Собственные колебания круглой мембраны

Собственные колебания круглой мембраны. Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных гранич-ных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембра-ны. Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид. Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях и граничных условиях. Применим метод разделения переменных.

Пусть. Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1), получаем: . Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то, полученное равенство можно поделить на. Тогда. Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции, решением, которого будет функция (см. 2.2) , и следующую задачу на собственные значения для функции : К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции. Пусть, подставляем в уравнение для функции. Поделим данное равенство на : Так как левая часть соотношения ( ) функция только переменной r, а правая ( ) - только переменной, то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно. При данном предположении получаем: 1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции : Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2): . 2) уравнение для определения функции Из граничных условий для функции получаем граничные условия для функции : Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями, общее решение, которого имеет вид, где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение). Из условия следует, что, т. к. при. Из условия имеем, где. Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней, т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений, которым соответствуют собственные функции краевой задачи для нахождения функции. Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10). Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r: Для этого рассмотрим функции Они удовлетворяют уравнениям причем, а не удовлетворяет этому граничному условию.

Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и. Переходя к пределу при, получаем неопределенность. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем выражение для квадрата нормы: т.к. , то. Итак, получаем: 1. Согласно (2.3.11) при, собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны с весом r . 2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12). 3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости: Всякая непрерывная в интервале функция, имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд, причем коэффициенты разложения определяются формулой. Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции. Составим их линейную комбинацию. Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций. Посчитаем сначала для собственных функций. Аналогичные условия имеют место для функции. Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде Воспользуемся теоремой о разложимости: всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.

Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде Коэффициенты определяются из начальных условий Аналогичные формулы имеют место для и, соответственно, для. Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях и других граничных условиях приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.

Коэффициенты определяются из начальных условий Аналогично для и, соответственно, для. Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.