Закон Кулона - Лекция, раздел Физика, Фейнмановские лекции по физике ...
(4.9)
здесь F1 — сила, действующая на заряд q1; е12 — единичный вектор, направленный от q2 к q1 , а г12— расстояние между q1 и q2. Сила F2, действующая на q2, равна и противоположна силе F1. Множитель пропорциональности по историческим причинам пишется в виде 1/4яе0. В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10-7 от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3•108 м/сек, то множитель приблизительно равен 9•109, и единица оказывается равной ньютон•м2/кулон2, или вольт •м/кулон
(4.10)
Если зарядов больше двух (а именно такие случаи наиболее интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт называется «принципом наложения», или «принципом суперпозиции». Это и есть все, что имеется в электростатике. Если добавить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, ни больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6).
Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электрическом поле. Мы говорим, что поле Е(1) — это сила, действующая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q1 . Деля (4.9) на q1 ,мы получаем для действия всех зарядов, кроме q1,
(4.11)
Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существующее в точке (1), даже если в ней нет заряда q1 (в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).
Электрическое поле Е — это вектор, так что в (4.11) на самом деле написаны три уравнения, по одному для каждой компоненты. Расписывая x-компоненту в явном виде, получаем
(4.12)
и точно так же для остальных компонент.
Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов. Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12). Пусть qj — величина j-го заряда, а г1j — смещение qj от точки (1); тогда мы напишем
(4.13)
Фиг. 4.1. В точке (1)электрическое поле Е от некоторого распределения зарядов получается из интеграла по распределению.
Точка (I) может находится также внутри распределения.
что означает, конечно,
и т. д.
Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как электроны или протоны, а считать, что они размазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределением». До тех пор пока нам все равно, что происходит в малых масштабах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» r (х, у, z). Если количество заряда в небольшом объеме DV2 близ точки (2) есть Dq2, то r определяется равенством
(4.15)
Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном распределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается
(4.16)
Некоторые предпочитают писать
где r12 — вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде
(4.17)
Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается
Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.
Дано: Заряды.
Определить: Поля.
Решение: Возьми этот интеграл.
Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в самый раз для счетной машины!
Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле заряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чертить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять дивергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интеграл, придумав фокус, чем проделывать все выкладки честно. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищрениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы непосредственно, а не тратить силы на остроумные способы решения да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.
Все темы данного раздела:
Электрические силы
Рассмотрим силу, которая, подобно тяготению, меняется обратно квадрату расстояния, но только в миллион биллионов биллионов биллионов раз более сильную. И которая отличается еще в одном. Пу
Электрические и магнитные поля
Первым делом нужно несколько расширить наши представления об электрическом и магнитном векторах Е и В. Мы определили их через силы, действующие на заряд. Теперь мы намереваемся говорить об элект
Характеристики векторных полей
Векторные поля обладают двумя математически важными свойствами, которыми мы будем пользоваться при описании законов электричества с полевой точки зрения. Представим себе замкнутую поверхность и зад
Законы электромагнетизма
Первый закон электромагнетизма описывает поток электрического поля:
Что это такое — «поля»?
Сделаем теперь несколько замечаний о принятом нами способе рассмотрения этого вопроса. Вы можете сказать: «Все эти потоки и циркуляции чересчур абстрактны. Пусть в каждой точке пространства есть э
Электромагнетизм в науке и технике
В заключение мне хочется закончить эту главу следующим рассказом. Среди многих явлений, изучавшихся древними греками, были два очень странных. Первое: натертый кусочек янтаря мог поднять маленьки
Понимание физики
Физик должен обладать умением подходить к задаче с разных точек зрения. Точный анализ реальных физических проблем обычно крайне сложен, и любое конкретное физическое явление может оказаться слишко
Скалярные и векторные поля — Т и h
Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математического подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объясни
Производные полей — градиент
Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, ме
Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
Т1 = Т(х, у, z) и Т2=Т(х + Dх, у + Dу, z + Dz),
где Dx:, Dy, Dz — компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем
Дифференциальное уравнение потока тепла
Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется совершенно четко. Известно, что есл
Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен
(2.42)
Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется теплопроводностью.
Вторые производные векторных полей
Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:
Криволинейный интеграл от Ñψ
В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул было выведено довольно много, все их можно подытожи
Поток векторного поля
Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определи
Поток из куба; теорема Гаусса
Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, сут
Теплопроводность; уравнение диффузии
Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле, рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заран
Циркуляция векторного поля
Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы б
Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
Как нам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, он расположен в одной из координатных
Поля без роторов и поля без дивергенций
Теперь перейдем к некоторым следствиям из наших новых теорем. Возьмем сперва случай вектора, у которого ротор (или вихрь) повсюду равен нулю. Тогда, согласно теореме Стокса, циркуляция по лю
Статика
Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромагнетизм целиком) запрятана в уравнениях Максвелла:
Магнитостатика
Обратите внима
Электрический потенциал
Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связа
Электростатический потенциал
(4.22)
Часто очень удобно брать
Поток поля Е
Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обра
Закон Гаусса; дивергенция поля Е
Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был доказан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд ql—в одной точке и заряд (q2 —
Поле заряженного шара
Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как
Линии поля; эквипотенциальные поверхности
Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электростатического поля. Два закона электростатики: один — о пропорциональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое
Электростатика—это есть закон Гаусса плюс...
Существуют два закона электростатики: поток электрического поля из объема пропорционален заряду внутри него — закон Гаусса, и циркуляция электрического поля равна нулю — Е есть градиент. Из этих д
Равновесие в электростатическом поле
Рассмотрим сначала следующий вопрос: в каких условиях точе
Равновесие с проводниками
В системе закрепленных зарядов устойчивого места для пробного заряда нет. А как обстоит дело с системой заряженных проводников? Может ли система заряженных проводников создать поле, в котором для
Устойчивость атомов
Раз заряды не могут иметь устойчивого положения, то, разумеется, неправильно представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов), управляемых только
Поле заряженной прямой линии
Закон Гаусса может быть применен для решения множества задач, связанных с электрическим полем, обладающим специальной симметрией (чаще всего сферической, цилиндрической или плоской). В оставшейся
Заряженная плоскость; пара плоскостей
В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен а. Сразу приходит в голову сл
Однородно заряженный шар; заряженная сфера
В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например,
Точен ли закон Кулона?
Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле в
Поля проводника
Проводник электричества — это твердое тело, в котором есть много «свободных» электронов. Электроны могут двигаться в веществе свободно, но не могут покидать поверхности. В металле бывает та
Поле внутри полости проводника
Вернемся теперь к проблеме пустотелого резервуара — проводника, имеющего внутри полость. В металле поля нет, а вот есть ли оно в полости? Покажем, что если полость пуста, то п
Уравнения электростатического потенциала
В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математическими методами, испол
Электрический диполь
Сначала возьмем два точечных заряда +q и -q,
Замечания о векторных уравнениях
Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касающееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо задачи, следует с толко
Диполъный потенциал как градиент
Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы д
Дипольное приближение для произвольного распределения
Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возникающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас и
Поля заряженных проводников
Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем случае требуя нескольких ин
Метод изображений
Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверхности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмотрим теперь эквипотенциальн
Точечный заряд у проводящей плоскости
В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность В (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этог
Точечный заряд у проводящей сферы
А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11
Конденсаторы; параллельные пластины
Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с проводниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутк
Пробой при высоком напряжении
Сейчас мы качественным образом рассмотрим некоторые характеристики полей вокруг проводников. Зарядим электричеством проводник, но на сей раз не сферический, а такой, у которого есть острие или р
Ионный микроскоп
Сверхвысокое электрическое поле, окружающее всякий острый выступ заряженного проводника, получило интересное применение в одном приборе. Работа ионного микроскопа обусловлена мощными полями
Методы определения электростатического поля
В этой главе мы продолжим рассмотрение характеристик электрических полей в различных условиях. Сперва мы опишем один из наиболее разработанных методов расчета полей в присутствии проводников. Мы
Двумерные поля; функции комплексного переменного
Комплексная величина з определяется так:
Колебания плазмы
Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Иными словами, полем управляю
Коллоидные частицы в электролите
Обратимся к другому явлению, когда местоположение зарядов определяется потенциалом, создаваемым в какой-то степени самими зарядами. Такой эффект существен для поведения коллоидов. Коллоид — это вз
Электростатическое поле сетки
Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрическог
Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике —это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь
Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность поте
Электростатическая энергия ионного кристалла
Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расс
Электростатическая энергия ядра
Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике — к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойс
Энергия в электростатическом поле
Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатической энергии. Все они могут быть получены из основного соотношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов
Энергия точечного заряда
Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдельного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением
Градиент электрического потенциала в атмосфере
В обычный день над пустынной равниной или над морем электрический потенциал по мере подъема возрастает с каждым метром примерно на 100 в. В воздухе имеется вертикальное электрическое поле Е
Электрические токи в атмосфере
Помимо градиента потенциала, можно измерять и другую величину — ток в атмосфере. Плотность его мала: через каждый квадратный метр, параллельный земной поверхности, проходит около 10-6
Происхождение токов в атмосфере
Теперь нужно ответить на вопрос об источнике больших отрицательных токов, которые должны течь от «верха» к земной поверхности, чтобы поддержать ее отрицательный заряд. Где же те батареи, которые эт
Механизм распределения зарядов
Теперь мы хотим обратиться к обсуждению самой важной для нас стороны дела — к возникновению электрических зарядов. Разного рода эксперименты, включая полеты сквозь грозовой фронт (пилоты, соверша
Диэлектрическая проницаемость
Сейчас мы разберем еще одно характерное свойство материи, возникающее под влиянием электрического поля. В одной из предыдущих глав мы рассмотрели поведение проводников, в которых заряды под
Вектор поляризации Р
Продолжив наш анализ, мы обнаружим, что идея о проводящих и непроводящих участках не так уж существенна. Любой из маленьких шариков действует как диполь, момент которого создается внешним полем. Д
Поляризационные заряды
Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент Р. Получится ли в результате в сре
Уравнения электростатики для диэлектриков
Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид
Поля и силы в присутствии диэлектриков
Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электростатики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличиваетс
Молекулярные диполи
В этой главе мы поговорим о том, почему вещество бывает д
Электронная поляризация
Займемся сначала поляризацией неполярных молекул. Начнем с простейшего случая одноатомного газа (например, гелия). Когда атом такого газа находится в электрическом поле, электроны его тянутся в одн
Полярные молекулы; ориентационная поляризация
Теперь рассмотрим молекулу, обладающую постоянным дипольным моментом р0 , например молекулу воды. В отсутствие электрического поля отдельные диполи смотрят в разных направлениях,
Электрические поля в пустотах диэлектрика
Теперь мы переходим к интересному, но сложному вопросу о диэлектрической проницаемости плотных веществ. Возьмем, например, жидкий гелий, или жидкий аргон, или еще какое-нибудь неполярное вещество.
Следовательно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем Е, то можно записать
E=Eдырка+Eшарнк,
(11.23)
где Eдырка — поле в дырке, а Eшарик — поле в однородно поляризованном шарике (фиг. 11.6). Поле однородно
Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти
В жидкости мы ожидаем, что поле, поляризующее отдельный атом, скорее похоже на Едырка, чем просто на Е. Если взять Eдырка из (11.25) в качестве поляризующего поля, входящего
Твердые диэлектрики
Обратимся теперь к твердым телам. Первый интересный факт относительно твердых тел заключается в том, что у них бывает постоянная поляризация, которая существует даже и без приложения внешнего элект
Сегиетоэлектричество; титанат бария
Мы опишем здесь особый класс кристаллов, которые, можно сказать, почти случайно обладают «встроенным» постоянным электрическим моментом. Ситуация здесь настолько критична, что, если слегка увеличит
Одинаковые уравнения — одинаковые решения
Вся информация о физическом мире, приобретенная со времени зарождения научного прогресса, поистине огромна, и кажется почти невероятным, чтобы кто-то овладел заметной частью ее. Но фактически физи
Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы
Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, § 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в разных местах может быть разное вещество), в котором температура меняется от то
Натянутая мембрана
Рассмотрим теперь совсем другую область физики, в которой тем не менее мы придем снова к точно таким же уравнениям. Возьмем тонкую резиновую пленку — мембрану, натянутую на большую горизонтальную р
Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде
Приведем еще один пример, дающий уравнение того же вида, но на сей раз относящееся к диффузии. В гл. 43 (вып. 4) мы рассмотрели диффузию ионов в однородном газе и диффузию одного газа сквозь другой
Безвихревое течение жидкости; обтекание шара
Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хороший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отвечают лишь некоторым идеал
Освещение; равномерное освещение плоскости
В этом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать большое разнообразие возможностей. На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к интегралу
Фундаментальное единство» природы
В этой главе мы хотели показать, что, изучая электростатику, вы одновременно учитесь ориентироваться во многих вопросах физики и что, помня об этом, можно выучить почти всю физику за несколько ле
Магнитное поле
Сила, действующая на электрический заряд, зависит не только от того, где он находится, но и от того, с какой скоростью он движется. Каждая точка в пространстве характеризуется двумя векторными вели
Электрический ток; сохранение заряда
Подумаем теперь о том, почему магнитные силы действуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Электрический ток состоит из движущ
Магнитная сила, действующая на ток
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы определить силу, действующую на находящуюся в магнитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, движущихся по проволоке со с
Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
Мы видели, что на проволоку в магнитном поле, создаваемом, скажем, магнитом, действует сила. Из закона о том, что действие равно противодействию, можно ожидать, что, когда по проволоке протекает т
Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
Можно показать, как пользоваться законом Ампера, определ
Относительность магнитныхи электрических полей
Когда мы сказали, что магнитная сила на заряд пропорциональна его скорости, вы, наверное, подумали: «Какой скорости? По отношению к какой системе отсчета?» Из определения В, данного в начале этой г
Преобразование токов и зарядов
Вы, вероятно, были обеспокоены сделанным нами упрощением, когда мы взяли одну и ту же скорость v для частицы и электронов проводимости в проволоке. Можно было бы вернуться назад и снова проделать
Суперпозиция; правило правой руки
Мы закончим эту главу еще двумя замечаниями по вопросам
Векторный потенциал
В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т, е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:
Векторный потенциал заданных токов
Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теп
Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
Прямой провод
В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, пользуясь уравнением (14.2) и соображениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод рад
Длинный соленоид
Еще пример. Рассмотрим опять бесконечно длинный соленоид с током по окружности, равным пI на единицу длины. (Мы считаем, что имеется n витков проволоки на единицу длины, несущих каж
Поле маленькой петли; магнитный диполь
Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют поля только на больш
Векторный потенциал цепи
Нас часто интересует магнитное поле, создаваемое цепью проводов, в которой диаметр провода очень мал по сравнению с размерами всей системы. В таких случаях мы можем упростить уравнения для магнитн
Закон Био— Савара
В ходе изучения электростатики мы нашли, что электрическ
Новости и инфо для студентов