Теория метода и описание установки

Метод измерения скорости полета снаряда основан на законе сохранения момента импульса относительно некоторой оси.

Момен­том импульса материальной точки относительно некото-рого центра О называется векторная величина (- векторное произведение вектора на вектор ), где - радиус-вектор материальной точки, проведенный из центра О (рис. 8.1) - импульс (количество движения) мате­риальной точки. Численно , где α – угол между векторами и.

Рис.8.1

Проекция вектора , на ось Z , проходящую через точ­ку 0, называется моментом импульса материальной точки относи­тельно оси Z, . Если скорость точки лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z, то , где - кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлена скорость.

Для твердого тела, вращавшегося вокруг неподвижной оси, момент импульса определяется выражением , где - момент инерции тела относительно оси вращения, - угловая скорость вращения.

Момент импульса системы тел определяется выражением

, (8.1)

где , - момент импульса i-го тела.

Закон сохранения момента импульса относительно некоторой оси формулируется следующим образом: если момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса системы по отношению к той же оси остается постоянным.

Пусть снаряд массой , движущийся со скоростью , попадает в неподвижное уравновешенное твердое тело на расстоя­нии от оси вращения и застревает в нем. Применение закона сохранения момента импульса относительно оси вращения дает следующее соотношение

(8.2)

Рис. 8.2.

До столкновения с телом моментом импульса обладал лишь сна­ряд , после столкновения , где - момент инерции тела вместе со снарядом. По зако­ну сохранения L0 = L. Зная m, l, J, w можно определить скорость снаряда:

(8.3)

В настоящей работе для измерения скорости снаряда используется баллистический крутильный маятник ФРМ-09. Он состоит из основания, оснащенного регу­лируемыми ножками, которые позволяют устанавливать основание гори­зонтально. В основании закреплена стойка, на ко­торой закреплены верхний, нижний и средний крон­штейны. К среднему кронштейну прикреплено стреляющее устройст­во, а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой и фотоэлектрический датчик. Кронштейны имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек, наполненных пластилином, двух перемещаемых грузов, двух стержней и водилки.

Сразу после соударения снаряда крутильный маятник облада­ет только кинетической энергией.

. (8.4)

По достижении максимального отклонения из положения равновесия маятник останавливается, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации закрученной проволоки

, (8.5)

где f - модуль кручения проволоки; J - момент инерции маятника вместе со снарядом; w - наибольшее значение угловой скорости маятника; a₀ - наибольший угол отклонения маятника из положения равновесия.

Приравнивая выражения (8.4) и (8.5) (по закону сохранения энергии) находим:

. (8.6)

Тогда выражение (8.3) для скорости снаряда примет вид

(8.7)

С другой стороны, движение маятника после попадания в него снаряда описывается основным законом динамки вращательного движения:

, (8.8)

где - момент сил упругости закрученной проволоки.

Так как угловое ускорение e - вторая производная от угла поворота a по времени, то мы приходим к дифференциальному уравнению колебательного движения маятника:

. (8.9)

Решение этого уравнения ищут в виде:

. (8.10)

Выражение (8.10) будет удовлетворять уравнению (8.9) (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой) лишь в том случае, когда

.

Откуда получается формула для периода колебаний крутильного маятника

. (8.11)

Подставляя в (8.7) выражение для момента инерции из (8.11), получим:

. (8.12)

Специальная методика измерения скорости V позволяет исключить модуль кручения f из формулы (8.12).

Пусть снаряд был выпущен из стреляющего устройства, когда перемещаемые грузы находились на расстоянии R₁ от оси вращения. В этом положении момент инерции маятника равен

.

и период колебаний будет равен

. (8.13)

После перемещения грузов до расстояния период изменится и станет равным

, (8.14)

где J₀ - момент инерции маятника без грузов; M - масса одного груза.

Из (8.13) и (8.14) можно получить следующее выражение для

. (8.15)

Подставляя выражение (8.15) в формулу (8.12) для с учетом того, что T = T₁, получим

. (8.16)

В формуле (8.16) величины M, m, l - задаются, а T₁, T₂, R₁, R₂, a₀ - измеряются.