Релятивистская энергия.

Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике, верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу кинетической энергии частицы

 

 

, (8.1)

 

 

и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с этой целью формулой релятивистской массы

 

 

. (8.2)

 

 

Подставляя сюда и возводя в квадрат, получим

 

 

. (8.3)

 

 

Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная, будем иметь

 

.

 

Учитывая в левой части соотношение , получим

 

(8.4)

 

 

С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:

 

 

, (8.5)

 

 

где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики

 

 

(8.6)

 

 

и соотношениями

Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так и в релятивистской механике. Для ее расчета необходима связь между скоростью и импульсом частицы. В релятивистской механике, учитывая формулу (8.4) в подынтегральном выражении (8.5), будем иметь

 

. (8.7)

 

Здесь и - значения массы частицы в начальном и конечном состояниях.

Значит, в релятивистской механике работа, совершенная силой, определяется только приращением релятивистской массы частицы и только ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то и, обозначив конечную скорость через , для работы (8.7) будем иметь

 

 

. (8.8)

 

 

Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку кинетической энергии: в состоянии покоя , получим

 

. Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых скоростей, разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по степеням малой величины :

 

 

и пренебрегая членами порядка выше , из (8.9) получим ньютоновское выражение кинетической энергии (8.1).

Введем обозначение

 

, (8.10)

 

и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из формулы (8.9) будем иметь

 

, (8.11)

 

где величина

 

(8.12)

 

является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией покоя. Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и релятивистских величин, здесь также разница между ними становится существенной при скоростях близких к скорости света. Причем, все релятивистские величины превышают по значению соответствующие ньютоновские величины.

 

 

Рис. 8.1

 

Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна также для релятивистской энергии:

 

.