Равновесные состояния пучка.

Для осуществления транспортировки электронного пучка с высокой эффективностью на значительные расстояния необходимо, чтобы пучок находился в некотором равновесном состоянии, при котором имеет место компенсация всех сил, действующих на частицы пучка. Установление конкретного типа равновесного состояния зависит от множества факторов, в том числе от переходного процесса, который происходит вблизи плоскости инжекции пучка в дрейфовое пространство. В теории подробно исследованы два типа продольно однородных равновесий: конфигурации пучков с резкими границами, когда отсутствует термодинамическое равновесие; и конфигурации с размытыми границами, в которых имеет место распределение Максвелла электронов по скоростям в системе покоя пучка как целого. Рассмотрим несколько наиболее простых равновесных конфигураций для случая однородного по длине цилиндрического пучка с резкими границами [4]. В этом анализе мы пренебрежем тепловым разбросом электронов по скоростям, а влияние плазмы учтем введением степени нейтрализации пучка по заряду , которую будем считать величиной постоянной. Для равновесия сил, действующих на электроны пучка в радиальном направлении, необходимо выполнить следующее условие:

, (6.5)

в котором использованы самосогласованные электрическое и магнитное поля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла:

(6.6)

(6.7)

. (6.8)

Эта система четырех уравнений (6.5-6.8) является незамкнутой относительно шести неизвестных величин , и для решения ее необходимо дополнить некоторыми предположениями.

Предположим, что нам известна зависимость компоненты магнитного поля от радиуса : , а плотность электронов пучка не зависит от радиуса. Также для простоты будем считать, что объемный заряд электронов полностью скомпенсирован холодными неподвижными ионами. Выражая компоненты скоростей из соотношений (6.7-6.8) и подставляя их в (6.5), получим:

. (6.9)

Это дифференциальное уравнение решить аналитически очень трудно, поскольку в правой его части стоит - фактор, который сложным образом выражается через скорости, а они, в свою очередь, через производные компонентов магнитного поля. Но, если пренебречь правой частью равенства (6.9) по сравнению с его первым слагаемым в левой части, что оказывается оправданным в случае, когда выполнено условие:

, (6.10)

что эквивалентно превышению тока пучка над током Альфвена (тем самым мы пренебрегли центробежной силой), тогда все неизвестные величины выражаются через по следующим формулам:

, (6.11)

где введена новая функция:

(6.12)

Рассмотрим частный случай подобного равновесного состояния пучка, когда он вращается как целое с угловой скоростью . Из выражения для азимутальной скорости и соотношения (6.8) следует:

, (6.13)

где . Подставляя выражение для функциииз (6.13) в формулу (6.12), легко получить выражение для функции и полного тока пучка :

(6.14)

(6.15)

где - циклотронная частота электронов в магнитном поле на оси пучка, а - радиус пучка. Величина полного тока достигает своего максимума при выполнении , но тогда нарушится условие (6.10), позволяющее пренебречь центробежной силой в выражении (6.9). Учитывая это условие, можно получить, что , которое удовлетворяется только в случае , и тогда в (6.15) можно подставлять . Рассмотренное равновесное состояние называют «бессиловым», так как в пренебрежении центробежной силой сумма остальных сил в нашем случае равна нулю.

Рассмотрим еще одну модель аксиально-симметричного пучка с неоднородным распределением плотности электронов по радиусу , вращающегося с постоянной угловой скоростью , и с постоянной продольной скоростью . Из уравнений (6.6-6.8) в указанных предположениях легко получить следующие выражения для полей:

(6.16)

Подставляем эти выражения в уравнение (6.5), из которого получаем :

(6.17)

Из этого соотношения можно получить равновесное распределение плотности в пучке:

, (6.18)

где . Это решение существует только в случае . Граница пучка определяется из условия , что дает радиус пучка :

. (6.18)

Зная плотность, продольную скорость и радиус пучка, легко получить его полный ток:

, (6.19)

где функция, а . Асимптотики функции имеют следующий вид: .

Из анализа зависимости полного тока пучка от параметраочевидно, что с его ростом ток пучка увеличивается, и для реализации режима необходимо выполнение условия . Следует отметить, что с ростом также растет и неоднородность распределения плотности тока пучка по радиусу, она превалирует при больших радиусах, таким образом пучок становится трубчатым.

 

Равновесные состояния ленточного пучка

Для простоты рассмотрения будем предполагать, что стационарный пучок бесконечный и однородный в направлении осей X и Z (см. рис.6.4), распространяется в направлении Z внутри плоского щелевого канала, образованного двумя идеально проводящими стенками. Кроме того, внешними условиями, например, геометрией диода задано распределение плотности тока пучка по сечению, а также задана одинаковая начальная энергия электронов. Пренебрежем также и тепловым разбросом электронов по скоростям. Из уравнений Максвелла следует, что электрическое поле потенциально и имеет одну ненулевую компоненту , а магнитное поле, напротив, имеет . Тогда интегрируя уравнения Максвелла, получим:

,

, (6.19)

,

где -плотность электронов в пучке, - компоненты скорости электронов, деленные на скорость света. Из предположения, что пучок холодный и находится в равновесии, т.е. не двигается вдоль направления , следует, что , кроме того, должно выполняться условие равенства нулю силы в поперечном направлении:

. (6.20)

Помножим уравнение (6.20) на и подставим вместо их выражения из (6.19), тогда получим:

, (6.21)

где - есть магнитное поле в центральной плоскости пучка. Это соотношение очень похоже на известный из электродинамики инвариант преобразования полей из одной системы координат в другую, но в прямую он здесь неприменим, так как все электроны двигаются с различными продольными скоростями. Зная распределение плотности тока в пучке, легко найти компоненту :

(6.22)

Воспользовавшись соотношениями (6.21) и (6.22), легко получить выражение для , в которое входит неизвестная компонента поля . Из выражения для закона сохранения энергии электрона: , можно получить связь производной от гамма-фактора электрона с величиной электрического поля:

. (6.23)

Далее, используя известное выражение для гамма-фактора через компоненты скорости ,, а также условие равновесия (6.20), составим квадратное уравнение, из решения которого находится выражение для величины :

(6.24)

В итоге имеем систему двух дифференциальных уравнений на две неизвестные и :

, (6.25)

в которой компонента скорости тоже выражена через них и другие известные величины (см. (6.24)). Заметим, что в выражении (6.24) среди корней квадратного уравнения надо выбрать положительный наибольший по модулю корень. Другому значению соответствует неустойчивое решение. Численно решая систему уравнений (6.25) для различных величин , характеризующих степень заполнения пучком канала и определяемых соотношением:

,

в работе [5] были получены зависимости погонного тока пучка, нормированного на значение погонного предельного вакуумного тока в бесконечном магнитном поле:

,

как функции от магнитного поля на оси , нормированного на некоторое критическое магнитное поле, равное:

.

При численном решении в качестве граничных условий были взяты следующие соотношения и . Результаты расчетов, приведенные на рис. 6.5 для случая , отражают общий характер зависимости тока пучка от магнитного поля и для других величин , что позволяют утверждать, что эта зависимость носит универсальный характер. Таким образом, для достижения равновесного состояния ленточного пучка с током, близким или равным предельному вакуумному, необходимо создать индукцию магнитного поля в щелевом канале, превышающую .