ТЕОРЕМА ГАУССА

Если известно расположение зарядов, то электрическое поле зарядов можно найти по принципу суперпозиции. Однако применение этого метода в каждом отдельном случае требует довольно сложных вычислений. Задача может быть решена довольно просто применением некоторых теорем, которые мы здесь рассмотрим.

Вычислим поток вектора через бесконечно малую площадку . Будем считать, что поле создано точечным зарядом в вакууме, находящимся в точке (рис.1.1.7).

Из заряда проведем радиус-вектор к площадке . Тогда поток вектора через эту площадку будет равен: .

Произведение равно проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к . Это произведение положительно, если из видна внутренняя сторона площадки (угол острый), и отрицательно, если видна ее внешняя сторона (угол тупой), то есть , где - абсолютная величина перпендикулярной к проекции площадки . Пусть - телесный угол, под которым площадка видна из точки . Тогда

(совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса , проведенной из точки , поэтому ). Тогда для потока вектора имеем

Углу будем приписывать положительный знак, если из точки видна внутренняя сторона , и отрицательный, если внешняя. Тогда:

- в поле положительного заряда поток напряженности через произвольно ориентированную площадку зависит от величины заряда, образующего поле и от телесного угла , под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки .

Тогда поток вектора через конечную поверхность равен

где - положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из точки вся поверхность .

Рассмотрим замкнутую поверхность . В этом случае заряд может находиться либо внутри поверхности , либо вне ее.

Пусть заряд находится внутри замкнутой поверхности . Эта поверхность окружает его со всех сторон и видна из них под углом , тогда

Если же заряд находится в точке , лежащей вне поверхности (рис.1.1.8), то из точки можно провести касательные к , образующие конус, соприкасающийся с по замкнутой кривой , которая разделит на две части и . Обе эти поверхности видны из точки под одним и тем же углом, причем одна поверхность - с внутренней стороны , а другая - с внешней, то есть углы и , соответствующие этим поверхностям будут иметь разные знаки, при этом . Тогда и потоки через эти поверхности будут равны и имеют разные знаки, поэтому

-

- поток вектора через всякую замкнутую поверхность, не охватывающую заряд , равен нулю:

Полученные результаты справедливы для любой систему электрических зарядов. Действительно, пусть поле образовано системой зарядов . Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля Поток результирующего вектора равен

,

где , и

Эта формула выражает собой теорему Гаусса:

В произвольном электростатическом поле в вакууме поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную .

Если сумма , то - линии напряженности выходят из поверхности, если , - линии напряженности входят в поверхность. Из теоремы Гаусса следует:

1. Линии напряженности могут начинаться только в местах положительных зарядов, а заканчиваться только в местах отрицательных зарядов.

2. Если мы возьмем замкнутую поверхность, охватывающую заряды, алгебраическая сумма которых равна нулю, то полный поток вектора напряженности через поверхность равен нулю. Это означает, что число линий, выходящих из объема, ограниченного данной поверхностью, равно числу линий, входящих в объем.

3. Если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то линии напряженности будут ее пронизывать, не начинаясь, и не кончаясь внутри нее. Следовательно, число входящих линий равно числу выходящих линий, и полный поток напряженности через поверхность также равен нулю.

Рассмотрим теперь дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть в некоторой точке с координатами напряженность поля (рис.1.1.9) равна .Построим около точки прямоугольный бесконечно малый параллелепипед объемом . Объемная плотность заряда в нем равна и зависит от координат выбранной точки поля: .

 

Поток вектора через правую грань (1)

равен:

,

а через левую (2):

,

Поэтому поток вдоль оси равен

Таким же образом для верхней и нижней грани получим:

,

для задней и передней:

.

По теореме Гаусса

,

причем - заряд, заключенный внутри объема (ввиду малости можно считать что внутри параллелепипеда всюду одинакова),

,

тогда

,

или

Сумма, стоящая в левой части, называется дивергенцией вектора ,

, или

-дивергенция вектора напряженности равна объемной плотности зарядов, создающих поле, деленной на . Это выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она характеризует поле в точке. Электрические заряды являются источниками и стоками поля вектора . Линии вектора начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Если - это источник поля , если - сток поля. Если , то в данной точке нет зарядов, линии не прерываются.