Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка.

Уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициен-том при старшей производной равным единице, а. Рассмотрим реше-ние уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.

В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Покажем, что выражение, где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.

Продифференцируем по x выражение (1.3.2): . Подставляем полученные выражения в (1.3.1): . Обозначим через - это есть характеристический мно-гочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде. Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если про-изводные различных порядков в этом уравнении заменить равными степеня-ми величины : на. Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождест-венно нулю, но, следовательно. Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным, оно называется характеристическим уравнением.

Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то, т.е. будет решением дифференциального урав-нения (1.3.1). Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 кор-ня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному ре-шению дифференциального уравнения (1.3.1). Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет, где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6]. Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравне-ния действительные числа.

В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет. Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни, то одно частное решение будет иметь вид. Второе частное решение будет. Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде. Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны 2.1