Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

Поперечные колебания. Начальные и граничные условия. При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для одно-значного определения процесса.

Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений.

По-этому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с част-ными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия. В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении ар-гумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под стру-ной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t. Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс. Если концы струны закреплены, то должны выполняться гра-ничные условия , . Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия: , . Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и на-чальных условий, где и – заданные функции точки.

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные усло-вия (1.1.1) принимают другой вид: , , где и - заданные функции времени t. Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен.

Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией. В точке подвеса x=0 отклонение ; на свободном конце x=l натяжение пружины равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка усло-вия свободного конца имеет вид. Если конец x=0 движется по определенному закону, а при x=l зада-на сила, то. Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l или, при котором конец x=l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся ко-нец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закре-пление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией, то граничное условие принимает вид. Условие упругого закрепления при x=0 имеет вид. Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, на-пример, при x=0:  граничные условия 1-го рода - заданный режим,  граничное условие 2-го рода - заданная сила,  граничное условие 3-го рода - упругое за-крепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x=l. Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то гра-ничные условия называются однородными [8]. 1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с ча-стными производными является метод разделения переменных или метод Фурье. Пусть требуется найти функцию, удовлетворяющую для t>0 урав-нению в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых част-ных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиаль-ные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным усло-виям, в классе функций вида (где непрерывны в, не-прерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на, получаем. Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточ-но, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе. Таким образом, должны выполняться тождественно , , причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответ-ствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные реше-ния не при всех значениях. Те значения, при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой за-дачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственны-ми функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье: 1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только гра-ничным условиям, среди функций вида. Для функции получаем краевую задачу; 2) решаем краевую задачу для функции. Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения; 3) для каждого собственного значения находим решение уравне-ния (1.2.3); 4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетво-ряющим только граничному условию, являются функции вида ; 5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям. Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2]. 1.3