Задачи на случайные величины - раздел Математика, ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ 2.1. Из Ящика С Семью Деталями, Среди Которых Имеется 5 Стан...
2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стандартных деталей среди отобранных.
2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержания в тираже ровно 10 бракованных календарей.
2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат равна 40Y. Найти дисперсию прибыли при следующих условиях: случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,6; случайная величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 3; случайные величины Х и Y являются независимыми.
2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:
2.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов реле в 10 независимых опытах, если вероятность отказа реле в каждом опыте равна 0,1.
2.6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
2.7. Найти ковариацию и коэффициент корреляции Х и Y для двумерной случайной величины, распределение которой следующее:
2.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = (arcctg x)/π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).
2.9. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что Х примет значение:а) менее 1; б) менее четырех;в) не менее четырех; г) не менее семи.
2.10. Дискретная случайная величина дана законом рапределения:
Найти функцию распределения и построить ее график.
2.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
2.12. Случайная величина Х задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x) = 1 - е-3x. Найти математическое ожидание величины X.
2.13. Случайная величина Х задана на интервале (0, 2) плотностью распределения f(x) = x/8; вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения и дисперсию величины X.
2.14. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2e-2x на интервале (0, ). Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
2.15. Случайная величина задана функцией распределения
Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (5, 10).
2.17. Сторона квадрата измерена приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию площади квадрата, если его сторону рассматривать как случайную величину с равномерным распределением на этом интервале.
2.18. Размер женской обуви является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 37 и дисперсией 4. Какой процент от общего объема закупок следует предусмотреть магазину для обуви 38 размера, если этот размер находится в интервале (37,5, 38,5)?
2.19. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна 36.
2.20. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (5, 10) равна 0,2. Найти дисперсию.
П6. Задания по теме "Линейное программирование"
6.1. Найти область решений и область допустимых решений системы неравенств
Значения коэффициентов системы ограничений системы неравенств
6.2. Найти область решений и область допустимых решений и определить координаты угловых точек области допустимых решений системы неравенств
Значения коэффициентов системы ограничений системы неравенств
6.3. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
Составить математическую модель и провести экономический анализ задачи с использованием графического метода.
6.4. Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.
Расход и суточные запасы исходных продуктов
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает b3 т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ — c1 ден. ед., для внутренних работ — c2 ден. ед.
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Значения коэффициентов условий задачи
Примечание. Если по условию задания спрос на краску для наружных (внутренних) работ не превышает b3 т в сутки, то в математической модели задачи следует принять, что коэффициент системы ограничений при неизвестном значении краски для наружных (внутренних) работ, обозначенный в таблице k1 (k2), равен 1 (0), а при неизвестном значении краски для внутренних (наружных) работ k2 (k1) равен 0 (1).
6.5. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Решить задачу симплексным методом при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.6. Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.
В производстве пользующихся спросом двух изделий, А и В, принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает a1 ч, 2-й цех — a2 ч, 3-й цех — а3 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает d1 ч, 2-й цех — d2 ч, 3-й цех — d3 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более b1 ч, 2-й цех — не более b2 ч, 3-й цех — не более b3 ч.
От реализации одного изделия А фирма получает доход c1 р., изделия В — c2 р.
Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.
Значения коэффициентов условия задачи
6.7. Дана исходная задача
при ограничениях:
Составить математическую модель симметричной двойственной задачи. По решению двойственной или исходной задачи найти решение другой с использованием основных теорем двойственности.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.8. Дана исходная задача
при ограничениях:
Составить математическую модель несимметричной двойственной задачи. По решению двойственной или исходной задачи найти решение другой с использованием основных теорем двойственности.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.9. Решить транспортную задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.10. Решить транспортную задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.11. Составить математическую модель транспортной задачи и решить ее.
Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенных в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с двух складов D и Е, площади которых вмещают 30 и 25 т продукции соответственно. В связи с возросшим покупательским спросом фирма планирует расширить площади магазинов, поэтому их потребности в продукции с торговых складов составят 20, 35 и 15 т в день. Чтобы удовлетворить спрос на продукцию, предполагается строительство третьего склада, площади которого позволят хранить в нем 15 т продукции ежедневно. Руководство фирмы рассматривает два варианта его размещения. В таблице даны транспортные издержки, соответствующие перевозке продукции с двух существующих складов, и два варианта размещения нового склада.
Оценить две транспортные модели и принять решение, какой вариант размещения нового склада выгоднее. Предполагается, что остальные издержки сохраняют существующие значения.
Значения коэффициентов
6.12. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Графическим методом найти максимальное и минимальное целочисленные решения задач.
Решить задачу методом Гомори, принимая по своему усмотрению стремление целевой функции к максимальному или минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.13. Дана задача параметрического программирования
при ограничениях:
Решить задачу симплексным методом.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.14. Решить транспортную параметрическую задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.15. Решить задачу о назначении с использованием симплексного метода.
Районная администрация финансирует 5 инвестиционных проектов, каждый из которых может быть осуществлен в течение последующих трех лет. В связи с невозможностью финансирования в полном объеме определить, какие из инвестиционных проектов, обеспечивающих максимально чистые приведенные стоимости, могут быть осуществлены. Затраты, ожидаемые чистые приведенные стоимости (ЧПС) и ограничения по финансированию проектов приведены ниже.
Таблица обозначений
Таблица заданий по вариантам
Примечание. Задачу целесообразно решать на компьютере.
6.16. Решить задачу о назначениях.
В цехе предприятия имеется 5 универсальных станков, которые могут выполнять 4 вида работ. Каждую работу единовременно может выполнять только один станок, и каждый станок можно загружать только одной работой.
В таблице даны затраты времени при выполнении станком определенной работы.
Определить наиболее рациональное распределение работ между станками, минимизирующее суммарные затраты времени.
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.17. Решить задачу о назначениях.
Служба занятости имеет в наличии четыре вакантных места по разным специальностям, на которые претендуют шесть человек. Проведено тестирование претендентов, результаты которого в виде баллов представлены в матрице
Распределить претендентов на вакантные места таким образом, чтобы на каждое место был назначен человек с наибольшим набранным по тестированию баллом.
Значения коэффициентов матрицы
6.18. Дана задача линейного программирования с двумя целевыми функциями
при ограничениях:
Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его (решение математической модели рекомендуется проводить на персональном компьютере).
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
П7. Задания по теме "Нелинейное программирование"
7.1. Дана задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции, при этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять математическую модель задачи вида
при ограничениях:
с 6-го по 10-й вариант — вида
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевых функций и систем ограничений
7.2. Дана задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
7.3. Дана задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции, при этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять математическую модель задачи вида
при ограничениях:
с 6-го по 10-й вариант — вида
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
7.4. Решить задачу дробно-линейного программирования.
Для производства двух изделий A и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на данном типе оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.
Оборудование 1-го и 3-го типов предприятие может использовать не менее b1 и b3 ч соответственно, оборудование 2-го типа — не более b2 ч.
Определить, сколько изделий следует изготовить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.
Значения коэффициентов условия задачи
7.5. Дана задача нелинейного программирования
при ограничении
Найти условный экстремум с использованием метода множителей Лагранжа.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
П8. Задания по теме "Динамическое программирование"
8.1. Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных: S(t) = 0, f(t) = r(t) — u(t).
Значения коэффициентов условия задачи
8.2. Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.
Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн р. с дискретностью 50 млн р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в таблице.
Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию.
Значения коэффициентов условия задачи
8.3. В трех районах города предприниматель планирует строительство пользующихся спросом одинаковых по площади мини-магазинов "Продукты". Известны места, в которых их можно построить. Подсчитаны затраты на их строительство и эксплуатацию.
Необходимо так разместить мини-магазины, чтобы затраты на их строительство и эксплуатацию были минимальные.
Значения коэффициентов условия задачи
8.4. Требуется проложить трубопровод на дачном массиве между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы затраты на проведение работ (в тыс. р.) были минимальные.
Значения коэффициентов условия задачи
П9. Задания по теме "Сетевые модели"
9.1. Районной администрацией принято решение о газификации одного из небольших сел района, имеющего 10 жилых домов.
Расположение домов указано на рис. 9.1. Числа в кружках обозначают условный номер дома. Узел 11 является газопонижающей станцией.
Разработать такой план газификации села, чтобы общая длина трубопроводов была наименьшей.
Значения коэффициентов условия задачи
9.2. Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 14. На рис. 9.2 показана сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами.
Определить маршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты.
Значения коэффициентов условия задачи
9.3. Составить сетевой график выполнения работ и рассчитать временные параметры по данным, представленным в таблице.
Значения коэффициентов условия задачи
9.4. Постройте график работ, определите критический путь и стоимость работ до сжатия. Найдите критический путь и минимальную стоимость работ после сжатия.
Значения коэффициентов условия задачи
П10. Задания по теме "Теория игр"
10.1. Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платёжной матрицей. При этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять платежную матрицу вида
с 6-го по 10-й вариант — вида
Значения коэффициентов платежных матриц
10.2. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.
1) Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
2) Если существует риск (вероятность реализации плана П1 — b%, П2 — с%, П3 — d%),то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?
Значения коэффициентов условия задачи
10.3. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья — А ден. ед., костюмы — В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде — М шт. платьев и N шт. костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.
Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма α, указанную в таблице.
10.4. Решить задачу с использованием "дерева" решений.
Фирма планирует построить среднее или малое предприятие по производству пользующейся спросом продукции. Решение о строительстве определяется будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на планируемом предприятии.
Строительство среднего предприятия экономически оправданно при высоком спросе, но можно построить малое предприятие и через 2 года его расширить.
Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний период. Анализ рыночной ситуации, проведенный службой маркетинга, показывает, что вероятности высокого и низкого уровней спроса составляют А и В соответственно.
Строительство среднего предприятия составит С млн р., малого — D млн р. Затраты на расширение малого предприятия оцениваются в Е млн р.
Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:
• среднее предприятие при высоком (низком) спросе — F(K) млн р.;
• малое предприятие при низком спросе — L млн р.;
• малое предприятие при высоком спросе — М млн р.;
• расширенное предприятие при высоком (низком) спросе дает N(P) млн р.;
• малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спросе дает R млн р. за остальные 8 лет.
Определить оптимальную стратегию фирмы в строительстве предприятий по выпуску продукции.
П11. Задания по теме "Система массового обслуживания"
11.1. Контроль готовой продукции фирмы осуществляют А контролеров. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет В изд./ ч. Среднее время на проверку одного изделия — С мин.
Определить вероятность того, что изделие пройдет проверку, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Р*обс ≥ D.
11.2. Приходная касса городского района с временем работы А часов в день проводит прием от населения коммунальных услуг и различных платежей в среднем от В человек в день.
В приходной кассе работают С операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.
Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.
11.3. На АЗС установлено А колонок для выдачи бензина. Около станции находится площадка на В автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем С маш./ч. Среднее время заправки одной автомашины — D мин.
Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Все темы данного раздела:
В экономическом образовании
Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С. Тел
А. Сложение и умножение вещественных чисел
Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммо
В. Сравнение вещественных чисел
Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а
Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и
Грани числовых множеств
Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х
Абсолютная величина числа
Приведем определение абсолютной величины вещественного числа х (модуля числа):
х, если х X
Применение в экономике
Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.
Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы следующих последовательностей.
2.1. 2.2.
Понятие функции
Определение функциональной зависимости
Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x
Предел функции
Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек
Теоремы о пределах функций
Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) им
Два замечательных предела
В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложениях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.
ТЕОРЕ
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен н
Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрес
Непрерывность элементарных функций
Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Дейс
Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция
Элементы аналитической геометрии на плоскости
Уравнение линии на плоскости
Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида
УПРАЖНЕНИЯ
Найти области определения функций, заданных следующими формулами.
3.1. у = 3x - 2.3.2. у = х2 – 5x + 6.
Определение производной
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0
Понятие дифференциала функции
Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется глав
Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке x0 = φ(t0). Тогда слож
УПРАЖНЕНИЯ
Найти производные следующих функций.
4.1.у = x3 + 3x2 – 2x +1.4.2. у = 5x7 + 3
L. Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций при x
Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена
Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и
Исследование функций и построение графиков
Признак монотонности функции
Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Э
Применение в экономике
Предельные показатели в микроэкономике
Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.
1. Первый из них связан с зависимость
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы с использованием правила Лопиталя.
5.1. .5.2.
Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданно
Неопределенный интеграл
Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x
Метод подстановки
Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, и
Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет
Рациональная функция от sin х и cos х
Рассмотрим интеграл вида
где R — рациональная функция. Этот интегр
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:
Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.
Основная формула интегрального исчисления
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непре
Интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула
Площадь плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b
Объем тела вращения
Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функци
Дневная выработка
Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле
Выпуск оборудования при постоянном темпе роста
Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска
&nbs
Несобственные интегралы
При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Д
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить определенные интегралы.
Найти площади фигур, ограниченных след
Частные производные функции нескольких переменных
Частные производные первого порядка
Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x
Локальный экстремум функции нескольких переменных
Определение и необходимые условия существования локального экстремума
Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М
Экстремум функции нескольких переменных
Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.
Прибыль от производства разных видов товара
&nbs
УПРАЖНЕНИЯ
Найти области определения функций.
Построить линии уровня функций.
Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная,
Геометрический смысл уравнения первого порядка
Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой
Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
Линейные уравнения первого порядка
Определение 7.Уравнение вида
где р(х) и q(x) — непрерывны
Уравнения, допускающие понижение порядка
Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.
1. Уравнение вида
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
Однородные уравнения второго порядка
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где р и q — вещес
Неоднородные уравнения второго порядка
Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение полностью основывается на следующей фундаментальной теореме.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти общие решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Модель естественного роста выпуска
Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение
Векторное пространство
Понятие и основные свойства вектора
Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.
Определение 1. Любой упорядоченный наб
Скалярное произведение векторов
Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такие совокупности называют системо
Базис и ранг системы векторов
Рассмотрим систему векторов
Максимально независимой подсистемой этой системы в
Представление вектора в произвольном базисе
Пусть система векторов
является базисом, а вектор
Разложение вектора в ортогональном базисе
Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:
УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3+ 4-
Понятие матрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей.
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица
Умножение матриц
1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих размерно
Собственные значения и собственные векторы матрицы
Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п.
При умножении матрицы порядка п на n-мерн
Ранг матрицы
Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов). Поскольку
Понятие определителя
Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го
Основные свойства определителей
Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.
1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которы
Ранг матрицы и системы векторов
1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:
Вы
УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Вычислить определители:
14.2. Дана матрица
Общий вид и свойства системы уравнений
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) x1, x2, ..., xп имеет вид
Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (15.1) в матрицу
Метод обратной матрицы и теорема Крамера
В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид
Решение системы общего вида
Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой си
Метод Гаусса
Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонстрируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.
Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Как известно, уравнения с двумя переменными вида
описывают на координатн
Фундаментальная система решений
Решения однородной системы обладают следующими свойствами. Если вектор = (α1, α2,..
Характеристическое уравнение
В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор
УПРАЖНЕНИЯ
Решить методом Крамера системы линейных уравнений.
Решить системы линейн
Матричные вычисления
Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.
1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические п
Использование систем линейных уравнений
Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.
6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Предприятие выпускает три ви
Балансовые соотношения
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего
Линейная модель многоотраслевой экономики
В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij =
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрица
Линейная модель торговли
Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что
УПРАЖНЕНИЯ
16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу производственно-экономических показателей по следующим условиям:
— количество изделий всех видов увеличивается на 20%,
Некоторые формулы комбинаторики
Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы использ
Виды случайных событий
Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трак
Несовместные события
Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В
Противоположные события
Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.
Если событие обозначено через А, то противоположное
Произведение событий и условная вероятность
Определение 1. Произведением двух событий А и В называется событие АВ, означающее совместное появление этих событий (см. гл. 1.1, произведение множест
Независимые события
Определение 3. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события
Появление только одного из независимых событий
Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Определение 1. События А и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.
Для таких событий
Формула полной вероятности
Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют полную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется равенство
Формулы Байеса
Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появ
Формула Бернулли
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются незави
Локальная теорема Лапласа
Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В
Интегральная теорема Лапласа
Опять предположим, что в каждом из произведенных п испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наибол
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
Определение 2. Отношение числа испытаний в которых событие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события
&n
УПРАЖНЕНИЯ
17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.
17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несения караула вы
Виды случайных величин
В главе 17 рассматривались события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных.
Определен
Дискретные случайные величины
Определение 4. Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение
Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А
Распределение Пуассона
Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Как мы знаем, для определения вероятности k появлений события А
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание обладает рядом свойств, которые указаны ниже.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоян
Дисперсия дискретной случайной величины
Как уже говорилось выше, математическое ожидание является средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой при
Свойства дисперсии
Приведем здесь основные свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
Среднее квадратическое отклонение
Одной из основных оценок рассеяния возможных значений случайной величины служит среднее квадратическое отклонение.
Определение 4. Средним квадрати
Начальные и центральные моменты
Определение 5. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk:
Двумерная случайная величина
До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают т
Корреляционный момент
Определение 2. Корреляционным моментом случайных величин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:
Коэффициент корреляции
Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантим
Линейная регрессия
Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в вид
Функция распределения и ее свойства
Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. определение 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить пер
Плотность распределения вероятностей и ее свойства
Определение 3. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей X:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берут
Равномерное распределение
Определение 1. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.
Нормальное распределение
Определение 2. Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины Х называется распределение с плотностью
Асимметрия и эксцесс
В прикладных задачах, например в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального распределения, возникает нео
Выборки
На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К тому же если эта совокупность содержит большое число объектов или исс
Способы отбора
Различают два способа отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому относятся простые случайные отборы (либо повторный, либо беспов
Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого признака Х наблюдалось п1
Эмпирическая функция распределения
Пусть nх — число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относительная частота события Х <
Полигон и гистограмма
Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и
Статистические оценки параметров распределения
Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В та
Виды дисперсий
Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой гр
Эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборок используют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s наз
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального использ
УПРАЖНЕНИЯ
18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — количества с
Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Общая постановка задачи
Определение 1. Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наим
Постановка задачи
Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в неканонической фор
Алгоритм решения задач
1. Находим область допустимых решений системы ограничений задачи.
2. Строим вектор .
3. Проводим линию уровня L0, которая перпенди
Экономический анализ задач с использованием графического метода
Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.
Математическая модель задачи имеет вид
УПРАЖНЕНИЯ
Решить задачи с использованием графического метода.
20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:
Алгоритм симплексного метода
1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.
2. Находим исходное опорное решение и проверяем
Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход р
Альтернативный оптимум
При решении задач линейного программирования симплексным методом критерием оптимальности является условие Δj ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи симплексным методом.
21.1. L() = x1 — 3x2 — 5x3 — х4
Виды двойственных задач и составление их математических моделей
Симметричные двойственные задачи
Дана исходная задача
&n
Основные теоремы двойственности
ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и выполняется равенство
Решение двойственных задач
Решение симметричных задач
Рассмотрим решение задач с использованием теорем двойственности.
Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель
Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу изделия пе
УПРАЖНЕНИЯ
Для следующих задач составить математические модели двойственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной.
22.1. L(
Общая постановка задачи
Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чр
Нахождение исходного опорного решения
Условия задачи и ее исходное опорное решение будем записывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют базисные перемен
Проверка найденного опорного решения на оптимальность
Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему
Переход от одного опорного решения к другому
Наличие положительной оценки свободной клетки (Δij > 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетельствует о том, что полученное решение не оп
Экономический анализ транспортных задач
Проведем экономический анализ задачи на конкретном примере.
Пример 3. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Вели
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие транспортные задачи, заданные распределительной таблицей.
Общая формулировка задачи
Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров
Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
Рассмотрим следующую задачу.
Для улучшения финансового положения фирма приняла решение об увеличении выпуска конкурентоспособной продукции, для чего принято решение об ус
Метод Гомори
Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:
ограничени
УПРАЖНЕНИЯ
Найти целочисленное решение следующих задач.
24.1. L() = 16x1 + 9x
Постановка задачи
Общая задача линейного программирования имеет вид
при ограничениях:
Линейное программирование с параметром в целевой функции
Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пределах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства реше
Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
Рассмотрим следующую задачу.
Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья
Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потребителя с объем
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи параметрического программирования с параметром в целевой функции.
25.1. L(
Постановка задачи
Задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз
Алгоритм решения задачи
Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задач
Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
Рассмотрим следующую задачу.
На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обработке деталей. Известна производ
Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведенную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют огра
УПРАЖНЕНИЯ
26.1. Фирма имеет три механизма A1, А2, А3, каждый из которых может быть использован на каждом из трех видов работ B
Формулировка задачи
В рассматриваемых выше задачах линейного программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное значение экономичес
Математическая модель нахождения компромиссного решения
Дана математическая модель экономической задачи, в которой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых треб
Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год.
УПРАЖНЕНИЯ
Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его.
27.1. L1 = x1 + 2x2 &
Общая постановка задачи
Математическая модель задачи нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор
Графический метод
Рассмотрим примеры решения задач нелинейного программирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и нелинейном виде.
Математическая модель задачи
Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.
Задача дробно-линейного программиров
Метод множителей Лагранжа
Постановка задачи
Дана задача нелинейного программирования
УПРАЖНЕНИЯ
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций.
28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:
Постановка задачи
Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования
Оптимальная стратегия замены оборудования
Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков,
УПРАЖНЕНИЯ
29.1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на
Минимизация сети
Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную длину (рис. 30.17).
УПРАЖНЕНИЯ
30.1. Составить сетевой график выполнения работ и рассчитать временные параметры по данным, представленным в табл. 30.5.
Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных
Сведение матричной игры к модели линейного программирования
В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программирования. И, наоборот, задача линейного программирования может быть свед
Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний пер
УПРАЖНЕНИЯ
Найти оптимальные стратегии и цену игры.
Построить игру, заданную задачей линейного прог
Формулировка задачи и характеристики СМО
Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из с
СМО с отказами
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества о
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, поки
Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.
Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи в предположении, что поток поступающих заявок является простейшим и длительность обслуживания одной заявки распределена по показательному закону.
Общая постановка задачи
Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих вре
Основная модель управления запасами
Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 33.1.
График изменения запасов представлен на рис. 33.2.
Модель производственных запасов
В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непо
Модель запасов, включающая штрафы
Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.
Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
Решим задачу с применением основной модели управления запасами.
Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организацион
УПРАЖНЕНИЯ
33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов:
— первоначальный запас равен нулю, в следующие двое суток товары поступали на склад непрерывно и равномер
Вычислить
где ,
Задачи на случайные события
1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обменивает 5 монет, а второй — 8 монет.
1.2. В
Новости и инфо для студентов