулу (3.3) можно представить в виде

, (3.4)

где W_z и W_z – моменты сопротивления сечения, i – номер угловой точки.

Знаки устанавливаются по виду деформации от соответствующего изгибающего момента (удлинение – «+», укорочение – «–»). Напомним формулы для определения геометрических характеристик прямоугольника:

, , , .

На рис.3.2,а показано поперечное сечение рассматриваемого бруса, в углах расставлены знаки деформаций в соответствии с физическим смыслом задачи. Подсчитаны напряжения в угловых точках

(3.5)

а б

Рис.3.2

По значениям напряжений в угловых точках построили эпюры напряжений по граням сечения (рис.3.2,б). При этом считаем, что . Снеся на грани сечения нулевые точки эпюр напряжений, провели нейтральную или нулевую линию nn – геометрическое место точек с нулевыми напряжениями. Наибольшее и наименьшее напряжения имеют место в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии – в точках 1 и 3.

Таким образом, условие прочности при косом изгибе профиля с углами (прямоугольника, двутавра, швеллера) имеет вид

. (3.6)

Положение нейтральной линии можно определить не только графически (рис.3.2,б), но и аналитически. Для этого надо приравнять нулю напряжения в точках, принадлежащих этой линии. Пусть текущие координаты нулевой линии будут z_n и y_n, тогда, применяя формулу (3.3), получим

. (3.7)

Уравнение нейтральной линии (3.7) – это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Находим из него

,

. (3.8)

Получили, что нейтральная линия проходит через первую четверть, β – угол между осью z и нейтральной линией.

Если сечение не имеет углов, то для проверки прочности необходимо сначала найти положение нейтральной линии, затем координаты наиболее удалённой от неё точки, затем определить напряжение в этой точке по формуле (3.3) и сравнить его с допускаемым. Необходимо помнить, что знаки в формуле (3.3) ставятся в каждом конкретном случае свои – по знаку деформации в первой четверти.

Найдём перемещение (прогиб) свободного конца бруса. Сначала находим прогибы по направлению главных осей:

, . (3.9)

Суммарный прогиб можно найти как геометрическую сумму

. (3.10)

Найдём теперь направление перемещения υ. Для этого определим значение угла наклона этого перемещения к вертикали:

,

. (3.11)

Формула (3.11) идентична формуле (3.8). Это позволяет сделать заключение, что γ = β. Следовательно, направление прогиба перпендикулярно нейтральной линии (рис.3.3,а). В то же время направление прогиба не совпадает с направлением действующей силы, поэтому изгиб называют косым. Нулевая линия не перпендикулярна силовой линии.

а б

Рис.3.3

В тех сечениях, у которых моменты инерции относительно главных центральных осей равны друг другу (J_z = J_y), нулевая и силовая линии пересекаются под углом 90⁰, а направление прогиба совпадает с силовой линией (рис.3.3,б). К таким сечениям относятся круг, квадрат и другие симметричные профили. В балках с таким сечением косой изгиб невозможен.

3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)

Это нагружение получается в случае, когда сила Р приложена не в плоскости поперечного сечения (рис.3.4,а). К поперечным силам P_z и P_у добавляется продольная сила N = P_x, от которой во всех точках поперечного сечения возникает нормальное напряжение. В произвольной точке сечения

. (3.12)

Знаки деформации от каждого внутреннего усилия показаны на рис.3.4,б. Опасная точка – точка 1. Условие прочности

. (3.13)

а б

Рис.3.4

Изгиб в двух плоскостях с растяжением встречается как в паровых, так и в гидравлических турбинах, где лопасть (лопатка) нагружена давлением пара или воды (поперечная нагрузка) и центробежным усилием (продольная растягивающая нагрузка).

При расчёте на изгиб со сжатием напряжение, вызванное продольной силой, подставляется в формулы (3.12) и (3.13) со знаком «–» (σ = –N/F). Ещё раз обращаем внимание на то обстоятельство, что такой подход справедлив только для очень жёстких стержней, у которых вследствие малости прогибов от поперечных сил можно пренебречь дополнительным изгибающим моментом от продольной силы. Для недостаточно жёстких стержней принцип независимости действия сил (или принцип суперпозиции) использован быть не может.

3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)

Имеет место при нагружении стержня силой, параллельной продольной оси и не совпадающей с центром тяжести сечения. Эта задача часто встречается в машиностроении (расчёт станин сверлильного или фрезерного станков) и в строительстве (расчёт опор мостов и колонн зданий). Такое деформирование стержня может считаться частным случаем рассмотренного в предыдущем параграфе совместного действия поперечных и продольной сил.

Рассмотрим внецентренное растяжение жёсткого стержня (рис.3.5,а), имеющего поперечное сечение произвольной формы без углов. Точка приложения силы находится в первой четверти, координаты её – z_p и y_p.

Рис.3.5

Перенесём силу в центр тяжести сечения в два приёма. Сначала – в точку С на оси 0z (рис.3.5,б). Если в этой точке приложить две равные и противоположно направленные силы Р, равновесие не нарушится. Дважды зачёркнутые силы создают момент M_z = P ∙ y_p. Затем переносим силу в центр тяжести сечения (рис.3.5,в) таким же способом – возникает момент M_y = P ∙ z_p. Таким образом, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня имеют место три усилия: продольная сила и два изгибающих момента (рис.3.5,г)

. (3.14)

В произвольной точке первой четверти от всех этих усилий возникнут растягивающие напряжения, поэтому нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения будет

. (3.15)

Подставляя (3.14) в (3.15), получим

. (3.16)

При определении напряжения в любой точке сечения необходимо координаты этой точки z и y подставлять со своими знаками. Обратим внимание на то обстоятельство, что в формуле (3.16) отсутствует координата х, т.е. напряжение постоянно по длине стержня.

Преобразуем формулу (3.16), вынеся за скобку P/F,

.

Величины, стоящие в знаменателе второго и третьего слагаемых, представляют собой квадраты радиусов инерции сечения (см. формулу (4.21) на с.66 Ч.1):

, .

Следовательно,

(3.17)

Для получения уравнения нейтральной линии используем формулу (3.17). Обозначим координаты любой точки нулевой линии z_n и y_n, подставим в уравнение (3.17) и приравняем напряжение к нулю. После сокращения на P/F получим уравнение нейтральной линии

. (3.18)

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Из него можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки (рис.3.6) через z₀ и у₀. Если положить z_n = 0, то y_n = у₀, а если y_n = 0, то z_n = z₀. Из уравнения (3.18)

, .

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат:

, . (3.19)

Теперь, имея положение нулевой линии, можно найти наиболее удалённые от неё точки. Для этого необходимо провести касательные к сечению, параллельные нулевой линии. Подставим координаты точки С в формулу (3.16) и получим σ_max; координаты точки D – получим σ_min. Если материал имеет неодинаковую прочность на растяжение и сжатие, условия прочности следующие:

. (3.20)

Рис.3.6

Для сечения с углами (рис.3.7) условие прочности можно записать, не прибегая к определению положения нейтральной линии:

. (3.21)

Рис.3.7

В нашем случае:

, . , , .

Максимальное напряжение имеет место во всех точках ребра СС′, минимальное – во всех точках ребра DD′.

В формулах (3.20) и (3.21) [σ₊] – допускаемое напряжение на растяжение; [σ_-] – допускаемое напряжение на сжатие.

Рассмотрим теперь частный случай внецентренного сжатия колонны прямоугольного сечения, когда одна из координат точки приложения силы равна нулю. Пусть сила расположена на оси 0у (z_p = 0, y_p = ℮), как это показано на рис.3.8. Подставляя эти значения в формулу (3.20), получим для крайних волокон

. (3.22)

Рис.3.8

Исследуем, как меняется распределение напряжений в поперечном сечении при движении силы Р по оси 0у.

Из формулы (3.22) следует, что при ℮ = 0 напряжения во всём сечении одинаковые сжимающие. Если , то напряжения во всём сечении одного знака. В частности, когда ℮ = h/6, напряжения в точках А и В равны: σ_А = –2P/F, σ_В = 0. Если, наконец, ℮ > h/6, то нейтральная ось расположена внутри сечения. Она разделяет его на две части: в одной – сжатие, в другой – растяжение. Таким образом, если не хотят, чтобы в поперечном сечении появлялись растягивающие напряжения, нельзя допускать эксцентриситет силы больше, чем h/6. Это бывает необходимо, когда колонна изготавливается из материала с низкой прочностью на растяжение (например, бетона, камня, кирпичной кладки).

Можно найти так называемое ядро сечения – область вокруг центра тяжести, характерную тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Всякая сжимающая сила, приложенная где-либо внутри ядра сечения, вызывает во всём сечении только сжимающие напряжения, растягивающая – только растягивающие напряжения.

Для прямоугольника мы фактически нашли границы ядра сечения (см.рис.3.8): надо от центра тяжести отложить по осям в обе стороны расстояния, равные одной шестой длины стороны, и соединить точки прямыми линиями (рис.3.9,а).

Найдём границы ядра сечения для круга. Ясно, что это тоже будет круг. Если приложить силу Р в точке С на границе ядра сечения, то нулевая линия будет касательной к контуру и перпендикулярной оси 0z (рис.3.9,б). Из формулы (3.19) следует

, , , z_p = ℮ = .

Получили, что для круга ядро сечения – это круг радиусом .

 

 

а б

Рис.3.9

3.5. Изгиб с кручением круглого стержня

Такой вид деформирования стержней очень часто встречается в машиностроении. По этой схеме работает подавляющее большинство валов машин: паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих.

На рис.3.10,а приведена схема нагружения стержня, а на рис.3.10,б – эпюры изгибающих и крутящего моментов. Изгибающий момент в опасном сечении

, (3.23)

где , . Поскольку при изгибе круглого стержня косой изгиб невозможен, можно найти изгибающий момент проще – . Однако, такой подход пригоден для простой расчётной схемы на рис.3.10,а. При расчёте валов машин в разных сечениях вала нагрузки действуют по различным направлениям. Поэтому приходится раскладывать силы на вертикальную и горизонтальную оси, строить эпюры изгибающих моментов, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и находить изгибающий момент геометрическим суммированием по формуле (3.23).

 

а б

Рис.3.10

В опасном сечении стержня (у заделки) от изгиба возникают нормальные напряжения, от кручения – касательные. Из графиков их распределения (рис.3.11,а) видно, что максимальных значений они достигают в одной точке – точке С (или точке D) – крайних точках сечения. В этой точке имеет место плоское напряжённое состояние (рис.3.11,б).

а б

Рис.3.11

В опасной точке

, (3.24)

. (3.25)

Проверку прочности необходимо делать по III-й или по IV-й теориям прочности. Напряженное состояние в точке С идентично напряжённому состоянию при поперечном изгибе, поэтому используем полученные в первой части курса формулы (5.42) и (5.43)

, (3.26)

. (3.27)

Если в условия прочности подставить (3.24) и (3.25), учтя при этом, что W_p = 2W_z,, получим следующие выражения для условий прочности круглого стержня при изгибе с кручением:

, (3.28)

. (3.29)

Выражения (3.28) и (3.29) удобно представлять в форме, аналогичной условию прочности по нормальному напряжению при изгибе (формула (5.20) на с.79 Ч.1)

, (3.30)

. (3.31)

Очевидно, что значения расчётных моментов по III-й (теории наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности отличаются незначительно. Запас прочности по III-й теории чуть больше (примерно на 5%).

Рассмотрим пример расчёта вала редуктора (рис.3.12,а). Мощность, передаваемая валом, N = 73,5 кВт; частота вращения ω = 104,7 с^-1 (1000 об/мин); допускаемое напряжение [σ] = 12 кН/см². В сечениях С и D расположены прямозубые зубчатые зацепления, усилия в которых показаны на рис.3.12,б. Необходимо определить диаметр вала d.

Определим усилия, действующие на вал. Крутящий момент:

Усилия в зубчатых зацеплениях:

, , .

а б

Рис.3.12

Составляющие усилий в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.3.13):

Рис.3.13

PCY = PCZ = PC ∙ sin 450 = 14 ∙ 0,707 = 9,9 кН; PDY = PD ∙ cos 300 = 7 ∙ 0,866 = 6,1 кН; PDZ = PD ∙ sin 300 = 7 ∙ 0,5 = 3,5 кН.

Построим эпюры изгибающих и крутящего моментов (рис.3.14).

Рис.3.14

∑МА = – 9,9∙10 – 6,1∙40 + RB ∙60=0; RВ = 5,7 кН; ∑у = RA – 9,9 – 6,1 + 5,7=0; RA = 10,3 кН. ∑МА = 9,9∙10 – 3,5∙40 + RB∙60 = 0; RВ = 0,7 кН; ∑у = – RA + 9,9 – 3,5 + 0,7 = 0; RA = 7,1 кН. .

Далее найдём расчётный момент по первой формуле (3.31) == 142,1 кН∙см. Затем из условия прочности (3.30) найдём диаметр

Округляем в большую сторону до ближайшего стандартного. Принимаем d = 50 мм.

Отметим, что в нашем расчёте не учитывались конструктивные особенности вала (переходы диаметров, шпоночные канавки и пр.) и цикличность напряжений во вращающемся вале. Приведённый расчёт на статическое действие нагрузки является основным, по его результатам осуществляют уточнённый расчёт, учитывающий конструктивные особенности вала.

 

3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня

Встречается, например, при расчёте коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания. Рассмотрим элемент коленчатого вала (рис.3.15), состоящего из двух участков. Первый участок – круглый стержень (шейка вала), защемлённый одним концом с заданной на свободном конце нагрузкой. Второй участок – прямоугольный стержень (щека вала), также заделанный одним концом, нагрузка передаётся от круглого стержня. Задано допускаемое напряжение [σ] и соотношение размеров прямоугольника h/b. Требуется определить размеры поперечных сечений.

Рис.3.15

Сначала рассчитываем круглый стержень, эпюры усилий – на рис.3.16,а.

Первый стержень работает на растяжение с изгибом и кручением. Нормальное напряжение возникает от растяжения и изгиба

. (3.32)

От кручения – касательное напряжение

. (3.33)

Проверка прочности – по III-й и IV-й теориям прочности по формулам (3.26) или (3.27). Используем теорию наибольших касательных напряжений

. (3.34)

а б

Рис.3.16

Поскольку в формуле (3.32) площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра (F = πd²/4), а момент сопротивления W – кубу диаметра (W = 0,1d³), при составлении выражения (3.34) получится кубическое уравнение. Чтобы избежать решения кубического уравнения и учитывая, что напряжения от растяжения, как правило, меньше напряжений от изгиба, можно пренебречь первым слагаемым в формуле (3.32). Тогда диаметр стержня легко определить из формул (3.30) и (3.31):

. (3.35)

Затем нужно полученное значение чуть увеличить в большую сторону и проверить прочность с учётом растяжения по формулам (3.32), (3.33) и (3.34).

Размеры второго прямоугольного стержня определим из условия прочности по нормальным напряжениям, а затем проверим прочность с учётом касательных напряжений. Наибольшее нормальное напряжение имеет место в угловой точке опасного сечения, положение которого определяется по эпюрам усилий (рис.3.16,б). Перед построением эпюр силы переносятся в начало второго стержня. Положение опасной точки определяется по рис.3.17,а, на котором показаны знаки деформаций.

а б

Рис.3.17

Опасная точка – точка А, в ней наибольшее по абсолютной величине напряжение. Считая металл равнопрочным на растяжение и сжатие, используем условие прочности (3.13)

. (3.36)

Чтобы не решать кубическое уравнение, сначала пренебрегаем первым слагаемым и находим размеры b и h. Затем округляем до целых значений в большую сторону и проверяем прочность по (3.36).

Наибольшее касательное напряжение от кручения имеет место в середине длинных сторон и находится по формуле (7.19) первой части курса (рис.3.17,б)

. (3.37)

Из двух точек В и С необходимо проверить прочность в той, в которой больше нормальные напряжения. В точке В

. (3.38)

При вычислении касательного напряжения можно учесть и касательное напряжение от поперечной силы Р, определяемое по формуле Журавского (5.29) первой части курса. Итак, в точке В

. (3.39)

Далее проверяем прочность по (3.34).

В середине коротких сторон в точках Е и D касательное напряжение от кручения несколько меньше максимального

τ = γτ_max. (3.40)

В точке D нормальное напряжение больше, чем в точке Е (рис.3.17,а), поэтому находим

, .

И проверяем прочность по (3.34):

.

Знак в формулах для τ зависит от того, совпадает ли направление поперечной силы с направлением касательного напряжения от кручения (см.рис.3.16,б и рис.3.17). Впрочем, касательное напряжение от поперечной силы можно и не учитывать. В случае невыполнения условия прочности необходимо увеличить размеры поперечного сечения и повторить расчёт.

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Основные понятия

Изучая сжатие стержней, мы можем наблюдать качественно различные картины деформирования. При возрастании сжимающей силы короткий «толстый» стержень будет сплющиваться (рис.4.1,а) в то время, как длинный «тонкий» стержень в какой-то момент изогнётся (рис.4.1,б) и сломается. Произошла потеря устойчивости.

Устойчивость – это способность сохранять первоначально заданную форму равновесия. Если малые возмущения вызовут малые отклонения от расчётного (невозмущённого) состояния, то это состояние системы является устойчивым.

а б Рис.4.1

Наоборот, если при малых возмущениях возникнут большие отклонения системы от расчётного состояния, то последнее является неустойчивым.

Наглядным примером может служить поведение тяжёлого шарика, лежащего на различных поверхностях (рис.4.2). Если шарик лежит на вогнутой цилиндрической поверхности (рис.4.2, а), то при любом малом отклонении он стремится вернуться в исходное состояние, следовательно, равновесие шарика устойчивое. Если шарик лежит на плоскости (рис.4.2, б), то при малом отклонении он остаётся в новом положении, следовательно, равновесие шарика безразличное. Наконец, если попытаться установить шарик на выпуклую цилиндрическую поверхность (рис.4.2, в), он обязательно скатится – равновесие неустойчивое.

а б в

Рис.4.2

Шарик иллюстрирует поведение сжатого стержня (рис.4.3). По мере роста силы можно отметить три характерные ситуации в зависимости от значения силы: Р₁ < Р_кр, Р₂ = Р_кр и Р₃ > Р_кр. Р_кр – критическая сила.

а б в

Рис.4.3

Если Р < Р_кр, то отклоняя стержень какой-либо силой и затем устраняя её, возбуждаем затухающее колебательное движение около первоначального прямолинейного положения – устойчива прямолинейная форма равновесия (рис.4.3,а). Чем ближе Р к Р_кр, тем легче отклонить стержень от его прямолинейного положения и тем медленнее он возвращается в исходное положение. При Р = Р_кр стержень оказывается в состоянии безразличного равновесия (рис.4.3,б). Это означает, что наряду с прямолинейной становится возможной и бесконечно близкая к ней искривлённая форма равновесия. Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия. При Р > Р_кр (рис.4.3,в) становится устойчивой криволинейная форма равновесия. Это явление называют ещё продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что происходит быстрое нарастание прогиба при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов приводит к быстрому нарастанию напряжений от изгиба и к разрушению. Продольный изгиб (потеря устойчивости) – это катастрофа для конструкции.

История техники знает немало случаев крушения сооружений из-за неправильного расчёта их элементов на устойчивость. Например, крушение Квебекского моста через реку Святого Лаврентия в 1907 г. – погибли 74 человека, 9000 тонн металлоконструкций пришло в негодность.

Потеря устойчивости как явление природы отличается большим многообразием (рис.4.4). Цилиндрическая оболочка под действием сжимающего гидростатического давления (рис.4.4,а) при q > q_кр сплющивается и превращается в эллипс.

На рис.4.4,б показана высокая балка, испытывающая изгиб в вертикальной плоскости (плоский изгиб). По достижении силой критического значения плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение – балка опрокидывается.

 

а б в г

Рис.4.4

На рис.4.4,в показана пологая мембрана под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости. По достижении силой значения Р_кр происходит потеря устойчивости – мгновенное прощёлкивание мембраны, выпуклость её оказывается обращённой в сторону, противоположную первоначальному направлению. Новая форма устойчивого равновесия не является смежной, есть конечная разница в прогибах, соответствующих им.

Ещё один случай – потеря устойчивости под действием следящей силы (рис.4.4,г): при любой деформации стержня сила направлена вдоль касательной к его оси («следит» за деформацией). Обычно сила не меняет направление (рис.4.1,б). Можно сказать, что это расчётная схема ракеты или торпеды. По достижении силой критического значения прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает – система переходит в состояние колебательного движения с возрастающей амплитудой.

Ниже рассмотрим самую простую и в то же время самую распространённую в технике задачу об устойчивости прямолинейных сжатых стержней.

 

4.2. Определение критической силы методом Эйлера

Из сказанного в п.4.1 следует, что при расчёте устойчивости самым важным является определение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости. Может также представлять интерес полное описание закритического поведения.

Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако подавляющее большинство инженерных задач может быть решено более простым статическим методом, предложенным великим Л.Эйлером в 1744 г.

По определению Эйлера, критической силой называется «сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны». Рассмотрим шарнирно-опёртый центрально-сжатый стержень постоянного сечения в слегка изогнутом состоянии (рис.4.5,а).

а б

Рис.4.5

Предполагая, что деформация стержня упругая (напряжения не превышают предел пропорциональности), можно воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением (1.4) изогнутой оси:

, (4.1)

где J_min – наименьший момент инерции стержня, так как очевидно, что изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости.

Изгибающий момент в произвольном сечении (рис.4.5,б)

|М| = Р_крυ.

Учитывая, что знаки момента и второй производной прогиба противоположны при любом направлении оси υ, получим

,

или

. (4.2)

Введём обозначение

, (4.3)

и запишем уравнение (4.2) следующим образом:

. (4.4)

Мы получили однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого известен:

υ = A sin kx + B cos kx. (4.5)

Постоянные интегрирования А и В должны удовлетворять граничным условиям:

· при х = 0 Þ υ = 0;

· при х = ℓ Þ υ = 0.

Из первого условия

0 = A sin 0 + B cos 0 = B ∙1, т.е. В = 0.

Из второго условия

0 = A sin kℓ.

Это условие выполняется в двух случаях: А = 0 или sin kℓ = 0. Первый случай нас не интересует, так как при А = 0 стержень остаётся прямолинейным. Криволинейная форма равновесия возможна при sin kℓ = 0.

Корни этого уравнения

kℓ = 0, π, 2π, 3π, 4π… (4.6)

Наименьшее значение критической силы будет при kℓ = π. Таким образом,

. (4.7)

Подставим (4.7) в (4.3) и получим формулу Эйлера

. (4.8)

Выражение (4.6) фактически даёт не одно, а множество значений критической силы. Каждой силе соответствует своя форма равновесия (рис.4.6):

, (4.9)

где n = 1, 2, 3, 4…

При первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру критической силы. Потеря устойчивости в форме двух или более полуволн синусоиды возможна только в случае установки в соответствующих местах стержня ограничителей перемещения.

Рис.4.6

4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня

Чтобы получить значение критической силы для стержней с иным закреплением концов, чем у стержня в п.4.2, необходимо провести своё решение аналогично тому, как это сделано для шарнирно-опёртого стержня. Можно обойтись без аналитического решения и определить критическую силу из чисто геометрических соображений.

Так, например, стержень с одним защемлённым концом изгибается по кривой, представляющей собой половину полуволны синусоиды для шарнирно-опёртого стержня (рис.4.7,а).

а б в

Рис.4.7

Для стержня с одним заделанным и другим шарнирно-опёртым концами (рис.4.7,б) длина полуволны синусоиды, замеренная между шарнирной опорой и точкой перегиба изогнутой оси, составит 0,7 длины стержня.

Для стержня с двумя заделанными концами (рис.4.7,в) длина полуволны синусоиды, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину длины стержня.

Для всех случаев, рассмотренных выше, критическую силу можно определять по обобщённой формуле Эйлера

, (4.10)

где ℓ₀ = μℓ – приведённая длина;

μ – коэффициент приведения длины;

ℓ – фактическая длина стержня.

Приведённая длина может быть истолкована как длина некоторого виртуального шарнирно-опёртого стержня, критическая сила для которого равна критической силе для заданного стержня.

Коэффициент приведения длины определяем по рис.4.7 или по табл.4.1, в которой стержни расположены по мере возрастания жёсткости опор.

Таблица 4.1

4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений

Формула Эйлера, полученная 260 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий, продолжавшихся до первых десятилетий XIX века. Причиной споров являлось то обстоятельство, что она не всегда подтверждалась экспериментами. Были даже аварии мостов в связи с потерей устойчивости раскосов ферм, рассчитанных по формуле Эйлера. А дело было в том, что инженеры того времени не обратили внимание на некоторые ограничения по применению этой формулы, которые автор специально не оговаривал.

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому пользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т.е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности.

. (4.11)

Если прямолинейная форма равновесия стержня остаётся устойчивой и при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, то дифференциальное уравнение (4.1) не пригодно для описания изгиба при потере устойчивости.

Выведем формулу для критического напряжения σ_кр. Подставим (4.10) в (4.11) и получим

, (4.12)

где – квадрат наименьшего радиуса инерции стержня (см.(4.21) в первой части).

Вводя безразмерную величину

, (4.13)

называемую гибкостью стержня, окончательно получим:

. (4.14)

Из условия применимости формулы Эйлера (4.11) имеем:

,

и, следовательно,

. (4.15)

Найдём значение λ_пред для стали марки Ст3 (самая распространённая пластичная сталь, из которой делают прокатные профили, металлоконструкции зданий и сооружений): Е = 2∙10⁴ кН/см², σ_ПЦ = 20 кН/см².

.

Таким образом, формула Эйлера справедлива только для гибких стержней.

Однако явление продольного изгиба существует не только при упругих, но и при упругопластических деформациях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности σ_ПЦ, но меньше предела текучести σ_Т. Построим график зависимости критических напряжений σ_кр от гибкости λ для стержней из стали Ст3 (рис.4.8).

Рис.4.8

Сначала построим кривую – гиперболу Эйлера – по формуле (4.14). Она начинается от точки с координатами σ_ПЦ, λ = 100 и уходит вправо в область больших гибкостей. Это область упругих деформаций.

Стержни малой гибкости (короткие и «толстые») потерять устойчивость не могут, а могут разрушиться (достигнуть предельного состояния) в общепринятом смысле (см.рис.4.1,а). Поэтому в диапазоне гибкостей 0 < λ ≤ 40 σ_кр = σ_Т – область пластических деформаций.

В диапазоне средних гибкостей 40 < λ < 100 кривая критических напряжений представляет собой прямую линию, соединяющую крайние точки σ_кр = σ_Т и σ_кр = σ_ПЦ. Это простое решение предложил русский учёный Ф.С.Ясинский на основании большого объёма экспериментальных исследований. Формула Ясинского имеет вид

σ_кр = a – bλ, (4.16)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

Для стали Ст3

σ_кр = 31 – 0,114λ (σ_кр в кН/см²). (4.17)

Это область упругопластических деформаций.

Если в этой области использовать формулу Эйлера (пунктирная линия), она даёт завышенные значения критических напряжений, т.е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость при упругопластических деформациях, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Теоретическому решению этой проблемы было посвящено большое количество работ разных авторов. В настоящее время общепризнанным является решение немецкого учёного Ф.Энгессера, который предложил определять критическую силу в упругопластической стадии по формуле Эйлера, подставляя в неё вместо модуля упругости Е так называемый касательный модуль (рис.4.9).

. (4.18)

Сила Р_кр(τ) называется касательно-модульной.

Рис.4.9

Кривая критических напряжений, подсчитанных по формуле (4.18), показана на рис.4.8 тонкой линией. Видим, что прямая Ясинского мало отличается от касательно-модульной кривой, причём даёт результат, повышающий запас устойчивости.

4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению

Центрально сжатые стержни средней и большой гибкости теряют устойчивость раньше, чем прочность, поэтому нельзя допустить возникновения в них критического напряжения и обеспечить запас устойчивости.

Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид

, (4.19)

где

. (4.20)

В формуле (4.20) [σ]_у – допускаемое напряжение на устойчивость, n_у – коэффициент запаса на устойчивость. Этот коэффициент всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность в формуле допускаемого напряжения при сжатии

. (4.21)

где σ₀ – напряжение, соответствующее наступлению опасного (предельного) состояния (для пластичного материала σ₀ = σ_Т – пределу текучести, для хрупкого σ₀ = σ_ПЧ – пределу прочности);

n – коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение на устойчивость [σ]_у и допускаемое напряжение на сжатие [σ_-] взаимно связаны. Составим их отношение:

, или . (4.22)

Обозначив

, (4.23)

получим

[σ]_у = φ[σ_-]. (4.24)

где φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость (коэффициент продольного изгиба).

Обратившись к графику критических напряжения на рис.4.8 и к аналогичному для любого материала, можно вычислить φ при всех значениях гибкости λ. Таким образом, φ меняется в пределах от нуля до единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Представлен в виде таблицы, имеющейся в справочниках и учебниках.

Условие устойчивости сжатого стержня (4.19) с учётом (4.24) можно окончательно записать в виде:

. (4.25)

Индекс БР означает, что при расчётах на устойчивость не надо учитывать ослабление сечения (например, за счёт отверстий под заклёпки), а брать полную площадь поперечного сечения или площадь брутто.

 

 

4.6. Пример расчёта

4.6.1.Определение размеров поперечного сечения

В расчётной формуле (4.25) имеются две неизвестных величины – искомая площадь F (индекс БР опускаем) и коэффициент φ. Поэтому приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину φ. Обычно в первой попытке задают φ₁ = 0,5 ¸ 0,6. Определяют площадь F, размеры сечения и гибкость λ. По λ в справочнике находят фактическое значение φ′₁. Если оно отличается от φ₁, следует повторить расчёт, приняв среднее по величине значение

.

Далее находят φ′₂ и всё повторяют до тех пор, пока не будет выполняться условие φ = φ′. Этот процесс быстро сходится и, как правило, требуется не более трёх попыток.

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения стержня (рис.4.10,а). Материал – чугун, [σ] = 10 кН/см²; форма сечения – труба (рис.4.10,б), D = 1,4d.

Расчёт начинаем с определения геометрических характеристик сечения:

- площадь сечения ;

- момент инерции ;

- радиус инерции .

 

 

а б

Рис.4.10

Из условия устойчивости (4.25) найдём площадь поперечного сечения F:

.

1. Принимаем φ₁ = 0,5.

; ; .

Гибкость (μ = 0,7 по табл.4.1):

Þ φ′₁ = 0,69; φ′₁ ≠ φ₁,

поэтому переходим ко второму приближению

2. Принимаем .

; ; .

Гибкость

. В справочнике λ изменяется с шагом 10, поэтому для определения φ, соответствующего λ =47, делаем линейную интерполяцию:

λ	φ	.
	0,69 0,57

Получили φ′₂ = φ₂, расчёт закончен. Таким образом, хватило двух приближений. Сделаем окончательную проверку по напряжениям:

, .

Условие устойчивости σ ≤ φ[σ]выполняется. Округляем размеры чугунной трубы в большую сторону: внутренний диаметр d = 107 мм, наружный диаметр D = 150 мм.

4.6.2.Определение грузоподъёмности

Для стержня, показанного на рис.4.11,а, необходимо определить наибольшую нагрузку Р, а также коэффициент запаса на устойчивость. Материал – сталь Ст3, [σ] = 16 кН/см²; сечение – два швеллера (рис.4.11,б).

а б в

Рис.4.11

Грузоподъёмность определим из условия устойчивости (4.25)

Р ≤ F ∙ φ [σ].

Площадь и другие геометрические характеристики швеллера найдём в таблице «Сортамент прокатной стали». Чтобы определить φ, необходимо предварительно найти радиусы инерции i относительно главных осей составного сечения.

Одна из главных осей составного сечения z совпадает с главными осями швеллеров, поэтому радиус инерции составного сечения равен радиусу инерции одного швеллера

.

Вычислим теперь радиус инерции относительно оси у:

J_y = J_y1 + с²F = 113 + (7,6 + 1,0 – 2,07)² ∙ 23,4 = 1110,8 см⁴,

.

Таким образом, i_min = i_y = 6,89 см.

Гибкость (μ = 2,0 по таблице 4.1):

.

С помощью линейной интерполяции найдём φ:

λ	φ	.
	0,75 0,69

Далее вычислим грузоподъёмность стержня

Р = 23,4 ∙ 2 ∙ 0,708 ∙ 16 = 530 кН.

Имеет смысл проверить запас устойчивости, для чего надо предварительно найти критическую силу Р_кр. Так как гибкость стержня λ = 87, потеря устойчивости происходит в области упругопластических деформаций (см.рис.4.8). Критическое напряжение найдём по формуле (4.17)

σ_кр = 31 – 0,114λ = 31 – 0,114 ∙ 87 = 21,082 кН/см².

Критическая сила

Р_кр = σ_кр ∙ F = 21,08 ∙ 23,4 ∙ 2 = 986, 6 кН.

Коэффициент запаса устойчивости

.

Итак, мы видим, что в таблице коэффициента продольного изгиба φ заложен коэффициент запаса устойчивости больший, чем коэффициент запаса прочности n = 1,5.

Необходимо учитывать одно важное обстоятельство – составное сечение может работать только в том случае, если швеллеры связаны решёткой из уголков или из полос (рис.4.11,в). Расчёт решётки – это специальный вопрос, выходящий за рамки курса сопротивлений материалов.

4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней

Для стержней большой гибкости (λ ≥ λ_пред), когда критическое напряжение меньше предела пропорциональности материала, модуль упругости Е – единственная характеристика, определяющая сопротивляемость стержня потере устойчивости. В этом случае нецелесообразно применять сталь повышенной прочности, так как модули Е практически одинаковы для всех марок стали.

Для стержней средней гибкости применение высокопрочной стали целесообразно, так как в этом случае, в связи с увеличением предела текучести, увеличиваются критические напряжения.

С точки зрения формы рациональны сечения, у которых равны радиусы инерции относительно главных осей, так как потеря устойчивости всегда происходит в плоскости наименьшей жёсткости.

Наиболее рациональна такая форма поперечного сечения, при которой величина минимального радиуса инерции i_min будет наибольшей при определённой площади поперечного сечения F. Для удобства сравнения вводят безразмерную характеристику

,

которую называют удельным радиусом инерции. Ниже приведены значения ξ для некоторых сечений:

Труба (D=1,25d)…………………………………………………	0,61
Квадратная коробка (B=1,25b)…………………………………	0,61
Уголок……………………….……………….…………………..	0,5 – 0,3
Двутавр………………….………………….……………………	0,41 – 0,27
Швеллер………………………………………………………….	0,41 – 0,29
Квадрат…………………………………………………………..	0,289
Круг………………………………………………………………	0,283
Прямоугольник (h=2b)……………… …………………………	0,204

Наиболее рациональным являются трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения.

Глава 5. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ (ЦИКЛИЧЕСКИХ) НАПРЯЖЕНИЯХ

5.1. Основные понятия. Механизм разрушения

Многие детали машин в процессе работы испытывают действие переменных во времени напряжений. Это вращающиеся валы, шатуны и кривошипы двигателей, лопатки турбин, оси вагонов и локомотивов и тому подобные другие детали. Рассмотрим, например, железнодорожную вагонную ось (рис.5.1,а). Расчётная схема изображена на рис.5.1,б, ось испытывает чистый изгиб. Точка К на поверхности оси в произвольный момент времени имеет координату y = r sin φ, где r – радиус вала (рис.5.1,в). Угол поворота φ изменяется во времени в зависимости от угловой скорости вращения ω по закону φ = ωt. Следовательно,

у = r sin ωt. (5.1)

В сечении m-n (и в любом другом сечении между колёсами) действует изгибающий момент M = Pℓ, от которого в точке K возникают нормальные напряжения

. (5.2)

Наибольшее растягивающее напряжение σ_max в точке К будет тогда, когда она займёт положение точки 2 (рис.5.1,в). Наибольшее сжимающее напряжение σ_min будет в точке К, когда она займёт положение точки 4. Когда точка К попадает на нейтральную ось (положение точек 1 и 3), напряжение в ней будет равно нулю. По уравнению (5.2) построен график, изображённый на рис.5.2. Как видим, напряжения изменяются во времени периодически: через определённый промежуток времени Т (период) они проходят одно и то же значение.

а     б

в Рис.5.1

Рис.5.2

Изменение напряжения за один период называется циклом напряжений. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. В приведённом примере представлен так называемый симметричный цикл.

Многолетний опыт эксплуатации машин показал, что под воздействием циклических напряжений детали машин разрушаются при напряжениях меньше тех, которые опасны при постоянных напряжениях. Изломы происходят не сразу, а после длительной работы машины.

Как правило, детали разрушались без видимых остаточных деформаций даже в тех случаях, когда они изготовлялись из пластических материалов. Возникло предположение, что под влиянием циклических напряжений материал с течением времени «устаёт» – перерождается и вместо пластического становится хрупким. Позднее, с усовершенствованием лабораторных методов исследования было установлено, что структура и механические свойства материала от переменных напряжений не меняются, но название «усталость» материалов осталось и им повсюду пользуются и в настоящее время.

Физико-механическая природа усталостного разрушения изучалась различными методами (рентгеновским, микроскопическим, измерением твёрдости и микротвёрдости, электроноскопическим и др.), однако до сих пор природа этих разрушений во многом остаётся неясной. Невозможно объяснить усталостное разрушение в рамках принятой в сопротивлении материалов гипотезы о сплошной однородной упругой среде.

Наиболее удовлетворительное объяснение состоит в следующем. Конструкционные стали и другие сплавы представляют собой мелкокристаллический конгломерат, кристаллиты которого имеют случайную ориентировку. Кристаллиты, составляющие структуру металла, обладают анизотропией, т.е. различными упругими свойствами и различной прочностью в зависимости от ориентировки кристаллографических осей. Поэтому при деформировании конгломерата напряжения в отдельных кристаллитах существенно отличаются одно от другого, и вычисляемые обычными способами сопротивления материалов напряжения являются лишь их статистическим осреднением. Уже на ранних стадиях деформирования в некоторых ослабленных и (или) неблагоприятно ориентированных кристаллитах возникают пластические деформации.

Ввиду того, что напряжения не статические, а переменные, в течение каждого цикла пластически деформированный кристаллит разгружается и снова нагружается – происходит наклёп. В результате многократного наклёпа ухудшаются пластические свойства, и в какой-то момент в ослабленном кристаллите возникает микротрещина. При определённой величине переменных напряжений микротрещина растёт, сливается с другими микротрещинами, пересекая весь кристаллит, и, в конечном счете, образуется макротрещина, распространяющаяся на некоторую область поперечного сечения детали.

Трещины от периодических нагрузок раскрываются и закрываются, в результате чего крупные зёрна кристаллитов измельчаются. Этим можно объяснить наличие гладкой (мелкозернистой) зоны в месте усталостного разрушения (рис.5.3). На дне трещины, как в остром надрезе, возникает большая концентрация напряжений. Материал в этом месте находится в объёмном напряжённом состоянии, тормозящем пластическую деформацию. Всё это способствует дальнейшему росту трещины, увеличение которой в конечном итоге сильно ослабляет сечение детали и приводит её к внезапному (хрупкому) разрушению. Поэтому в поперечном сечении разрушенной детали кроме гладкой зоны развития трещины всегда имеется крупнозернистая зона хрупкого излома (рис.5.3).

Рис.5.3

Таким образом, под усталостью понимают процесс постепенного накопления повреждений материала при действии циклических напряжений, приводящий к образованию трещин и разрушению. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью.

Усталостные поломки составляют основной вид разрушения деталей машин. Всё сказанное выше относится к так называемой многоцикловой усталости, когда деталь испытывает большое число циклов до разрушения (число циклов N > 10⁵). Число циклов до разрушения зависит от величины напряжения: чем больше напряжение, тем меньше циклов выдерживает деталь. При высоких напряжениях (примерно равных или чуть меньших предела текучести) имеет место так называемая малоцикловая усталость (N < 10² ¸ 10⁴). Разрушение от малоцикловой усталости характеризуется заметными пластическими деформациями. Простой пример: чтобы разорвать медную проволоку, мы несколько раз её перегибаем, деформация при этом пластическая, напряжения превышают предел текучести, но не достигают предела прочности; после нескольких циклов (обычно достаточно пяти- шести) проволока разрушается.

Большинство деталей машин должно обладать такой выносливостью, чтобы усталостного разрушения не было вообще или, по крайней мере, в течение заданного межремонтного срока. В настоящем разделе рассмотрен расчёт на многоцикловую усталостную прочность.

 

5.2. Характеристики цикла. Виды циклов

На рис.5.2 приведён график напряжений при наиболее распространённом симметричном цикле. Если к вращающемуся валу приложить дополнительную продольную силу постоянной величины, то к напряжениям (5.2) добавится постоянное напряжение и напряжения будут меняться по закону, изображённому на рис.5.4. Такой закон изменения напряжений носит название асимметричного цикла. Асимметричный цикл может быть знакопостоянным и знакопеременным. На рис.5.4 – знакопостоянный цикл.

На усталостную прочность в основном влияют максимальные σ_max и минимальные σ_min напряжения цикла. Эти величины являются исходными для расчёта других характеристик цикла.

Рис. 5.4

Среднее (постоянное) напряжение цикла (рис.5.4):

. (5.3)

Амплитуда цикла (рис.13.4):

. (5.4)

Среднее напряжение может быть как положительным, так и отрицательным, амплитуда же цикла определяется абсолютной величиной (без учёта знака).

Коэффициент асимметрии цикла – это отношение минимального напряжения цикла к максимальному с учётом знаков этих напряжений, обозначается буквой r:

. (5.5)

Определитель цикла – это отношение амплитуды к среднему напряжению. На диаграмме предельных напряжений, которая будет рассмотрена ниже, определитель цикла представляет собой тангенс угла наклона прямой, проведённой из начала координат, к оси абсцисс. Из формул (5.3) ¸ (5.5) определитель цикла равен

. (5.6)

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии r, называются подобными.

При расчёте деталей машин могут встретиться любые виды циклов напряжений. Остановимся лишь на самых характерных, наиболее часто встречающихся.

Симметричный цикл. Это, безусловно, самый распространённый цикл переменных напряжений (рис.5.2). Его характеристики:

σ_max = – σ_min, σ_с = 0, σ_a = σ_max, r = – 1, tg γ = ∞.

Симметричный цикл является наиболее опасным, при любой деформации прочность самая низкая.

Пульсирующий или отнулевой цикл. Второй после симметричного по распространённости, график – на рис.5.5. Характеристики:

σ_max > 0, σ_min,= 0, σ_с = 0,5σ_max, σ_a = 0,5σ_max, r = 0, tg γ = 1.

Статическое напряжение. Оно может рассматриваться как частный случай циклического (рис.5.6).

Характеристики:

σ_max = σ_min > 0, σ_с = σ_max, σ_a = 0, r = + 1, tg γ = 0.

Рис. 5.5 Рис. 5.6

В заключение заметим, что во всех приведённых выше формулах и графиках фигурирует нормальное напряжение σ, т.е. идёт речь о циклическом растяжении–сжатии или изгибе. В случае циклического кручения буква σ должна быть заменена на букву τ при сохранении соответствующих индексов.

5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости

Как отмечалось выше, усталостная прочность (выносливость) деталей зависит от числа циклов до разрушения. Надо иметь в виду, что не любые по величине переменные напряжения вызывают усталостное разрушение. Оно может наступить при условии, если переменные напряжения в той или иной точке детали превзойдут своё критическое значение, называемое пределом выносливости.

Предел выносливости – это наибольшее значение максимального напряжения цикла σ_max, которое не вызывает усталостного разрушения при неограниченно большом числе циклов.

Предел выносливости – обозначается σ_r, где r – коэффициент асимметрии цикла. При симметричном цикле предел выносливости обозначается σ_-1, при пульсирующем – σ₀. Чтобы определить предел выносливости, необходимо построить кривую усталости (кривую Веллера) в координатах σ – N или σ – lg N или lg σ – lg N. Для построения кривой надо испытать 6 ¸ 10 образцов.

При симметричном цикле предел выносливости σ_-1 меньше, чем предел выносливости других видов циклов, а определение его значительно проще. Пределы выносливости при выбранной характеристики цикла r, разумеется, будут различными в зависимости от вида деформации, при которой испытываются образцы.

Рис.5.7

Самая простая испытательная машина для определения предела выносливости при изгибе показана на рис.5.7. Цилиндрический полированный образец 4 диаметром от 7 ¸ 10 мм зажимается в захвате 3. На свободном конце образца через подшипник 5 подвешивается груз 6. Образец вращается электромотором 1, один оборот – один цикл. После разрушения образца груз падает и нажимает на кнопку 7, которая выключает мотор. Счётчик оборотов 2 показывает число циклов до разрушения N.

Порядок установления нагрузок на испытываемые образцы в большинстве случаев принимают ниспадающим, т.е. на первый образец дают нагрузку, напряжение при которой значительно превышает предел выносливости, а нагрузку на последующие образцы постепенно снижают. Разумеется, каждый из менее нагруженных образцов будет выдерживать всё большее и большее число циклов. По точкам разрушившихся образцов строят кривую усталости (рис.5.8).

а б

Рис.5.8

Кривая усталости σ = f (N) (кривая Веллера) на рис.5.8,а асимптотически приближается к горизонтальной прямой, ординатой которой и определяется предел выносливости.

Испытания чёрных металлов показали, что если образец не разрушается после 10⁷ оборотов, то он не разрушается вообще. Поэтому испытания образцов из чёрных металлов прекращают после 10⁷ циклов – «базы испытания». Базой испытания на выносливость называется наименьшее число циклов, существенное превышение которого не приведёт к усталостному разрушению образца. Для цветных металлов база испытания принята равной 10⁸ циклов, т.к. кривая не имеет асимптоты.

В связи с тем, что по кривой усталости в координатах N – σ часто бывает затруднительно определить положение асимптоты, кривую строят в полулогарифмических (рис.5.8,б) или логарифмических координатах. Предел выносливости определяется по перелому кривой.

Многочисленные экспериментальные данные позволили установить некоторые соотношения между пределами выносливости при различных видах деформации, и в частности, между пределами выносливости при изгибе , кручении τ_-1 и растяжении–сжатии при симметричном цикле. Эти соотношения приблизительно следующие:

для стали ;

; (5.7)

для чугуна ;

.

Кроме того, установлены некоторые соотношения между пределами выносливости и основной механической характеристикой прочности при статической нагрузке – пределом прочности σ_ПЧ:

для стали

; (5.8)

τ_-1 = 0,22 σ_ПЧ;

для высокопрочных сталей .

Следует отметить, что формулы (5.7) и (5.8) – сугубо приближенные и могут быть использованы только для ориентировочных расчётов в случае отсутствия данных о пределе выносливости.

Из сказанного выше ясно, что определение основной характеристики прочности при цикличных напряжениях – предела выносливости – требует проведения трудоёмких длительных экспериментов, для которых нужны специальные испытательные машины. Если для испытаний на изгиб при асимметричном цикле применяют простые машины типа той, которая схематически показана на рис.5.7, то для испытаний на осевое действие нагрузки или кручение при симметричном и произвольном асимметричном циклах нужны сложные машины с гидравлическим приводом (пульсаторы).

Чтобы охарактеризовать сопротивляемость материала действию переменных напряжений с различной асимметрией цикла, по результатам испытаний строят так называемую диаграмму предельных напряжений. На рис.5.9 представлена диаграмма Хея: по оси абсцисс откладывают среднее напряжение цикла σ_с, а по оси ординат – амплитуда цикла σ_а. Возможен другой вариант – диаграмма Смита: по оси абсцисс откладывают тоже σ_с, а по оси ординат – наибольшее σ_max и наименьшее σ_min напряжения цикла.

Основные точки диаграммы Хея (рис.5.9): точка А соответствует симметричному циклу – σ_с = 0, σ_а = σ_-1; точка В соответствует статическому нагружению – σ_а = 0, σ_с = σ₊₁ = σ_ПЧ; точка C соответствует пульсирующему циклу , .

Рис.5.9

Прямая, проведённая из начала координат под углом γ к оси абсцисс, позволяет найти предел выносливости для произвольного асимметричного цикла. Определитель цикла находится по формуле (5.6)

, , .

На луче надо найти точку, соответствующую напряжению в детали, – точку M₁. После чего можно определить коэффициент запаса прочности

. (5.9)

 

5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность

На величину предела выносливости образцов или деталей, кроме характеристики цикла, влияет целый ряд различных факторов: форма детали, размеры, состояние поверхности, среда, в которой работает деталь, температура, режимы циклического силового воздействия (пауза, перегрузки, частота нагружения и т.п.), предварительная внутренняя напряжённость материала и др. Рассмотрим влияние наиболее важных из них, которые обычно учитываются при расчёте усталостной прочности.

5.4.1. Влияние концентрации напряжений

Наиболее важным фактором, снижающим усталостную прочность, является концентрация напряжения, вызванная резким изменением формы и сечения детали. Концентраторами напряжений являются шпоночные канавки, отверстие, галтели в местах резкого изменения диаметра вала, резьбы, прессовые посадки, дефекты литья, риски на поверхности и т.п. В зонах концентрации не только наблюдается резкий всплеск напряжений, но в ряде случаев меняется вид напряжённого состояния (вместо линейного возникает плоское или вместо плоского – объёмное). Концентрация напряжений содействует зарождению усталостной трещины, которая, развиваясь, приводит в конце концов к разрушению детали.

На рис.5.10,а представлен график распределения напряжений в растягиваемой полосе с отверстием. Другой пример – распределение напряжений в полосе с большими вырезами при растяжении – на рис.5.10,б, а на рис.5.10,в – кручение цилиндрического вала с полукруглой выточкой.

Концентрация напряжений характеризуется теоретическим коэффициентом напряжений

 

,

или (5.10)

.

а б в

Рис.5.10

где σ_max – наибольшее напряжение в зоне концентрации; σ_nom – номинальное напряжение. Номинальное напряжение – это напряжение в детали без учёта концентрации напряжений. Всегда должен быть указан способ его определения, т.к. можно учитывать или не учитывать ослабление сечения.

В полосе с отверстием (рис.5.10,а) , и α_σ = 2,8.

В полосе с полукруглыми вырезами (рис.5.10,б) , и α_σ = 1,4.

Для вала с выточкой (рис.5.10,в) приведён график α_τ.

Для нашего случая , и α_σ = 1,32.

Теоретический коэффициент концентрации напряжений отражает распределение напряжений в детали из идеально упругого сплошного однородного материала. Поэтому его определяют теоретически – методом теории упругости, или экспериментально – методом фотоупругости на моделях из эпоксидной смолы. Значение теоретических коэффициентов концентрации напряжений для различных источников концентрации приведены в обширной справочной литературе.

Экспериментальные исследования усталостной прочности показали, что усталостные повреждения начинаются в местах концентрации напряжений, но при этом максимальные напряжения меньше напряжений, найденных теоретически или экспериментально для идеально упругого тела. В поликристаллических материалах за счёт пластических деформаций в микрообласти места концентрации происходят перераспределения и сглаживания напряжений. Поэтому вводят понятие эффективного максимального напряжения и эффективного коэффициента концентрации напряжений

σ_{max эф.} = К_σσ_nom ≤ σ_max = α_σσ_nom, (5.11)

. (5.12)

Условие (5.11) означает

К_σ ≤ α_σ , (5.13)

причём равенство возможно для материалов с повышенной чувствительностью к концентрации напряжений и для деталей больших размеров.

Эффективный коэффициент концентрации напряжений можно найти только экспериментально, путём определения пределов выносливости

, (5.14)

где σ_-1 – предел выносливости гладкого образца (детали);

σ_-1К – предел выносливости образца (детали) с концентрацией напряжений.

Ввиду ограниченности данных по испытаниям образцов с концентраторами напряжений пользуются приближённой зависимостью между α_σ и К_σ

К_σ = 1 + q (α_σ – 1), (5.15)

где q – коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений, значение которого для различных материалов приведены ниже:

 

Литые материалы и материалы с внутренними источниками концентрации напряжений (серый чугун)…………………………………….…..0,1 ¸ 0,2

Литые жаропрочные сплавы, стальное и алюминиевое литьё модифицированные чугуны ………………………………………………….………0,1 ¸ 0,4

Низкоуглеродистые стали, жаропрочные деформируемые сплавы, алюминиевые деформируемые сплавы……………………………………….0,3 ¸ 0,5

Среднеуглеродистые и низколегированные стали…………………...0,4 ¸0,6

Конструкционные легированные стали……………………………….0,6 ¸ 0,7

Высоколегированные стали, титановые сплавы……………………...0,7 ¸ 0,9

 

Очевидно, для материала не чувствительного к концентрации напряжений, q = 0 и К_σ = 1. Когда q = 1, К_σ = α_σ, т.е. материал обладает полной чувствительностью к концентрации напряжений. Чем выше прочность стали, тем выше её чувствительность к концентрации напряжений. Поэтому применение высокопрочных сталей при переменных напряжениях не всегда оказывается целесообразным. Металлы и сплавы с неоднородной структурой, такие как, например, серый чугун имеют пониженную чувствительность к концентрации напряжений вследствие того, что структурная неоднородность является внутренним источником концентрации напряжений и снижает предел выносливости гладких образцов настолько, что внешние концентраторы уже теряют своё влияние.

Описанный способ определения эффективного коэффициента концентрации напряжений К_σ является довольно грубым. Величина коэффициента чувствительности q зависит не только от материала, но и от геометрических особенностей детали. Поэтому вопрос определения К_σ смыкается с так называемым масштабным фактором.

5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали

(масштабный фактор)

Экспериментально установлено, что с увеличением абсолютных размеров деталей их усталостная прочность снижается (масштабный эффект). Так, например, предел выносливости стали для вагонных осей, определённый в лаборатории на образцах диаметром d₀ = 7,5 мм, равен σ_-1 = 23 кН/см². В действительности, предел выносливости вагонной оси (детали) с диаметром d = 170 мм составляет σ_-1d = 12 кН/см², что почти вдвое меньше лабораторных результатов.

До настоящего времени этому фактору нет полного объяснения. Наиболее достоверно масштабный эффект объясняется статистической теорией усталости, в соответствии с которой при увеличении абсолютных размеров возрастает вероятность попадания дефектных зёрен материала в зону повышенных напряжений. Существуют и другие причины, способствующие проявлению масштабного эффекта: меньшая однородность материала в деталях больших размеров, трудность обеспечения стабильности технологического процесса.

Масштабный эффект оценивают с помощью коэффициента

. (5.16)

где σ_-1d – предел выносливости детали диаметром d;

σ_-1 – предел выносливости материала, определяемый на стандартных образцах, обычно диаметром d₀ = 7 ¸ 10 мм.

В табл.5.1 приведены значения масштабного коэффициента K_dσ для некоторых сталей. При этом можно считать K_dσ = K_dτ.

Таблица 5.1

Материал	d, мм
Углеродистая сталь с пределом прочности σПЧ = 40 ¸ 50 кН/см2	0,98	0,92	0,88	0,85	0,82	0,76	0,70	0,63
Углеродистая и легированная сталь σПЧ = 50 ¸ 80 кН/см2	0,97	0,89	0,85	0,81	0,78	0,73	0,68	0,61
Легированная сталь σПЧ = 80 ¸ 120 кН/см2	0,95	0,86	0,81	0,77	0,74	0,69	0,65	0,59
Легированная сталь σПЧ = 120 ¸ 140 кН/см2	0,94	0,83	0,77	0,73	0,70	0,66	0,62	0,57

5.4.3. Влияние состояния поверхности

В большинстве случаев поверхностные слои деталей, подверженных действию циклических нагрузок, оказываются более напряжёнными, чем внутренние (в частности, это имеет место при изгибе и кручении). Кроме того, поверхность детали почти всегда имеет много дефектов, связанных с качеством механической обработки, а также с коррозией вследствие воздействия окружающей среды. Поэтому усталостные трещины, как правило, начинаются с поверхности, а плохое качество последней приводит к снижению сопротивления усталости.

Влияние состояния поверхности на выносливость оценивается коэффициентом, который равен:

. (5.17)

где σ_-1П – предел выносливости образца с заданным состоянием поверхности;

σ_-1 – предел выносливости полированного образца.

Зависимость коэффициента от предела прочности стали для разных видов обработки и при наличии коррозии приведена на рис.5.11, где кривая 1 соответствует полированным образцам, 2 – шлифованным, 3 – образцам с тонкой обточкой, 4 – с грубой обработкой, 5 – необработанным с наличием окалины, 6 – образцам в пресной воде, 7 – в морской воде или в пресной с концентрацией напряжений.

Кривые 6 и 7 на рис.5.11 показывают, сколь существенно влияние коррозии на усталостную прочность. Необходимо отметить, что с увеличением времени наработки в коррозионной среде сопротивление усталости непрерывно падает. Это объясняется возникновением и развитием коррозионных микротрещин, которые становятся дополнительными источниками концентрации напряжения.

В соединениях, осуществляемых с помощью прочных посадок (прессовых, фланцевых, замковых и т.п.), при воздействии переменных напряжений возникают микросмещения, приводящие к разрушению поверхностного слоя, – это явление называется фреттинг–коррозией. При наличии фреттинг–коррозии К_F = 0,4 ¸ 0,6 для деталей из среднеуглеродистых легированных сталей.

Рис.5.11

Одним из эффективных способов увеличения выносливости деталей является упрочнение поверхности - повышение твёрдости, создание сжимающих напряжений. При этом эффект поверхностного упрочнения характеризуется коэффициентом К_υ. В табл.5.2 приведены значения К_υ для различных упрочняющих технологий.

Таблица 5.2

Способ упрочнения	Кυ для детали
с концентрацией напряжений	без концентрации напряжений
Пластическое деформирование (наклеп) с помощью обдувки дробью, обкатки роликом, алмазного выглаживания и т. п.	1,3 ¸ 2,2	1,1 ¸ 1,4
Химико-термическая обработка – цементация, азотирование, цианирование	1,3 ¸ 2,5	1,1 ¸ 1,3
Закалка токами высокой частоты	1,2 ¸ 2,5	1,1 ¸ 1,2
Специальная термическая обработка – умеренный нагрев и быстрое охлаждение поверхности	1,6 ¸ 2,5	1,2 ¸ 1,5

Остальные факторы, перечисленные в начале п.5.4, влияют на выносливость значительно меньше.

Влияние пауз. На усталостную прочность имеют влияние паузы - перерывы в нагружении. Число циклов до разрушения может увеличиваться на 15 ¸ 20%. Увеличение тем больше, чем чаще паузы и чем они длиннее.

Влияние температуры. С повышением температуры предел выносливости обычно падает (после 300⁰С примерно на 15 ¸ 20% на каждые 100⁰), а с понижением её – растёт (вдвое при охлаждении до –190⁰ С).

Частота нагружения. Увеличение частоты нагружения приводит к некоторому повышению усталостной прочности. По опытным данным увеличение частоты от 30 ¸ 50 до 1000 Гц приводит к повышению предела выносливости на 1020%. Снижение частоты нагружения с 30 ¸ 50 до 0,13 Гц приводит к такому же уменьшению предела выносливости.

 

5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле

Линейное напряжённое состояние имеет место при осевом растяжении (сжатии) и чистом изгибе. При расчётах выносливости к линейному напряжённому состоянию относят также поперечный изгиб (пренебрегают касательными напряжениями) и кручение (действуют только касательные напряжения).

Далее будут изложены традиционные детерминистические методы расчёта на прочность, в которых характеристики нагруженности и прочности рассматриваются как детерминированные величины, а их случайные вариации при расчёте во внимание не принимаются. Расчёт, согласно этим методам, сводится к вычислениям запасов прочности и сопоставлению их с допустимыми нормативными значениями, устанавливаемыми на основе опыта расчётов и наблюдениями за поведением машин в условиях эксплуатации.

При симметричном цикле коэффициент запаса прочности вычисляется по формуле

, (5.18)

где σ_а – амплитуда нормального напряжения изгиба (растяжения - сжатия) в детали;

К – коэффициент снижения предела выносливости детали:

. (5.19)

Коэффициенты, входящие в (5.19), учитывают: концентрацию напряжений – К_σ; масштабный фактор – К_dσ; состояние поверхности – K_F; технологические меры поверхностного упрочнения – K_υ (см. п.5.4).

Условие прочности:

n_σ ≥ [n]. (5.20)

При вычислении касательных напряжений от кручения необходимо в формулах (5.18), (5.19) и (5.20) заменить букву σ на букву τ.

Величина допускаемого коэффициента запаса прочности [n], как правило, больше коэффициента, принимаемого при расчёте на статическую нагрузку, и зависит от многих факторов: точности метода расчёта, достоверности определения усилий, однородности материала, уровня технологии изготовления детали, ответственности детали (последствий в случае её катастрофического разрушения) и других обстоятельств. Величину [n] назначают конкретные нормы расчёта, ориентировочные значения приведены в табл.13.3.

5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле

Методика расчёта изложена в п.5.3. Основа расчёта – диаграмма предельных напряжений Хея (рис.5.9), по которой для произвольного асимметричного цикла можно определить предел выносливости σ_r, а по формуле (5.9) – запас прочности. Но построение диаграммы требует большого количества сложных трудоёмких испытаний, поэтому на практике пользуются схематизированной диаграммой Хея.

Во-первых, учитывается то обстоятельство, что для детали из пластичной стали опасным напряжением при статической нагрузке является не предел прочности (точка В на рис.5.12), а предел текучести. Поэтому на оси абсцисс откладываем предел текучести σ_Т (точка Е) и из этой точки проводим прямую ЕН, наклонную под углом 45⁰ к оси абсцисс. Сумма координат любой точки этой прямой равна σ_Т, т. е. максимальные напряжения цикла в этом случае определяются равенством

σ_max = σ_a + σ_c = σ_T.

Во-вторых, криволинейный участок диаграммы заменяется прямой АС. Таким образом, получаем схематизированную диаграмму предельных напряжений Хея, состоящую из двух прямых: АС и ЕН. Для построения её нужно знать следующие механические характеристики материала: предел выносливости при симметричном цикле σ_-1, предел выносливости при пульсирующем цикле σ₀ и предел текучести при статической нагрузке σ_Т.

Если прямая 01, соответствующая рассчитываемому циклу, пересекает прямую АН, то произойдёт усталостное разрушение детали.

Рис.5.12

Если же прямая 01^I пересекает линию НЕ, то деталь выйдет из строя в результате появления пластических деформаций.

Из рассмотрения схематизированной диаграммы получаем аналитическую зависимость для коэффициента запаса прочности. Точка М соответствует предельному циклу, точка М₁ – рабочему (напряжения в детали σ_а и σ_с).

.

Из точки М₁ проведём прямую М₁L, параллельную АН, тогда ∆ОАМ ∞ ∆OLM₁:

.

Итак, получили

, (5.21)

где ψ = tg β – коэффициент приведения несимметричного цикла к равноопасному симметричному.

Этот коэффициент может быть найден из рассмотрения подобия треугольников АСА₁ и LМ₁L₁:

;

. (5.22)

Формула (5.21) даёт значение коэффициента запаса для гладкого образца. Учёт особенностей детали (концентрация напряжений, размеров, состояния поверхности) осуществляется введением соответствующего коэффициента, причём он относится только к амплитуде цикла:

. (5.23)

При расчёте на действие касательных напряжений от кручения коэффициент запаса определяется по аналогичной формуле

, (5.24)

где

. (5.25)

При расчёте по формулам не надо строить диаграмму и мы не знаем, на каком участке луч 01 её пересекает. Поэтому необходимо определить запас прочности не только по циклическим напряжениям, но и по статической прочности

. (5.26)

По меньшему значению коэффициента запаса прочности проверяем прочность по формуле (5.19).

Необходимо отметить, что в случае отсутствия данных по пределу выносливости при пульсирующем цикле σ₀ можно вместо подсчёта ψ_σ и ψ_τ по формулам (5.22) и (5.25) применять следующие приближённые значения:

углеродистая сталь ψ_σ = 0,1 ¸ 0,2, ψ_τ = 0,05 ¸ 0,1;

легированная сталь ψσ = 0,2 ¸ 0,3, ψτ = 0,1 ¸ 0,15.

5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии

Известны многие попытки создания гипотез усталостного разрушения в сложном напряжённом состоянии. Все они сводятся к обобщению известных гипотез прочности и пластичности на случай цикличных напряжений. Для наиболее часто встречающегося на практике случая изгиба с кручением общепринятой является эмпирическая формула

, (5.27)

где n_R – коэффициент запаса усталостной прочности;

n_σ – коэффициент запаса по нормальным напряжениям, найденный по формуле (5.23) в предположении, что τ = 0;

n_τ – коэффициент запаса по касательным напряжениям, найденный по формуле (5.24) в предположении, что σ = 0.

Формулу (5.27) легко преобразовать в условие усталостной прочности

. (5.28)

Условие статической прочности может быть записано в соответствии с III-й теорией прочности в виде

. (5.29)

Ориентировочные значения величин допускаемого значения коэффициента запаса прочности [n] приведены в табл.5.3.

Таблица 5.3

Факторы, влияющие на запас прочности	[n]
Для расчёта на статическую прочность по пределу текучести Весьма пластичный материал σТ/σПЧ = 0,45 ¸ 0,55 Пластичный материал σТ/σПЧ = 0,55 ¸ 0,70 Малопластичный материал σТ/σПЧ = 0,70 ¸ 0,90 Хрупкий материал	1,2 ¸ 1,5 1,4 ¸ 1,8 1,7 ¸ 2,2 2,0 ¸ 3,0
Для расчёта на усталостную прочность по пределу выносливости При повышенной точности расчёта, однородном материале, широком использовании экспериментальных данных, высоком качестве технологии При недостаточном объёме экспериментальных данных о нагрузках и характеристиках прочности, при ограниченном числе натурных усталостных испытаний, среднем уровне однородности материала, технологии производства и дефектоскопии При малом объёме и отсутствии экспериментальной информации о нагрузках и прочности, при невысоком уровне технологии производства, пониженной однородности материала (литые и сварные детали значительных размеров)	1,3 ¸ 1,5   1,5 ¸ 2,0   2,0 ¸ 3,0

Пример. Проверить прочность вала с кольцевой выточкой, подвергающегося изгибу с кручением (рис.5.13).

Рис.5.13

Дано: D = 110 мм, d = 90 мм, радиус кольцевой выточки r = 10 мм; поверхность вала шлифованная. Материал – углеродистая сталь с характеристиками: σ_ПЧ = 50 кН/см²; σ_Т = 30 кН/см²; σ_-1 = 22 кН/см²; τ_ПЧ = 26 кН/см²; τ_Т = 16 кН/см²; τ_-1 = 12 кН/см². Действующие переменные со времени моменты равны:

Изгибающие M_max = 5 кН∙м; M_min = – 1 кН∙м;

Крутящие M_{к max} = 2 кН∙м; M_{к min} = – 0,5 кН∙м.

Решение. Осевой и полярный моменты сопротивления

W = 0,1 ∙ d³ = 0,1 ∙ 9³ = 72,9 см³;

W_p = 0,2 ∙ d³ = 2W = 145,8 см³.

Определяем максимальные и минимальные номинальные напряжения в опасном сечении вала:

;

;

;

.

Определяем среднее напряжение и амплитуду циклов

;

;

;.

Теоретические коэффициенты концентрации напряжений определяем по графикам, приведённым в справочнике И.А. Биргер, Б.Ф. Шор, Г.Б. Иосилевич «Расчёт на прочность деталей машин» - М.: Машиностроение, 1979.-702 с. Графики показаны на рис.5.14.

 

а б

Рис. 5.14

При и находим α_σ = 2,0 и α_τ = 1,58. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определяем по формуле (5.15), принимая для среднеуглеродистой стали q = 0,6:

K_σ = 1 + q (α_σ – 1) = 1 +0,6 (2,0 –1) = 1,6:

K_σ = 1 + q (α_τ – 1) = 1 +0,6 (1,58 –1) = 1,35.

Величину масштабного коэффициента находим по табл.5.1. Для d = 90 мм и σ_ПЧ = 50 кН/см²

K_dσ = K_dτ = 0,7.

Коэффициент качества поверхности находим по кривой 2 на рис.5.11:

K_F = 0,95.

Поверхностное упрочнение не применяется, поэтому

К_υ = 1,0.

Далее по формуле (5.19) подсчитываем коэффициент снижения предела выносливости детали:

при изгибе ;

при кручении .

Вычисляем коэффициент запаса. Материал вала в опасном сечении испытывает плоское напряжённое состояние. Поэтому сначала находим частичные коэффициенты запаса по формулам (5.23) и (5.24). Значения ψ_σ и ψ_τ принимаем по приведённым в п.5.6 рекомендациям: ψ_σ = 0,1; ψ_τ = 0,05.

;

.

Общий коэффициент запаса по усталостной прочности вычисляем по формуле (5.28)

.

Коэффициент запаса по статической прочности определяем по формуле (5.29)

.

Получим n_R < n, т.е. коэффициент запаса, равный 2,11, лимитируется усталостной прочностью. Если сравнить его с допускаемыми значениями, приведёнными в табл.5.3, то можно сделать вывод, что прочность вала обеспечена.

Заканчивая главу о прочности при циклических напряжениях, необходимо отметить следующее. Действующие нагрузки и напряжения, возникающие в деталях машин, в большинстве случаев представляют собой случайные функции времени, а характеристики сопротивления усталостности детали (срок службы, предел выносливости) – случайные величины, которым свойственно существенное рассеивание. Поэтому уточнённые методы расчёта усталостной прочности базируются на теории вероятности и математической статистике. Подробно изложены в книге С.В. Серенсена, В.П. Когаева и Р.М. Шнейдеровича «Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность»: Руководство и справочное пособие. – М.: Машиностроение, 1975.

Глава 6. РАСЧЁТЫ ПРОЧНОСТИ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

6.1. Общая характеристика динамических задач

В предыдущих разделах курса рассматривались задачи, в которых внешняя нагрузка прикладывалась статическим способом, т.е. медленно изменялась во времени так, что возникавшие силы инерции были малы по сравнению с величиной самой нагрузки. В то же время в технике встречается много машин и сооружений, где силы инерции играют существенную, а иногда и определяющую роль. Указанные задачи могут быть разделены на три класса.

К первому классу относятся задачи движения с постоянным ускорением – подъём груза тросом с постоянным ускорением и вращение кольца с постоянной угловой скоростью.

Второй класс составляют задачи о колебаниях упругих систем, причём здесь решаются две проблемы. Одна из них касается определения частоты собственных колебаний системы, знание которой необходимо, чтобы при проектировании избежать резонансного режима. Вторая проблема связана с вычислением напряжений и перемещений, и обеспечения условий прочности и жёсткости.

Третий класс составляют задачи обеспечения прочности при воздействии ударной нагрузки.

6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза

Рис.6.1

В момент подъёма груза имеет место равноускоренное движение с ускорением а, направленным вверх. Сила инерции I будет направлена вниз. Итак, вниз направлены: Р – вес груза; Q = γFx – вес троса, где γ – удельный вес материала; I = ma – сила инерции, где m = (P + Q)/g – масса груза и троса. Все эти силы уравновешиваются динамической внутренней силой в тросе NД (рис.6.1). Эта расчётная схема составлена в соответствии с известным из теоретической механики принципом д’Аламбера (принципом кинетостатики). Согласно этому принципу движущуюся систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, если ко всем точкам её присоединить силу инерции.

.

Динамические напряжения будут равны

(6.1)

Скобка в этом выражении представляет собой динамический коэффициент

, (6.2)

а первая дробь – напряжения при статическом воздействии нагрузки

. (6.3)

В итоге получим формулу для динамических напряжений и условие прочности

. (6.4)

Аналогичная формула будет и для динамических перемещений

. (6.5)

6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью

Такое напряжённое состояние возникает, например, в пустотелом роторе турбины. Если ротор по длине мысленно разделить на кольца, то при достаточной длине соседние кольца не оказывают влияния друг на друга.

При равномерном вращении (ω = const) возникает центростремительное ускорение а и соответствующая центробежная сила.

Рис.6.2

Показанная на рис.6.2 интенсивность распределённой нагрузки q представляет собой силу инерции

, , ,

следовательно,

, (а)

где F – площадь поперечного сечения кольца.

Спроектировав все силы на вертикальную ось у, получим

, (б)

где .

Поскольку , для динамического напряжения согласно (а) и (б) получим

, (6.6)

и соответственно условие прочности

. (6.7)

Следует обратить внимание на одно важное обстоятельство. Формула для напряжений не содержит площади поперечного сечения F, поэтому при невыполнении условия прочности увеличение площади, как это делалось раньше при решении многих задач, не даёт эффекта. Нужны другие меры: уменьшение r, уменьшение ω, что приводит к ухудшению технических характеристик машины.

Другой особенностью формулы (6.6) является то, что в ней невозможно выделить динамический коэффициент, поскольку статические напряжения в состоянии покоя равны нулю.

6.4. Характеристики колебательных процессов

6.4.1. Число степеней свободы

Число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве при колебаниях, называется числом степеней свободы.

На рис.6.3 показаны две системы с одной степенью свободы: одна совершает продольные колебания (рис.6.3,а), другая – поперечные (рис.6.3,б). К такой расчётной схеме можно свести задачу, если масса упругой системы мала по сравнению с массой колеблющегося груза (пружина и балка – упругие, невесомые).

а б

Рис.6.3

На рис.6.4 показаны системы с двумя степенями свободы. При рассмотрении поперечных колебаний наглядно видно, что возможны две формы колебаний (рис.6.4,б).

а б

Рис.6.4

Ясно, что, увеличивая число сосредоточенных масс, и, соответственно, число степеней свободы, мы в пределе придём к системе с распределённой массой (рис.6.5), имеющей бесконечное число степеней свободы.

а б

Рис.6.5

 

6.4.2. Типы сил

Если отклонить от положения равновесия тележку, изображённую на рис.6.3,а, то в результате упругой деформации пружины возникнет сила упругости F = cx, стремящаяся вернуть тележку в положение равновесия (рис.6.6,а). Как только мы перестанем удерживать тележку, за счёт силы F она покатится обратно, пройдёт положение равновесия, сожмёт пружину и снова пойдёт вправо – начнётся колебательный процесс. Таким образом, при колебаниях сила упругости присутствует всегда так же, как и сила инерции.

Колебательный процесс в деталях машин и конструкциях происходит от действия внешней возмущающей силы P(t) (рис.6.6,б). Чаще всего эта сила бывает периодической, но может быть и непериодической.

В любом колебательном процессе кроме упомянутых выше сил действуют ещё и силы сопротивления. В основном это силы внутреннего неупругого сопротивления, зависящие от свойств материала упругого тела (пружины или балки). Очень часто для гашения колебаний используют специальное устройство – амортизатор. Эффект сопротивления наилучшим образом учитывается введением внешней силы, пропорциональной скорости движения сосредоточенной массы (рис.6.6,в).

а б в

F = cx – сила упругости P = P(t) – возмущающая – сила

сила сопротивления

Рис.6.6

 

6.4.3. Классификация колебаний

Колебательные процессы удобно классифицировать по признаку учёта (или неучёта) действующих сил:

1) свободные незатухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P = 0, R = 0);

2) свободные затухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P = 0, R ≠ 0);

3) вынужденные незатухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P ≠ 0, R = 0);

4) вынужденные затухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P ≠ 0, R ≠ 0).

Полезна также классификация по деформации, испытываемой деталью:

1) продольные (рис.6.3,а и 6.7,а);

2) поперечные или изгибные (рис.6.3,б и 6.7,б);

3) крутильные (рис.6.7,в).

а б в

Рис.6.7

6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы

6.5.1. Поперечные и продольные колебания

Рассмотрим самую простую расчётную схему, в которой действуют лишь сила инерции I и сила упругости F. Эта модель позволяет изучить динамические характеристики многих конструкций.

 

а б

Рис.6.8

На рис.6.8,а показана консольная невесомая балка с сосредоточенной массой m на свободном конце. Если массу m отклонить от положения равновесия и отпустить, то балка вместе с массой начнёт колебаться. Эти свободные или собственные колебания будут продолжаться вечно, т.к. мы не учитываем силу сопротивления. В реальности колебания быстро затухают.

В произвольный момент времени масса отклоняется от положения равновесия на расстояние υ, при этом на неё действует сила инерции

, (а)

и сила упругости F:

Þ Þ Þ , (б)

где δ₁₁ – прогиб от силы, равной единице, приложенной в точке прикрепления массы. Величину δ₁₁ легко определить методом Мора-Верещагина (см. главу 1).

В соответствии с принципом д’Аламбера запишем уравнение статики:

∑υ = 0; F – I = 0; ,

откуда

. (6.8)

Множитель перед υ есть квадрат частоты свободных колебаний

. (6.9)

Окончательно дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет вид:

. (6.10)

То же самое уравнение описывает продольные колебания, только вместо прогиба балки υ надо поставить удлинение стержня ∆ℓ или осадку пружины λ (рис.6.7,а).

Важно определять частоту собственных колебаний ω, чтобы судить о возможности появления резонанса в процессе эксплуатации машины. Из формулы (6.9)

, (6.11)

где c = 1/δ₁₁ – жёсткость упругой системы. Жёсткость – это значение внешней силы, которая вызывает перемещение, равное единице.

Формулу (6.11) можно представить в ином виде, если учесть, что m = P/g и P ∙ δ₁₁ = υ_ст – перемещение от статического приложения силы

, (6.12)

где g – ускорение силы тяжести (g = 9,8 м/с² = 980 см/с²).

Таким образом, определение частоты свободных колебаний сводится к вычислению жёсткости упругой конструкции.

Для рассмотренной нами консольной балки , , размерность ω – 1/с.

Для балки на рис.6.3,б , . В этих формулах Е – в кН/см², J – в см⁴, ℓ – в см и m – в кг.

Для стержня на рис.6.7,а (закон Гука при растяжении), .

Для пружины на рис.6.7,а , , где G – модуль сдвига, r – радиус проволоки, R – радиус винтовой оси, n – число витков пружины.

Теперь запишем решение уравнения (6.10). Оно известно из курса дифференциальных уравнений

, (6.13)

где υ₀ – перемещение в начальный момент времени, – скорость движения в начальный момент времени t = 0. График функции υ представлен на рис.6.8,б.

Уравнение (6.13)можно привести к другому виду, если принять

(6.14)

Подставим (6.14) в (6.13)

.

Окончательно получим следующее уравнение колебаний

. (6.15)

Из уравнения (6.15) и графика на рис.6.8,б следует, что наибольшее отклонение будет при sin (ωt + ν) = 1 и составит υ_max = А. Таким образом, А – амплитуда колебаний, Т – период колебаний, через каждые Т секунд отклонение υ принимает прежнее значение. Очевидно, что ωТ = 2π, откуда число колебаний в 2π секунд равно

.

Найдём амплитуду колебаний, для этого возведём в квадрат и сложим две строки (6.14)

Выражение в скобках равно единице, поэтому

. (6.16)

Начальная фаза колебаний ν может быть найдена, если первую строчку (6.14) поделить на вторую

. (6.17)

Получим выражение для амплитуды колебаний А в иной форме. Подсчитаем первую и вторую производные от функции υ, записанной по формуле (6.15)

.

Подставим функцию и её вторую производную в дифференциальное уравнение (6.8)

,

,

. (в)

Теперь запишем выражение для силы инерции

.

Наибольшая сила инерции при sin (ωt + ν) = 1

I_max = mАω².

Возвращаясь к выражению (в), получаем

А = I_max ∙ δ₁₁. (6.18)

Амплитуда колебаний равна статическому перемещению от наибольшей силы инерции.

6.5.2. Крутильные колебания

Массивный диск закреплён на конце невесомого круглого стержня, происходят угловые перемещения диска (рис.6.9), поэтому эта задача отличается от задачи поперечных и продольных колебаний.

В этом случае удобно применить метод инерционной нагрузки (тот же метод д’Аламбера в иной форме): угол закручивания от силы инерции будет

, (г)

где – крутящий момент от силы инерции,

δ₁₁ – угол закручивания от действия статически приложенного единичного крутящего момента.

Рис.6.9

На площадку dF действует элементарная сила инерции , (д) где S – перемещение площадки dF при повороте диска на угол φ; S = ρ ∙ φ, ; dm – масса площадки dF: (γ – удельный вес). Итак . (е)

Крутящий момент от элементарной силы инерции

. (ж)

Чтобы найти крутящий момент от силы инерции, надо подставить (е) в (ж) и проинтегрировать по площади

, т.к. – полярный момент инерции диска. Известно, что момент инерции массы маховика

. (6.19)

Таким образом

. (з)

Теперь, подставив (3) в (2), получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний

,

. (6.20)

Очевидно, что уравнение (6.20) идентично уравнению (6.8), но только частота собственных колебаний подсчитывается несколько иначе

, (6.21)

где

. (6.22)

Здесь G – модуль сдвига, – полярный момент инерции вала . I_m – по формуле (6.19), причём .

 

6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы

Уточним приведенное в п.6.5.1 приближенное решение за счёт учёта внутреннего неупругого сопротивления. В произвольный момент времени на массу действуют кроме силы инерции и силы упругости

; (а)

и сила сопротивления (рис.6.10,а)

. (б)

а б

Рис.6.10

Уравнение статики

∑ υ = 0; F + R – I = 0. (в)

Подставив (а) и (б) в (в), получим

,

откуда

. (6.23)

Окончательно уравнение свободных колебаний с учётом затухания записывается в виде

, (6.24)

где – коэффициент гашения колебаний,

– квадрат частоты собственных незатухающих колебаний.

Известно решение уравнения (6.24)

, (6.25)

где

. (6.26)

График колебаний (рис.6.10,б), построенный по выражению (6.25), показывает, что собственные колебания быстро затухают. Формула (6.26) даёт значение частоты колебаний с учётом сил сопротивления. Величина n обычно мала по сравнению с ω (для стали, как правило, не превышает 0,2ω), поэтому можно считать, что ω = ω_*.

Для того, чтобы оценить скорость затухания, найдём отношение двух отклонений массы, замеренных через один период Т (рис.6.10,б):

,

откуда

. (6.27)

Величина γ называется логарифмическим декрементом затухания.

Экспериментальное изучение колебаний упругих балок и других конструкций показало полное совпадение теории с экспериментом. Таким образом, частоту собственных колебаний можно определять без учёта затухания.

6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы

6.7.1. Без учёта затухания

Внешняя возмущающая сила чаще всего представляет периодическую (вибрационную) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой θ

P(t) = P₀sin θt. (а)

Рассматривая упругую консольную балку (рис.6.11), заметим, что в произвольный момент времени на массу действует сила инерции , сила упругости и возмущающая сила P(t). Уравнение статики

∑υ = 0; F – P(t) – I = 0. (б)

Подставляем в (б) выражение для сил

.

Рис.6.11

После переноса P₀sinθt в правую часть и деления на m получаем дифференциальное уравнение

. (6.28)

Интеграл неоднородного дифференциального уравнения (6.28) записывается в виде суммы общего интеграла однородного уравнения (6.15) и частного интеграла, зависящего от вида правой части

. (6.29)

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные (сопутствующие) колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Известно, что собственные колебания быстро затухают (см.рис.6.10,б), поэтому можно считать, что установившиеся вынужденные колебания описываются уравнением

υ = A₁sinθt. (6.30)

Найдём производные

, .

(6.31)

Функцию (6.30) и её вторую производную (6.31) подставим в уравнение (6.28)

.

Теперь можно получить формулу для амплитуды вынужденных колебаний

, , .

Если учесть, что , то получим

. (6.32)

Так как – прогиб от статически приложенной наибольшей возмущающей силы, то выражение для амплитуды вынужденных колебаний запишем в виде

, (6.33)

где β – так называемый коэффициент нарастания колебаний.

. (6.34)

На рис.6.12 представлен график абсолютного значения β. Из этого графика видно, что когда частота вынужденных колебаний θ приближается к частоте собственных колебаний ω, коэффициент нарастания колебаний β и соответственно амплитуда колебаний А₁ стремятся к бесконечности. Это явление называется резонансом.

Рис.6.12

6.7.2. С учётом затухания

Очевидно, что в конструкции амплитуда колебаний не может быть равна бесконечности. Рассчитать амплитуду колебаний и напряжения в балке при резонансе можно только с учётом затухания (сил внутреннего сопротивления) (рис.6.13). Составим уравнение статики ∑υ = 0:

F – I – P(t) + R = 0;

.

Перенесём P₀sinθt в правую часть, поделим на m и окончательно получим

. (6.35)

 

 

Не останавливаясь на решении этого уравнения, приведём только формулу для коэффициента нарастания колебаний , (6.36) где n – коэффициент гашения колебаний.

Рис.6.13

Рис.6.14

В момент резонанса при θ = ω

. (6.37)

Из графиков β на рис.6.14 видно, что в момент резонанса коэффициент нарастания колебаний достигает больших значений, хотя и не равен бесконечности. Учитывать затухание имеет смысл только в резонансной области.

Пример. В середине пролёта балки установлен электродвигатель массой m = 400 кг (рис.6.15). Балка изготовлена из двутавра №20: J = 1840 см⁴, W = 184 см³. Ротор двигателя вращается с частотой n = 1500 об/мин. На роторе имеется несбалансированная масса m₀ = 400 г на расстоянии r = 10 см от оси вращения. Проверить прочность балки, если [σ] = 12 кН/см².

Круговая частота возмущающей силы равна угловой скорости вращения ротора

.

Рис.6.15

Определяем частоту собственных колебаний балки по формуле (6.11), пренебрегая при этом массой балки. Сначала находим жёсткость балки (см.пункт 6.5.1):

.

Теперь переведём в основную размерность системы СИ: сила должна быть в ньютонах, линейный размер в метрах с = 220,8 ∙ 1000 ∙ 100 = 22,08 ∙ 10⁶ Н/м. Частота собственных колебаний балки

.

Как видим, частоты не совпадают, причём θ < ω – балка работает в благоприятной дорезонансной области, поэтому нет смысла учитывать затухание. Коэффициент нарастания колебаний определяем по формуле (6.34)

.

Далее необходимо найти максимальное значение возмущающей силы

P₀ = m₀θ²r = 0,4 ∙ 157² ∙ 0,1 = 986 Н = 1 кН.

Определим теперь амплитуду колебаний

.

До включения электродвигателя балка прогнулась от статически приложенного веса мотора:

.

Можно сосчитать динамический коэффициент

.

Динамический коэффициент показывает, во сколько раз увеличиваются перемещения и напряжения в балке за счёт вибрации, возникающей при включении электродвигателя.

Теперь определим напряжения. Наибольшее статическое напряжение при неработающем электродвигателе

.

Наибольшее динамическое напряжение при включённом электродвигателе

.

Прочность обеспечена, т.к. [σ] = 12 кН/см².

6.8. Критическая частота вращения вала

Из практики эксплуатации машин известно, что вращающиеся валы при некоторых вполне определённых для данной машины частотах вращения попадают в резонанс и становятся динамически неустойчивыми – возникают большие поперечные колебания. Число оборотов, при котором обнаруживается указанное явление резонанса, называется критическим.

Рассмотрим вращение двухопорного вала с диском посередине (рис.6.16,а). Ось вала изогнулась, перемещение центра тяжести диска – υ. При вращении вала центр тяжести диска будет двигаться по окружности радиуса υ, и возникнет центробежная сила

I = θ²mυ, (а)

где θ – частота вращения вала,

m – масса диска.

а б

Рис.6.16

Отклонение вала приводит к появлению силы упругости, стремящейся вернуть вал в недеформированное состояние:

F = cυ, (б)

где с – жёсткость вала на изгиб, в нашем случае .

При I < F вращение вала будет устойчивым. В момент равновесия, когда I = F, прогибы вала могут неограниченно возрастать. Приравнивая значения I и F, находим

, (6.38)

или

. (6.39)

Формула (6.38) это фактически формула (6.11) для определения частоты собственных колебаний. Критическая частота вращения (в оборотах в минуту)

. (6.40)

В практических задачах центр тяжести диска имеет некоторый эксцентриситет е по отношению к оси вращения (рис.6.16,б). Для быстроходных машин обязательно применяется предварительная балансировка ротора с целью уменьшить дисбаланс и избежать больших резонансных колебаний.

При наличии эксцентриситета центробежная сила инерции будет равна

I = θ²m(υ + e). (в)

Сила упругости определяется, как и раньше, равенством (б). Уравнение равновесия будет

θ²m(υ + e) = cυ. (6.41)

После несложных преобразований находим

. (6.42)

При наличии эксцентриситета прогиб вала возникает при любой частоте вращения θ. Когда θ достигает критической частоты вращения (θ = ω) прогиб υ ® ∞.

В реальных динамических системах при наличии значительного демпфирования в опорах и тщательной балансировки удаётся проходить критический режим при разгоне ротора.

В закритическом режиме при θ > ω ® υ < 0, что означает противоположность направлений υ и е. При этом центр тяжести диска расположен ближе к оси вращения, чем точка крепления диска к валу. С увеличением скорости вращения вала прогиб υ уменьшается и приближается к эксцентриситету е, т.е. при очень больших скоростях центр тяжести диска достигает прямой линии, соединяющей опоры, а изогнутый вал вокруг него вращается.

6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы

При расчёте многомассовых систем или систем с распределённой массой всегда возникает задача определения спектра частот собственных колебаний. Для приближённого решения бывает достаточно найти первую минимальную частоту собственных колебаний. В этом случае удобно применить приближённый метод приведения масс. Он заключается в замене системы со многими сосредоточенными массами или с распределённой массой на динамически эквивалентную систему с одной степенью свободы (с одной сосредоточенной приведённой массой). В качестве критерия динамической эквивалентности принимается кинетическая энергия.

Рис.6.17

Дана двухопорная балка с двумя сосредоточенными массами m₁ и m₂ (система с двумя степенями свободы). Необходимо заменить её динамически эквивалентной балкой с сосредоточенной массой в точке К (рис.6.17). Найдём и приравняем кинетические энергии двух балок

.

Отсюда

, (6.43)

где V₁ и V₂ – скорости движения масс m₁ и m₂,

V_К – скорость движения точки К с приведённой массой m_ПР.

Пользоваться формулой (6.43) невозможно, поскольку скорости движения неизвестны. Вводится дополнительное упрощение – скорости заменяются единичными перемещениями, вызванными статическим действием единичной силы, приложенной в точке К. Тогда

. (6.44)

Формулу (6.44) можно обобщить на систему с n сосредоточенными массами

. (6.45)

В случае исходной системы с распределённой массой формула (6.45) слегка видоизменяется – суммирование заменяется интегрированием:

, (6.46)

где m_ix – функция изменения массы по длине балки;

δ_ix – функция прогиба от силы Р = 1, приложенной в точке К.

В качестве примера применения формулы (6.46) найдём приведённую массу для консольной балки с равномерно распределённой массой (рис.6.18), . Определим δ_ix с помощью метода начальных параметров, помня о том, что прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю:

.

.

Рис.6.18

Теперь в соответствии с формулой (6.46)

.

Для некоторых распространённых схем стержней с распределённой массой справочные данные приведены в табл.6.1.

 

 

Таблица 6.1

Поперечные колебания	Продольные колебания
		– масса единицы длины

6.10. Расчёт на удар

6.10.1. Продольный и поперечный удар

Удар – это такое взаимодействие движущихся тел, при котором скорости точек этих тел изменяются за весьма малый промежуток времени. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины. Например, удар груза при забивке свай, удар кузнечного молота по металлической заготовке, удар колеса вагона по рельсу при перекатывании через стык, удар автомобиля о неподвижное препятствие или о другой автомобиль при аварии.

При определении напряжений (перемещений) в элементах упругих систем, вызываемых действием ударной нагрузки, в инженерной практике обычно пользуются приближённым энергетическим методом. Согласно этому методу полагают, что при соударении тел уменьшение запаса кинетической энергии равно увеличению потенциальной энергии деформации соударяющихся тел (по закону сохранения энергии).

Вывод расчётных формул проведём на примере простой системы с одной степенью свободы (рис.6.19,а), состоящей из вертикально расположенной невесомой пружины (упругого стержня) с закреплённым на конце грузом Q. Груз Р падает с высоты h. Необходимо найти динамический коэффициент k_Д (σ_Д = k_Д ∙ σ_cm).

Принимаем следующие допущения:

1. В месте падения груза нет пластических деформаций.

2. Удар считаем абсолютно неупругим. В том смысле, что груз Р не отскакивает, а «приклеивается» к грузу Q. Предполагаем, что после соприкосновения два тела соединились в одно, которое, продолжая перемещаться вниз, сжимает пружину.

Если силу Р приложить к системе статически, то перемещение λ_ст (рис.6.19,в) будет определяться равенством

, (а)

где с – жёсткость пружины.

а б в

Рис.6.19

После удара пружина сожмётся на величину λ_Д (рис.6.19,б), которую можно определить через динамическую силу (динамический коэффициент)

. (б)

Скорость падения груза в момент касания

V² = 2gh. (в)

После соприкосновения двух тел их скорости одинаковы и равны V₁. По теореме об изменении количества движения имеем

,

откуда

. (г)

При дальнейшем движении пружина сжимается, а скорость тел постепенно падает. В момент наибольшего сжатия скорость равна нулю, а сила достигает максимума: Р_Д + Q.

По теореме об изменении кинетической энергии

Т₂ – Т₁ = U, (д)

где Т₂ – кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины, Т₂ = 0;

Т₁ – кинетическая энергия после удара в начальный момент движения;

U – потенциальная энергия деформации пружины.

Кинетическая энергия системы с учётом равенства (г) определится выражением

. (е)

Потенциальная энергия деформации пружины равна работе всех сил, приложенных к двум движущимся телам на пути λ_Д. Сила тяжести двух тел совершит работу

A₁ = (P + Q)λ_Д. (ж)

Со стороны пружины на тела действует переменная сила. В начале деформации пружины она равна силе веса Q, а в конце – силе (P_Д + Q). График изменения силы сопротивления пружины N показан на рис.6.20. Работа этой силы будет отрицательной, т.к. она действует в сторону, противоположную движению. Численно работа равна площади диаграммы, показанной на рис.6.20

. (з)

Рис.6.20

Таким образом, учитывая равенство (б), найдём

.

Подставляя полученные значения Т₁ и U в равенство (д), получим

.

С учётом равенств (а) и (в) имеем

.

После несложных преобразований получаем квадратное уравнение относительно λ_д

.

Решая это уравнение, можно определить динамическое перемещение

. (6.47)

Знак «–» в этой формуле не соответствует физическому смыслу задачи, поэтому сохраняем знак «+» и записываем в виде

. (6.48)

Выражение в скобках есть формула динамического коэффициента при продольном (поперечном) ударе:

. (6.49)

В рассмотренном случае падения груза на пружину

,

где R – радиус винтовой оси пружины;

n – число витков;

G – модуль сдвига;

r – радиус проволоки.

Применим полученный результат к расчёту стержня, испытывающего ударное сжатие (рис.6.21).

Груз Р падает на стержень (рис.6.21,а), сечение которого представляет собой коробку, сваренную их двух двутавров №20 (рис.6.21,б). Необходимо проверить прочность стержня, принимая допускаемое динамическое напряжение [σ] = 14 кН/см².

Сначала найдём статическое напряжение и статическую деформацию стержня (рис.6.21,в)

,

.

 

 

а б в г

Рис.6.21

Перед расчётом динамического коэффициента заданный стержень необходимо привести к расчётной схеме на рис.6.19. Приведённый вес стержня в соответствии с табл.6.1 будет

.

Здесь р = 21 кг – вес одного погонного метра двутавра.

Динамический коэффициент находим по формуле (6.49), подставляя λ_ст = ∆ℓ_ст:

.

Наибольшее напряжение при ударе определяется по формуле

σ_max = σ_ст ∙ k_Д. (6.50)

В нашем случае

σ_max = 0,11 ∙ 64,27 = 7,07 кН/см².

При проверке прочности необходимо вспомнить об опасности потери устойчивости стержня. Поэтому найдём коэффициент продольного изгиба φ.

Для сечения (рис.6.21,б) главные оси z и у. Радиусы инерции: i_z = 8,28 см, . (см.рис.6.21,б), .

Гибкость . Из справочника находим

λ	φ	. Интерполируем .
	0,69 0,6

Должно выполняться условие σ_max ≤ φ[σ].

У нас σ_max = 7,07 кН/см², φ[σ] = 0,663 ∙ 14 = 9,28 кН/см². Условие устойчивости выполняется.

Анализируя расчёт, можно заметить очень большое значение коэффициента k_Д. Это связано с тем обстоятельством, что стальной стержень весьма жёсткий и статическая деформация соответственно малая.

Поэтому самый эффективный способ уменьшить k_Д – увеличить статическое перемещение. Это можно сделать за счёт установки между стержнем и опорой пружины или мягкой податливой прокладки.

Проверим, насколько уменьшится k_Д, если установим резиновую прокладку размером 20´20 см и толщиной 10 см (рис.6.21,г). Перемещение ∆ℓ_П будет

(Е_П = 2 кН/см²).

Общее перемещение

∆ℓ = ∆ℓ_ст + ∆ℓ_П = 0,0014 + 0,075 = 0,0764 см.

Динамический коэффициент

.

Получили снижение k_Д более, чем в шесть раз.

Ещё один способ уменьшения k_Д – увеличить вес стержня Q. Если груз падает на очень массивную конструкцию (Q >> P), то k_Д = 2. С другой стороны, если масса конструкции мала по сравнению с массой падающего груза (Q << P), формула для динамического коэффициента упрощается:

, (6.51)

где δ_ст – перемещение от статического действия силы Р (в стержне – деформация ∆ℓ_ст, в пружине – осадка λ_ст, в балке – прогиб υ_ст).

Рассмотрим случай поперечного (изгибного) удара. Груз Р падает на консоль балки (рис.6.22), сечение которой двутавр №27а (W = 371 см², J = 5010 см⁴). Необходимо проверить прочность балки, [σ] = 16 кН/см².

Рис.6.22

Статическое напряжение

.

Статический прогиб найдём методом Мора–Верещагина

.

Динамический коэффициент определим по формуле (6.51) – без учёта массы балки

.

Проверим прочность

σ_max = σ_cm ∙ k_Д = 2,16 ∙ 7,22 = 15,6 кН/см² < [σ] = 16 кН/см².

Следовательно, прочность обеспечена.

На практике встречаются случаи продольного удара, когда на основании полученной выше формулы (6.51) динамический коэффициент определить нельзя. К таким случаям относится задача об определении напряжений в канате, поднимающем груз Р с постоянной скоростью V, при внезапном торможении подъёмника (рис.6.23).

Полагая, что кинетическая энергия движущегося груза полностью превращается в потенциальную энергию деформации троса, получили следующее выражение для динамического коэффициента . (6.52)

Рис.6.23

Проиллюстрируем полученный результат примером расчёта. Груз Р = 45 кН поднимается со скоростью V = 1 м/с. В момент внезапной остановки длина троса ℓ = 18 м. Определить напряжение в тросе (рис.6.23). Сечение каната F = 16 см², модуль Юнга Е = 1,05 ∙ 10⁴ кН/см².

Вычислим статическую деформацию каната:

.

Согласно формуле (6.52) коэффициент динамичности

и динамические напряжения

.

6.10.2. Скручивающий удар

В случае ударного кручения (рис.6.24,а) можно из энергетического баланса вывести формулу для определения максимального касательного напряжения, аналогичную формуле (6.50) для нормального напряжения при продольном и поперечном ударе:

τ_max = τ_cm ∙ k_Д, (6.53)

где, как и прежде

.

а б

Рис.6.24

Здесь δ_ст – перемещение точки соударения под действием статически приложенной силы Р (рис.6.24,б). Пренебрегая деформацией кривошипа, δ_ст можно вычислить по формуле

,

т.е.

. (6.54)

В машиностроении ударное кручение чаще всего вызывается не падением тех или иных грузов, а силами инерции масс при больших ускорениях последних. Это имеет место, главным образом, при торможении валов, несущих маховики. Массивный диск диаметром D вращается вместе с валом АВ длиной ℓ с постоянной угловой скоростью ω. При внезапном торможении в сечении А вал испытывает ударное кручение (рис.6.25).

Потенциальная энергия деформации стержня может быть представлена в виде

. (а)

где М_Д – динамический крутящий момент;

φ_Д – соответствующий угол закручивания вала.

Так как

,

то

. (б)

Тогда, подставив (б) в (в), выразим потенциальную энергию деформации через напряжение

. (в)

Рис.6.25

Считаем, что в потенциальную энергию деформации вала превращается вся кинетическая энергия маховика Т₀, т.е.

U_Д = Т₀.

Тогда напряжение при ударном кручении может быть определено по формуле

, (6.55)

где кинетическая энергия маховика

. (6.56)

Полярный момент инерции массы маховика находим по формуле (6.19)

. (г)

Пример. Диск диаметром D = 40 см и толщиной h = 5 см насажен на вал АВ диаметром d = 6 см и длиной l = 100 см. Вал вращается с частотой n = 120 об/мин. Определить наибольшие касательные напряжения в вале в тот момент, когда конец А внезапно останавливается.

Полярный момент инерции диска . По формуле (г) найдём момент инерции массы маховика (удельный вес стали γ = 7,8 г/см³):

.

Угловая скорость вращения вала

.

Кинетическую энергию маховика определим по формуле (6.56)

.

Площадь сечения вала

.

Теперь найдём максимальное касательное напряжение по формуле (6.55)

.

Список литературы

1. Сопротивление материалов / Под ред. А. Ф. Смирнова. – М.: Высшая школа. 1975. – 480 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. 1999. – 536 с.

3. Писаренко Г.С., Агарев В.А., Квитка А.Л., Понков В.Т., Уманский Э.С. Сопротивление материалов. – Киев: Вища школа. 1973. – 672 с.

4. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №1-3. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992.

5. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №4-5. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1 Перемещения балок при изгибе 1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки 1.3. Метод начальных параметров 1.4. Энергетические теоремы 1.4.1. Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил 1.4.2. Потенциальная энергия стержня. Теоремы Кастильяно и Лагранжа 1.5. Метод Мора 1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина Глава 2. Статически неопределимые балки 2.1. Общие понятия 2.2. Расчёт методом сил 2.3. Многопролётные неразрезные балки Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса 3.1. Общие понятия 3.2. Косой изгиб 3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием) 3.4. Внецентренное растяжение (сжатие) 3.5. Изгиб с кручением круглого стержня 3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня Глава 4. Устойчивость сжатых стержней 4.1. Основные понятия 4.2. Определение критической силы методом Эйлера 4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня 4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений 4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению 4.6. Пример расчёта 4.6.1. Определение размеров поперечного сечения 4.6.2. Определение грузоподъёмности 4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней Глава 5. Прочность при поворотно-переменных (циклических) напряжениях 5.1. Основные понятия. Механизм разрушения 5.2. Характеристики цикла. Виды циклов 5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости 5.4. Влияние конструктивно-технических факторов на усталостную прочность 5.4.1. Влияние концентрации напряжений 5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали (масштабный фактор) 5.4.3. Влияние состояния поверхности 5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле 5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле 5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках 6.1. Общая характеристика динамических задач 6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза 6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью 6.4. Характеристики колебательных процессов 6.4.1. Число степеней свободы 6.4.2. Типы сил 6.4.3. Классификация колебаний 6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы 6.5.1. Поперечные и продольные колебания 6.5.2. Крутильные колебания 6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы 6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы 6.7.1. Без учёта затухания 6.7.2. С учётом затухания 6.8. Критическая частота вращения вала 6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы 6.10. Расчёт на удар 6.10.1. Продольный и поперечный удар 6.10.1. Скручивающий удар