Виды случайных событий

Все темы данного раздела:

В экономическом образовании
  Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С. Тел

А. Сложение и умножение вещественных чисел
  Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммо

В. Сравнение вещественных чисел
  Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а

Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
  Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и

Грани числовых множеств
  Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х

Абсолютная величина числа
Приведем определение абсолютной величины вещественно­го числа х (модуля числа):   х, если х X

Применение в экономике
  Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е. Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид  

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти пределы следующих последовательностей. 2.1. 2.2.

Понятие функции
  Определение функциональной зависимости Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому элементу x

Предел функции
  Предел функции в точке   Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

Теоремы о пределах функций
  Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке. ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) им

Два замечательных предела
  В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем. ТЕОРЕ

Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен н

Понятие непрерывности функции
  Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрес

Непрерывность элементарных функций
  Непрерывность элементарных функций в точке   Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Дейс

Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция

Элементы аналитической геометрии на плоскости
  Уравнение линии на плоскости   Пусть на плоскости задана система координат. Рассмот­рим уравнение вида  

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти области определения функций, заданных следующими формулами. 3.1. у = 3x - 2.3.2. у = х2 – 5x + 6.

Определение производной
  Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0

Понятие дифференциала функции
Определение и геометрический смысл дифференциала Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется глав

Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x0 = φ(t0). Тогда слож

УПРАЖНЕНИЯ
Найти производные следующих функций. 4.1.у = x3 + 3x2 – 2x +1.4.2. у = 5x7 + 3

L. Раскрытие неопределенностей
  Правило Лопиталя   Будем говорить, что отношение двух функций при x

Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена   Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и

Исследование функций и построение графиков
  Признак монотонности функции   Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Э

Применение в экономике
  Предельные показатели в микроэкономике   Приведем примеры двух предельных показателей в микро­экономике. 1. Первый из них связан с зависимость

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти пределы с использованием правила Лопиталя. 5.1. .5.2.

Первообразная и неопределенный интеграл
  Понятие первообразной функции   Предыдущие главы были посвящены одной из основных за­дач дифференциального исчисления — нахождению производ­ной заданно

Неопределенный интеграл
Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределен­ным интегралом от функции f(x

Метод подстановки
  Замена переменной интегрирования является одним из са­мых эффективных приемов сведения неопределенного интегра­ла к табличному. Такой прием называется методом подста­новки, и

Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет

Рациональная функция от sin х и cos х
  Рассмотрим интеграл вида     где R — рациональная функция. Этот интегр

Определение определенного интеграла
  Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:  

Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

Основная формула интегрального исчисления
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первооб­разных является функция  

Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на от­резке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непре

Интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула  

Площадь плоской фигуры
  Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b

Объем тела вращения
  Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функци

Дневная выработка
  Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи­тельностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле  

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста
  Производство оборудования некоторого вида характеризу­ется темпом роста его выпуска   &nbs

Несобственные интегралы
  При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Д

УПРАЖНЕНИЯ
  Вычислить определенные интегралы.     Найти площади фигур, ограниченных след

Частные производные функции нескольких переменных
  Частные производные первого порядка   Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x

Локальный экстремум функции нескольких переменных
  Определение и необходимые условия существования локального экстремума   Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М

Экстремум функции нескольких переменных
  Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Прибыль от производства разных видов товара &nbs

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти области определения функций.     Построить линии уровня функций.

Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида     где х — независимая переменная,

Геометрический смысл уравнения первого порядка
  Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерыв­ную интегральную кривую, причем в каждой

Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Линейные уравнения первого порядка
Определение 7.Уравнение вида     где р(х) и q(x) — непрерывны

Уравнения, допускающие понижение порядка
  Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка. 1. Уравнение вида  

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида  

Однородные уравнения второго порядка
  Рассмотрим линейное однородное уравнение     где р и q — вещес

Неоднородные уравнения второго порядка
  Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение пол­ностью основывается на следующей фундаментальной теореме.

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти общие решения линейных однородных уравнений с по­стоянными коэффициентами.    

Модель естественного роста выпуска
  Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество про­дукции, реализованной на момент времени t; тогда

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
  Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение

Векторное пространство
Понятие и основные свойства вектора   Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай. Определение 1. Любой упорядоченный наб

Скалярное произведение векторов
Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответ­ствующих координат этих векторов:  

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
  При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупнос­тью векторов одной размерности. Такие совокупности называ­ют системо

Базис и ранг системы векторов
  Рассмотрим систему векторов   Максимально независимой подсистемой этой системы в

Представление вектора в произвольном базисе
  Пусть система векторов     является базисом, а вектор

Разложение вектора в ортогональном базисе
  Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:  

УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3+ 4-

Понятие матрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида     называется матрицей.

Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица

Умножение матриц
1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерно

Собственные значения и собственные векторы матрицы
  Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п. При умножении матрицы порядка п на n-мерн

Ранг матрицы
  Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векто­ров (или из п m-мерных векторов). Поскольку

Понятие определителя
  Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом, n-го

Основные свойства определителей
  Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей. 1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то определитель равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения
  Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й стол­бец, на пересечении которы

Ранг матрицы и системы векторов
  1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:     Вы

УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Вычислить определители:   14.2. Дана матрица  

Общий вид и свойства системы уравнений
  Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x1, x2, ..., xп имеет вид  

Матричная форма системы уравнений
  Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу    

Метод обратной матрицы и теорема Крамера
  В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид  

Решение системы общего вида
  Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой си

Метод Гаусса
  Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количест­ву вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
  Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонст­рируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
  Как известно, уравнения с двумя переменными вида     описывают на координатн

Фундаментальная система решений
  Решения однородной системы обладают следующими свой­ствами. Если вектор = (α1, α2,..

Характеристическое уравнение
  В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить методом Крамера системы линейных уравнений.     Решить системы линейн

Матричные вычисления
  Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства. 1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические п

Использование систем линейных уравнений
  Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений. 6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Пред­приятие выпускает три ви

Балансовые соотношения
  Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения свое­го

Линейная модель многоотраслевой экономики
  В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij =

Продуктивные модели Леонтьева
  Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рица

Линейная модель торговли
  Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матри­цы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем пола­гать, что

УПРАЖНЕНИЯ
16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу про­изводственно-экономических показателей по следующим усло­виям: — количество изделий всех видов увеличивается на 20%,

Некоторые формулы комбинаторики
  Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы использ

Несовместные события
Определение 1. Суммой двух событий А и В называют со­бытие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В

Противоположные события
Определение 2. Два единственно возможных события, обра­зующих полную группу, называются противоположными. Если событие обозначено через А, то противоположное

Произведение событий и условная вероятность
Определение 1. Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множест

Независимые события
Определение 3. Событие В называется независимым от со­бытия А, если условная вероятность события В равна его без­условной вероятности (появление события

Появление только одного из независимых событий
  Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Определение 1. События А и В называют совместными, ес­ли в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого. Для таких событий

Формула полной вероятности
  Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют пол­ную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется ра­венство

Формулы Байеса
  Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют пол­ную группу, а событие А может наступить при условии появ

Формула Бернулли
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются неза­ви

Локальная теорема Лапласа
  Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В

Интегральная теорема Лапласа
  Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наибол

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
Определение 2. Отношение числа испытаний в которых со­бытие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события &n

УПРАЖНЕНИЯ
17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей. 17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула вы

Виды случайных величин
  В главе 17 рассматривались события, состоящие в появ­лении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных. Определен

Дискретные случайные величины
Определение 4. Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом рас­пределения дискретной случайной величины.  

Биномиальное распределение
  Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А

Распределение Пуассона
  Пусть в каждом из п производимых испытаний вероят­ность появления события А равна р. Как мы знаем, для опреде­ления вероятности k появлений события А

Математическое ожидание дискретной случайной величины
  Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1

Свойства математического ожидания
  Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой постоян

Дисперсия дискретной случайной величины
  Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой при

Свойства дисперсии
  Приведем здесь основные свойства дисперсии. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:  

Среднее квадратическое отклонение
  Одной из основных оценок рассеяния возможных значе­ний случайной величины служит среднее квадратическое от­клонение. Определение 4. Средним квадрати

Начальные и центральные моменты
Определение 5. Начальным моментом порядка k случай­ной величины Х называется математическое ожидание вели­чины Хk:  

Двумерная случайная величина
  До сих пор мы рассматривали дискретные случайные ве­личины, которые называют одномерными: их возможные зна­чения определялись одним числом. Кроме одномерных вели­чин рассматривают т

Корреляционный момент
Определение 2. Корреляционным моментом случайных ве­личин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

Коэффициент корреляции
  Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантим

Линейная регрессия
  Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возмож­ным приближенное представление величины Y в вид

Функция распределения и ее свойства
  Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. опреде­ление 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить пер

Плотность распределения вероятностей и ее свойства
Определение 3. Производная от функции распределения не­прерывной случайной величины Х называется плотностью рас­пределения вероятностей X:  

Числовые характеристики непрерывных случайных величин
  Определения числовых характеристик дискретных случай­ных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берут

Равномерное распределение
Определение 1. Распределение вероятностей называется рав­номерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Нормальное распределение
Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью  

Асимметрия и эксцесс
  В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает нео

Выборки
  На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исс

Способы отбора
  Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением. К первому отно­сятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бес­пов

Статистическое распределение выборки
  Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось п1

Эмпирическая функция распределения
  Пусть nх — число наблюдений, при которых значение при­знака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относитель­ная частота события Х <

Полигон и гистограмма
  Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точ­но так же можно рассматривать и

Статистические оценки параметров распределения
  Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В та

Виды дисперсий
  Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой гр

Эмпирические моменты
  Для вычисления сводных характеристик выборок исполь­зуют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s наз

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
  Нормальное распределение является одним из самых рас­пространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нор­мального использ

УПРАЖНЕНИЯ
18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон рас­пределения дискретной случайной величины Х — количества с

Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  Общая постановка задачи Определение 1. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наим

Постановка задачи
  Наиболее простым и наглядным методом линейного про­граммирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в не­канонической фор

Алгоритм решения задач
  1. Находим область допустимых решений системы ограни­чений задачи. 2. Строим вектор . 3. Проводим линию уровня L0, которая перпенди

Экономический анализ задач с использованием графического метода
  Проведем экономический анализ рассмотренной выше за­дачи по производству мороженого. Математическая модель задачи имеет вид  

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить задачи с использованием графического метода. 20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:

Алгоритм симплексного метода
  1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду. 2. Находим исходное опорное решение и проверяем

Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
  Предприятие располагает тремя производственными ре­сурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными спо­собами. Расход р

Альтернативный оптимум
  При решении задач линейного программирования сим­плексным методом критерием оптимальности является условие Δj ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи симплексным методом. 21.1. L() = x1 — 3x2 — 5x3 — х4

Виды двойственных задач и составление их математических моделей
  Симметричные двойственные задачи   Дана исходная задача   &n

Основные теоремы двойственности
ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оп­тимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и вы­полняется равенство

Решение двойственных задач
Решение симметричных задач   Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой­ственности.  

Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
  Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель  

Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
  Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу из­делия пе

УПРАЖНЕНИЯ
  Для следующих задач составить математические модели двой­ственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной. 22.1. L(

Общая постановка задачи
  Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чр

Нахождение исходного опорного решения
  Условия задачи и ее исходное опорное решение будем за­писывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют ба­зисные перемен

Проверка найденного опорного решения на оптимальность
  Найденное исходное опорное решение проверяется на опти­мальность методом потенциалов по следующему критерию: ес­ли опорное решение транспортной задачи является оптималь­ным, то ему

Переход от одного опорного решения к другому
  Наличие положительной оценки свободной клетки (Δij > 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетель­ствует о том, что полученное решение не оп

Экономический анализ транспортных задач
  Проведем экономический анализ задачи на конкретном при­мере. Пример 3. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Вели

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие транспортные задачи, заданные распреде­лительной таблицей.  

Общая формулировка задачи
  Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по произ­водству и распределению неделимой продукции (выпуск стан­ков, телевизоров

Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
  Рассмотрим следующую задачу. Для улучшения финансового положения фирма приняла ре­шение об увеличении выпуска конкурентоспособной продук­ции, для чего принято решение об ус

Метод Гомори
  Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:     ограничени

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти целочисленное решение следующих задач. 24.1. L() = 16x1 + 9x

Постановка задачи
  Общая задача линейного программирования имеет вид     при ограничениях:

Линейное программирование с параметром в целевой функции
  Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пре­делах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства реше

Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
  Рассмотрим следующую задачу. Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья

Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
  Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потреби­теля с объем

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи параметрического программирова­ния с параметром в целевой функции. 25.1. L(

Постановка задачи
  Задача заключается в выборе такого распределения ре­сурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз

Алгоритм решения задачи
  Задача о назначениях является частным случаем транспо­ртной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задач

Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
  Рассмотрим следующую задачу. На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обра­ботке деталей. Известна производ

Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
  При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведен­ную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют огра

УПРАЖНЕНИЯ
26.1. Фирма имеет три механизма A1, А2, А3, каждый из ко­торых может быть использован на каждом из трех видов ра­бот B

Формулировка задачи
  В рассматриваемых выше задачах линейного программи­рования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное зна­чение экономичес

Математическая модель нахождения компромиссного решения
  Дана математическая модель экономической задачи, в ко­торой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых треб

Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
  Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых ис­следований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год.

УПРАЖНЕНИЯ
  Составить математическую модель нахождения компромиссно­го решения и найти его. 27.1. L1 = x1 + 2x2 &

Общая постановка задачи
  Математическая модель задачи нелинейного программиро­вания в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор

Графический метод
  Рассмотрим примеры решения задач нелинейного програм­мирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и не­линейном виде.

Математическая модель задачи
  Дробно-линейное программирование относится к нелиней­ному программированию, так как имеет целевую функцию, за­данную в нелинейном виде. Задача дробно-линейного программиров

Метод множителей Лагранжа
Постановка задачи   Дана задача нелинейного программирования    

УПРАЖНЕНИЯ
  Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций. 28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:  

Постановка задачи
  Динамическое программирование — один из разделов оп­тимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные эта­пы (шаги).

Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования
  Оптимальная стратегия замены оборудования   Одной из важных экономических проблем является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков,

УПРАЖНЕНИЯ
29.1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производитель­ности этого оборудования от времени его работы, а также за­траты на

Минимизация сети
  Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, со­единяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммар­ную длину (рис. 30.17).  

УПРАЖНЕНИЯ
30.1. Составить сетевой график выполнения работ и рассчи­тать временные параметры по данным, представленным в табл. 30.5.  

Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
  Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющей­ся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных

Сведение матричной игры к модели линейного программирования
  В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программиро­вания. И, наоборот, задача линейного программирования мо­жет быть свед

Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
  Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и био­медицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний пе­р

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти оптимальные стратегии и цену игры.   Построить игру, заданную задачей линейного прог

Формулировка задачи и характеристики СМО
  Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: оче­редь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вы­шедших из с

СМО с отказами
Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслу­женной. Показателем качества о

СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
  Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограничен­ной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, поки

Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
  Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами. Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если де­таль поступает в ОТК, когда все контролеры заняты

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи в предположении, что поток посту­пающих заявок является простейшим и длительность обслужи­вания одной заявки распределена по показательному закону.

Общая постановка задачи
  Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначен­ную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих вре

Основная модель управления запасами
  Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 33.1. График изменения запасов представлен на рис. 33.2.  

Модель производственных запасов
  В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непо

Модель запасов, включающая штрафы
  Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную по­ставку.

Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
  Решим задачу с применением основной модели управления запасами. Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организацион

УПРАЖНЕНИЯ
33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов: — первоначальный запас равен нулю, в следующие двое су­ток товары поступали на склад непрерывно и равномер

Вычислить
    где ,

Задачи на случайные события
1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обмени­вает 5 монет, а второй — 8 монет. 1.2. В

Задачи на случайные величины
2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стан­да