Лекция 8

1.4.ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1.4.1.ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА

Будем считать среду, в которой находятся электрические заряды и заряженные тела, однородной и изотропной, не обладающей сегнетоэлектрическими свойствами.

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника, которая в данном случае аналогична потенциальной энергии в механике.

Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряд и потенциал . Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда из бесконечности на проводник равна

.

Для того, чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала , необходимо совершить работу

.

Ясно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую нужно совершить, чтобы зарядить это тело:

.

Энергию называют собственной энергией заряженного тела. Ясно, что собственная энергия есть не что иное, как энергия электростатического поля этого тела

.

1.4.2.ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА

Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд , равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд , .

Энергия такой системы зарядов равна:

, то есть

равна собственной энергии системы зарядов, где - напряжение между обкладками конденсатора, .

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плоскостью энергии. Эта объемная плоскость должна быть одинаковой во всех точках однородного поля, а полная энергия поля пропорциональна его объему. Известно, что , , тогда для энергии имеем:

,

но - объем электростатического поля между обкладками конденсатора, то есть

.

Тогда объемная плотность энергии однородного электростатического поля конденсатора равна

,

то есть определяется его напряженностью или смещением. В случае неоднородных электрических полей

.

Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного шара напряженность его электростатического поля равна

.

Рассмотрим бесконечно тонкий шаровой слой, заключенный между сферами радиусов и . Объем такого слоя:

.

Энергия слоя следовательно,

.

Тогда полная энергия заряженного шара равна: , где - радиус шара. Емкость шара , следовательно, - энергия электростатического поля сферического конденсатора равна его собственной энергии, так как заряженное тело потому и обладает электрической энергией, что при его зарядке была совершена работа против сил создаваемого им электростатического поля.

 

1.4.3.ЭНЕРГИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ДИЭЛЕКТРИКА

 

Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.

Если поле напряженностью создано в вакууме, , то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностью равна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой:

.

Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен , где - поляризуемость диполя.

Или в скалярной форме:

(1.4.1)

- заряд и плечо диполя.

На заряд со стороны поля действует сила , которая при увеличении длины диполя на совершает работу

.

Из выражения (1.4.1) получаем: ,

поэтому

. (1.4.2)

Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):

.

Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью . Пусть - число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна:

.

Однако - модуль вектора поляризации, тогда . Известно, что , и , тогда , что и требовалось доказать.

 

1.4.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В НЕСЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Энергия электрического поля, создаваемого какой-либо системой заряженных тел (проводников, диэлектриков), изменяется, если тела системы перемещаются (то есть меняется взаимное положение тел), или, если изменяются их заряды. При этом совершают работу внешние силы, приложенные к телам системы, и источники электрической энергии (батареи, генераторы, и тому подобные), присоединенные к проводникам системы.

Закон сохранения энергии для малого изменения состояния системы при постоянной температуре и постоянной плотности среды имеет вид:

.

Здесь: - работа внешних сил; - работа источников электрической энергии; - изменение энергии электростатического поля системы; - изменение кинетической энергии системы; - теплота Джоуля - Ленца, которая вызвана прохождением электрических токов в системе при изменении или перераспределении зарядов проводников.

Если перемещение тел производится квазистатически, то есть очень медленно, то можно пренебречь изменением кинетической энергии системы, , и считать работу внешних сил численно равной и противоположной по знаку работе , совершаемой в рассматриваемом процессе силами, которые действуют на тела системы в электрическом поле и называются пондемоторными силами. В этом случае закон сохранения энергии можно записать в виде:

.

Работа источников электрической энергии за малый промежуток времени равна:

,

где - общее число источников электрической энергии в рассматриваемой системе;

- ЭДС -того источника, - заряд, проходящий через этот источник за время , - ток в источнике, работа , если ток идет от катода к аноду.

Если заряд каждого проводника не изменяется и не перераспределяется , то выражение закона сохранения энергии для квазистатического изменения состояния системы имеет вид:

,

то есть в этом процессе работа пондемоторных сил равна убыли энергии электрического поля системы. С помощью этого выражения можно рассчитывать работу пондемоторных сил.

Пример. Найдем силы, действующие на пластины заряженного плоского конденсатора. Расстояние между пластинами , где - площадь пластины.

Конденсатор заряжен и отключен от источника питания, так что заряд конденсатора , - поверхностная плотность заряда. При увеличении расстояния сила , приложенная к перемещаемой пластине, совершает работу . Изменение энергии электростатического поля в конденсаторе , где - объемная плотность энергии в прилегающем к пластине слое толщиной . Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что пондемоторная сила равна

.

Возможны два случая:

1. Конденсатор с газообразным или жидким диэлектриком между пластинами. В этом случае все пространство между пластинами конденсатора независимо от величины расстояния между ними заполнено одним и тем же диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , тогда ; , где - пондемоторная сила, действующая в вакууме.

2. Конденсатор с твердым диэлектриком между пластинами. В этом случае в слое толщиной , образовавшемся в результате отодвигания пластины конденсатора находится воздух, относительная диэлектрическая проницаемость которого . Поэтому ; .