УПРАЖНЕНИЯ

Все темы данного раздела:

В экономическом образовании
  Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С. Тел

А. Сложение и умножение вещественных чисел
  Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммо

В. Сравнение вещественных чисел
  Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а

Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
  Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и

Грани числовых множеств
  Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х

Абсолютная величина числа
Приведем определение абсолютной величины вещественно­го числа х (модуля числа):   х, если х X

Применение в экономике
  Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е. Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид  

Понятие функции
  Определение функциональной зависимости Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому элементу x

Предел функции
  Предел функции в точке   Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

Теоремы о пределах функций
  Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке. ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) им

Два замечательных предела
  В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем. ТЕОРЕ

Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен н

Понятие непрерывности функции
  Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрес

Непрерывность элементарных функций
  Непрерывность элементарных функций в точке   Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Дейс

Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция

Элементы аналитической геометрии на плоскости
  Уравнение линии на плоскости   Пусть на плоскости задана система координат. Рассмот­рим уравнение вида  

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти области определения функций, заданных следующими формулами. 3.1. у = 3x - 2.3.2. у = х2 – 5x + 6.

Определение производной
  Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0

Понятие дифференциала функции
Определение и геометрический смысл дифференциала Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется глав

Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x0 = φ(t0). Тогда слож

УПРАЖНЕНИЯ
Найти производные следующих функций. 4.1.у = x3 + 3x2 – 2x +1.4.2. у = 5x7 + 3

L. Раскрытие неопределенностей
  Правило Лопиталя   Будем говорить, что отношение двух функций при x

Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена   Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и

Исследование функций и построение графиков
  Признак монотонности функции   Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Э

Применение в экономике
  Предельные показатели в микроэкономике   Приведем примеры двух предельных показателей в микро­экономике. 1. Первый из них связан с зависимость

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти пределы с использованием правила Лопиталя. 5.1. .5.2.

Первообразная и неопределенный интеграл
  Понятие первообразной функции   Предыдущие главы были посвящены одной из основных за­дач дифференциального исчисления — нахождению производ­ной заданно

Неопределенный интеграл
Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределен­ным интегралом от функции f(x

Метод подстановки
  Замена переменной интегрирования является одним из са­мых эффективных приемов сведения неопределенного интегра­ла к табличному. Такой прием называется методом подста­новки, и

Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет

Рациональная функция от sin х и cos х
  Рассмотрим интеграл вида     где R — рациональная функция. Этот интегр

Определение определенного интеграла
  Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:  

Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

Основная формула интегрального исчисления
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первооб­разных является функция  

Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на от­резке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непре

Интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула  

Площадь плоской фигуры
  Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b

Объем тела вращения
  Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функци

Дневная выработка
  Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи­тельностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле  

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста
  Производство оборудования некоторого вида характеризу­ется темпом роста его выпуска   &nbs

Несобственные интегралы
  При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Д

УПРАЖНЕНИЯ
  Вычислить определенные интегралы.     Найти площади фигур, ограниченных след

Частные производные функции нескольких переменных
  Частные производные первого порядка   Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x

Локальный экстремум функции нескольких переменных
  Определение и необходимые условия существования локального экстремума   Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М

Экстремум функции нескольких переменных
  Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Прибыль от производства разных видов товара &nbs

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти области определения функций.     Построить линии уровня функций.

Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида     где х — независимая переменная,

Геометрический смысл уравнения первого порядка
  Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерыв­ную интегральную кривую, причем в каждой

Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Линейные уравнения первого порядка
Определение 7.Уравнение вида     где р(х) и q(x) — непрерывны

Уравнения, допускающие понижение порядка
  Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка. 1. Уравнение вида  

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида  

Однородные уравнения второго порядка
  Рассмотрим линейное однородное уравнение     где р и q — вещес

Неоднородные уравнения второго порядка
  Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение пол­ностью основывается на следующей фундаментальной теореме.

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти общие решения линейных однородных уравнений с по­стоянными коэффициентами.    

Модель естественного роста выпуска
  Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество про­дукции, реализованной на момент времени t; тогда

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
  Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение

Векторное пространство
Понятие и основные свойства вектора   Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай. Определение 1. Любой упорядоченный наб

Скалярное произведение векторов
Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответ­ствующих координат этих векторов:  

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
  При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупнос­тью векторов одной размерности. Такие совокупности называ­ют системо

Базис и ранг системы векторов
  Рассмотрим систему векторов   Максимально независимой подсистемой этой системы в

Представление вектора в произвольном базисе
  Пусть система векторов     является базисом, а вектор

Разложение вектора в ортогональном базисе
  Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:  

УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3+ 4-

Понятие матрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида     называется матрицей.

Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица

Умножение матриц
1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерно

Собственные значения и собственные векторы матрицы
  Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п. При умножении матрицы порядка п на n-мерн

Ранг матрицы
  Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векто­ров (или из п m-мерных векторов). Поскольку

Понятие определителя
  Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом, n-го

Основные свойства определителей
  Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей. 1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то определитель равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения
  Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й стол­бец, на пересечении которы

Ранг матрицы и системы векторов
  1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:     Вы

УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Вычислить определители:   14.2. Дана матрица  

Общий вид и свойства системы уравнений
  Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x1, x2, ..., xп имеет вид  

Матричная форма системы уравнений
  Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу    

Метод обратной матрицы и теорема Крамера
  В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид  

Решение системы общего вида
  Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой си

Метод Гаусса
  Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количест­ву вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
  Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонст­рируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
  Как известно, уравнения с двумя переменными вида     описывают на координатн

Фундаментальная система решений
  Решения однородной системы обладают следующими свой­ствами. Если вектор = (α1, α2,..

Характеристическое уравнение
  В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить методом Крамера системы линейных уравнений.     Решить системы линейн

Матричные вычисления
  Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства. 1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические п

Использование систем линейных уравнений
  Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений. 6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Пред­приятие выпускает три ви

Балансовые соотношения
  Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения свое­го

Линейная модель многоотраслевой экономики
  В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij =

Продуктивные модели Леонтьева
  Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рица

Линейная модель торговли
  Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матри­цы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем пола­гать, что

УПРАЖНЕНИЯ
16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу про­изводственно-экономических показателей по следующим усло­виям: — количество изделий всех видов увеличивается на 20%,

Некоторые формулы комбинаторики
  Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы использ

Виды случайных событий
  Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трак

Несовместные события
Определение 1. Суммой двух событий А и В называют со­бытие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В

Противоположные события
Определение 2. Два единственно возможных события, обра­зующих полную группу, называются противоположными. Если событие обозначено через А, то противоположное

Произведение событий и условная вероятность
Определение 1. Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множест

Независимые события
Определение 3. Событие В называется независимым от со­бытия А, если условная вероятность события В равна его без­условной вероятности (появление события

Появление только одного из независимых событий
  Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Определение 1. События А и В называют совместными, ес­ли в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого. Для таких событий

Формула полной вероятности
  Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют пол­ную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется ра­венство

Формулы Байеса
  Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют пол­ную группу, а событие А может наступить при условии появ

Формула Бернулли
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются неза­ви

Локальная теорема Лапласа
  Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В

Интегральная теорема Лапласа
  Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наибол

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
Определение 2. Отношение числа испытаний в которых со­бытие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события &n

УПРАЖНЕНИЯ
17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей. 17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула вы

Виды случайных величин
  В главе 17 рассматривались события, состоящие в появ­лении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных. Определен

Дискретные случайные величины
Определение 4. Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом рас­пределения дискретной случайной величины.  

Биномиальное распределение
  Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А

Распределение Пуассона
  Пусть в каждом из п производимых испытаний вероят­ность появления события А равна р. Как мы знаем, для опреде­ления вероятности k появлений события А

Математическое ожидание дискретной случайной величины
  Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1

Свойства математического ожидания
  Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой постоян

Дисперсия дискретной случайной величины
  Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой при

Свойства дисперсии
  Приведем здесь основные свойства дисперсии. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:  

Среднее квадратическое отклонение
  Одной из основных оценок рассеяния возможных значе­ний случайной величины служит среднее квадратическое от­клонение. Определение 4. Средним квадрати

Начальные и центральные моменты
Определение 5. Начальным моментом порядка k случай­ной величины Х называется математическое ожидание вели­чины Хk:  

Двумерная случайная величина
  До сих пор мы рассматривали дискретные случайные ве­личины, которые называют одномерными: их возможные зна­чения определялись одним числом. Кроме одномерных вели­чин рассматривают т

Корреляционный момент
Определение 2. Корреляционным моментом случайных ве­личин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

Коэффициент корреляции
  Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантим

Линейная регрессия
  Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возмож­ным приближенное представление величины Y в вид

Функция распределения и ее свойства
  Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. опреде­ление 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить пер

Плотность распределения вероятностей и ее свойства
Определение 3. Производная от функции распределения не­прерывной случайной величины Х называется плотностью рас­пределения вероятностей X:  

Числовые характеристики непрерывных случайных величин
  Определения числовых характеристик дискретных случай­ных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берут

Равномерное распределение
Определение 1. Распределение вероятностей называется рав­номерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Нормальное распределение
Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью  

Асимметрия и эксцесс
  В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает нео

Выборки
  На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исс

Способы отбора
  Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением. К первому отно­сятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бес­пов

Статистическое распределение выборки
  Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось п1

Эмпирическая функция распределения
  Пусть nх — число наблюдений, при которых значение при­знака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относитель­ная частота события Х <

Полигон и гистограмма
  Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точ­но так же можно рассматривать и

Статистические оценки параметров распределения
  Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В та

Виды дисперсий
  Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой гр

Эмпирические моменты
  Для вычисления сводных характеристик выборок исполь­зуют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s наз

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
  Нормальное распределение является одним из самых рас­пространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нор­мального использ

УПРАЖНЕНИЯ
18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон рас­пределения дискретной случайной величины Х — количества с

Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  Общая постановка задачи Определение 1. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наим

Постановка задачи
  Наиболее простым и наглядным методом линейного про­граммирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в не­канонической фор

Алгоритм решения задач
  1. Находим область допустимых решений системы ограни­чений задачи. 2. Строим вектор . 3. Проводим линию уровня L0, которая перпенди

Экономический анализ задач с использованием графического метода
  Проведем экономический анализ рассмотренной выше за­дачи по производству мороженого. Математическая модель задачи имеет вид  

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить задачи с использованием графического метода. 20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:

Алгоритм симплексного метода
  1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду. 2. Находим исходное опорное решение и проверяем

Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
  Предприятие располагает тремя производственными ре­сурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными спо­собами. Расход р

Альтернативный оптимум
  При решении задач линейного программирования сим­плексным методом критерием оптимальности является условие Δj ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи симплексным методом. 21.1. L() = x1 — 3x2 — 5x3 — х4

Виды двойственных задач и составление их математических моделей
  Симметричные двойственные задачи   Дана исходная задача   &n

Основные теоремы двойственности
ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оп­тимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и вы­полняется равенство

Решение двойственных задач
Решение симметричных задач   Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой­ственности.  

Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
  Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель  

Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
  Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу из­делия пе

УПРАЖНЕНИЯ
  Для следующих задач составить математические модели двой­ственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной. 22.1. L(

Общая постановка задачи
  Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чр

Нахождение исходного опорного решения
  Условия задачи и ее исходное опорное решение будем за­писывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют ба­зисные перемен

Проверка найденного опорного решения на оптимальность
  Найденное исходное опорное решение проверяется на опти­мальность методом потенциалов по следующему критерию: ес­ли опорное решение транспортной задачи является оптималь­ным, то ему

Переход от одного опорного решения к другому
  Наличие положительной оценки свободной клетки (Δij > 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетель­ствует о том, что полученное решение не оп

Экономический анализ транспортных задач
  Проведем экономический анализ задачи на конкретном при­мере. Пример 3. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Вели

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие транспортные задачи, заданные распреде­лительной таблицей.  

Общая формулировка задачи
  Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по произ­водству и распределению неделимой продукции (выпуск стан­ков, телевизоров

Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
  Рассмотрим следующую задачу. Для улучшения финансового положения фирма приняла ре­шение об увеличении выпуска конкурентоспособной продук­ции, для чего принято решение об ус

Метод Гомори
  Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:     ограничени

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти целочисленное решение следующих задач. 24.1. L() = 16x1 + 9x

Постановка задачи
  Общая задача линейного программирования имеет вид     при ограничениях:

Линейное программирование с параметром в целевой функции
  Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пре­делах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства реше

Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
  Рассмотрим следующую задачу. Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья

Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
  Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потреби­теля с объем

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи параметрического программирова­ния с параметром в целевой функции. 25.1. L(

Постановка задачи
  Задача заключается в выборе такого распределения ре­сурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз

Алгоритм решения задачи
  Задача о назначениях является частным случаем транспо­ртной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задач

Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
  Рассмотрим следующую задачу. На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обра­ботке деталей. Известна производ

Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
  При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведен­ную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют огра

УПРАЖНЕНИЯ
26.1. Фирма имеет три механизма A1, А2, А3, каждый из ко­торых может быть использован на каждом из трех видов ра­бот B

Формулировка задачи
  В рассматриваемых выше задачах линейного программи­рования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное зна­чение экономичес

Математическая модель нахождения компромиссного решения
  Дана математическая модель экономической задачи, в ко­торой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых треб

Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
  Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых ис­следований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год.

УПРАЖНЕНИЯ
  Составить математическую модель нахождения компромиссно­го решения и найти его. 27.1. L1 = x1 + 2x2 &

Общая постановка задачи
  Математическая модель задачи нелинейного программиро­вания в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор

Графический метод
  Рассмотрим примеры решения задач нелинейного програм­мирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и не­линейном виде.

Математическая модель задачи
  Дробно-линейное программирование относится к нелиней­ному программированию, так как имеет целевую функцию, за­данную в нелинейном виде. Задача дробно-линейного программиров

Метод множителей Лагранжа
Постановка задачи   Дана задача нелинейного программирования    

УПРАЖНЕНИЯ
  Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций. 28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:  

Постановка задачи
  Динамическое программирование — один из разделов оп­тимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные эта­пы (шаги).

Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования
  Оптимальная стратегия замены оборудования   Одной из важных экономических проблем является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков,

УПРАЖНЕНИЯ
29.1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производитель­ности этого оборудования от времени его работы, а также за­траты на

Минимизация сети
  Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, со­единяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммар­ную длину (рис. 30.17).  

УПРАЖНЕНИЯ
30.1. Составить сетевой график выполнения работ и рассчи­тать временные параметры по данным, представленным в табл. 30.5.  

Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
  Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющей­ся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных

Сведение матричной игры к модели линейного программирования
  В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программиро­вания. И, наоборот, задача линейного программирования мо­жет быть свед

Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
  Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и био­медицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний пе­р

УПРАЖНЕНИЯ
  Найти оптимальные стратегии и цену игры.   Построить игру, заданную задачей линейного прог

Формулировка задачи и характеристики СМО
  Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: оче­редь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вы­шедших из с

СМО с отказами
Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслу­женной. Показателем качества о

СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
  Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограничен­ной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, поки

Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
  Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами. Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если де­таль поступает в ОТК, когда все контролеры заняты

УПРАЖНЕНИЯ
  Решить следующие задачи в предположении, что поток посту­пающих заявок является простейшим и длительность обслужи­вания одной заявки распределена по показательному закону.

Общая постановка задачи
  Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначен­ную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих вре

Основная модель управления запасами
  Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 33.1. График изменения запасов представлен на рис. 33.2.  

Модель производственных запасов
  В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непо

Модель запасов, включающая штрафы
  Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную по­ставку.

Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
  Решим задачу с применением основной модели управления запасами. Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организацион

УПРАЖНЕНИЯ
33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов: — первоначальный запас равен нулю, в следующие двое су­ток товары поступали на склад непрерывно и равномер

Вычислить
    где ,

Задачи на случайные события
1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обмени­вает 5 монет, а второй — 8 монет. 1.2. В

Задачи на случайные величины
2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стан­да