Движение тела переменной массы

В некоторых случаях тел связано с изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Произведем вывод уравнения движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

здесь учтено, что dmdv - малое высшего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми. Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому

или

(1)

Второе слагаемое в правой части (1) называют реактивной силой F_p. Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

(2)

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).

Рассмотрим случай отсутвтия воздействия внешних сил на ракету. Положим в уравнении (1) F=0 и будем считать, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени стартовая масса m₀, а ее скорость ракеты равна нулю, то С = uln(m0). Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Выражения (2) и (3) верны для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

21 Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки

22 Динамика вращательного движения твердого тела относительно оси

Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси – это такое движение, при котором в теле имеются по крайней мере две неподвижные точки. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения (очевидно, все точки, принадлежащие оси, также неподвижны). Остальные точки тела описывают окружности с центрами на оси.

Вращательное движение характеризуется угловым перемещением тела , угловой скоростью и угловым ускорением .

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения наряду с понятием массы вводится понятие момента инерции, а наряду с понятием силы – понятие момента силы.

Из статики известно, что вызвать вращательное движение тела может только сила определенным образом направленная. Сила, направление которой проходит через ось вращения или параллельно ей, не может вызвать вращение вокруг этой оси. Изменение скорости вращательного движения твердого тела, имеющего закрепленную ось (рис.1) вызывается лишь составляющей - силы . Составляющие - параллельная оси и - перпендикулярная оси вращательного движения не вызывают и не изменяют. Сила - тангенциальная составляющая силы . На рис. перпендикулярна плоскости чертежа. При этом угловое ускорение зависит не только от величины этой составляющей силы, но и от кратчайшего расстояния r = 00’ от оси вращения до линии, вдоль которой действует тангенциальная составляющая, т. е. от так называемого плеча силы. Поэтому в динамики для характеристики возникновения и изменения вращательного движения вместо сил рассматривают момент силы.

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, определяемая через векторное произведение радиуса вектора и проекции силы на плоскость вращения

- радиус вектор направлен от оси в точку приложения силы.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и может определяться по правилу буравчика (см. рис. 1). Модуль вектора момента силы можно записать в виде

Угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от массы вращающегося тела, но и от распределения массы относительно оси вращения. Поэтому в динамике вращательного движения вместо массы рассматривают момент инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела массы m достаточно малого объёма (тело можно считать материальной точкой) относительно оси проходящей вне тела, равен произведению его массы на квадрат расстояния до оси вращения:

Поскольку твердое тело представляет систему материальных точек, то сумма моментов инерции всех материальных точек тела относительно оси вращения есть момент инерции тела относительно этой оси:

Зависимость углового ускорения вращающегося тела от момента силы и момента инерции тела относительно оси, вокруг которой происходит вращение, определяется основным законом динамики вращательного движения:
или
где векторная сумма всех моментов сил действующих на твердое тело.

23 Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Теорема Гюйгенса-Штайнера