Методика расчета случайных ошибок прямых измерений

Пусть измеряется n раз некоторая физическая величина Х. Из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, мы получаем набор значений Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n. Наиболее близким к истинному значению Х_ИСТ будет среднее арифметическое

. (1.3)

Чем больше измерений, тем ближе < X > и Х_ИСТ, а при

.

В реальном эксперименте число измерений всегда ограничено, поэтому истинное значение измеряемой величины остается неизвестным. Результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое < X > всегда содержат ошибку, поэтому вместе с результатом измерений нужно указать возможную величину ошибки, т.е. представить результат в виде

.

Эта запись равнозначна неравенству

. (1.4)

Существует несколько способов оценки случайной ошибки DХ. Мы рассмотрим один из них, наиболее часто используемый при обработке результатов эксперимента. По результатам измерений рассчитывают так называемую среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

. (1.5)

Так как результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое – случайные величины, то и S_{< Х >} тоже случайная величина. Поэтому мы не можем утверждать, например, что возможная ошибка DХ не превышает величины S_{< Х >}. Следовательно, нужно не только рассчитать возможную величину ошибки, но и указать вероятность того, что среднее арифметическое отличается от Х_ИСТ не более чем на величину DХ, т.е. вероятность, с которой выполняется неравенство (1.4).

Область значений называется доверительным интервалом, а соответствующая вероятность – доверительной α. Доверительная вероятность является весьма важной характеристикой измерений, так как позволяет судить о надежности полученного результата.

Для нахождения доверительной вероятности необходимо знать закон распределения случайной величины (Х_i; < Х >; S_{< Х >}). Наиболее часто встречается на практике распределение Гаусса (нормальное распределение):

.

Здесь f(х) – функция распределения случайной величины Х. Произведение f(х) · dх равно вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное между Х и Х + DХ.

Графически закон Гаусса представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Кривая Гаусса характеризуется двумя параметрами: Х_ИСТ и σ.

Х_ИСТ определяет положение вершины, а σ – ширину кривой (2 σ – расстояние между точками перегиба). Параметр σ называют стандартным отклонением или средним квадратическим. Он определяет разброс результатов измерений около Х_ИСТ, т.е. характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. На рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для разных значений стандартного отклонения (σ ₁ и σ ₂). В законе Гаусса σ ² носит название дисперсии случайной величины (дисперсия – разброс).

Среднее арифметическое, как случайная величина, тоже описывается законом Гаусса с параметрами ,

.

Среднее значение является лучшей оценкой для Х_ИСТ, чем результат отдельного измерения, так как кривая f (< х >) в n раз уже.

При известном параметре σ _{< Х >} доверительная вероятность:

.

Если задать доверительный интервал , то a = 0,682; если , то , то.

Указанные значения доверительной вероятности относятся к бесконечно большому числу измерений. В практике физического эксперимента N часто не превышает 10, а параметр неизвестен. Если за принять , то доверительная вероятность, рассчитанная на основе закон Гаусса, оказывается завышенной.

Существует другой, более строгий метод определения доверительной вероятности, основанный на распределении Стьюдента, которое учитывает случайный характер величины . Распределение Стьюдента не содержит неизвестных параметров Х_ИСТ, и существенно отли­чается от гауссового при малом числе измерений (N < 30). В физическом лабораторном практикуме обычно ставится такая задача: по заданной доверительной вероятности нужно оценить величину доверительного интервала. На основе распределения Стьюдента доверительный интервал

,

где – коэффициент Стьюдента.

Существуют таблицы, в которых даны значения коэффициента Стьюдента для разных значений доверительной вероятности и различного числа измерений (табл. 1.1).

Таблица 1.1