Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

 

Диэлектриками называют вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. Согласно представлениям классической физики в диэлектриках в отличие от проводников нет свободных зарядов – заряженных частиц, которые могли бы прийти под действием электрического поля в упорядоченное движение и образовать электрический ток. К диэлектрикам относятся все газы, если они не подвергаются ионизации, некоторые жидкости (бензол, растительные и синтетические масла) и твердые вещества (фарфор, стекло, парафин, кварц и др.). Удельное электрическое сопротивление диэлектриков ρ~Ом·м, тогда как у металлических проводников ρ~Ом·м.

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны, т.е. суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Тем не менее, молекулы обладают электрическими свойствами. Приближенно молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом где суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле; вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер.

Чтобы понять, как незаряженный диэлектрик создает электрическое поле, рассмотрим электрические свойства нейтральных атомов и молекул.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Если рассмотреть простейший атом – атом водорода, то у него положительный заряд сосредоточен в ядре, вокруг которого с большой скоростью вращается электрон (рис. 1.13, а). Один оборот вокруг ядра он делает за время порядка 10^-15 с. Поэтому, например, за время 10^-9 с электрон успевает совершить миллион оборотов (), т.е. миллион раз побывать в двух любых точках 1 и 2, расположенных симметрично относительно ядра. Следовательно, можно считать, что в среднем по времени центр распределения отрицательного заряда приходится на середину атома, т.е. совпадает с центром распределения положительного ядра.

Диэлектрик называется неполярным, если в отсутствие внешнего электрического поля центры распределения положительных и отрицательных зарядов в молекулах совпадают () и дипольные моменты равны нулю.

Если поместить неполярный диэлектрик (бензол, парафин, полиэтилен, N₂, H₂, O₂ и др.) во внешнее электрическое поле напряженностью , то происходит деформация электронных оболочек атомов и молекул (рис. 1.13, б): положительные и отрицательные заряды молекул смещаются в противоположные стороны и центры распределения этих зарядов перестают совпадать (). Такие деформированные молекулы можно рассматривать как электрические диполи, оси которых направлены вдоль поля.

Таким образом, неполярная молекула диэлектрика приобретает во внешнем электрическом поле индуцированный (наведенный) дипольный момент , пропорциональный напряженности внешнего поля

где поляризуемость молекулы, зависящая только от ее объема. Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорциональна растягивающей силе, т.е. пропорциональна напряженности внешнего электрического поля.

Рассмотрим теперь молекулу поваренной соли NaCl. Атом Na имеет во внешнем электронном слое один валентный электрон, у атома Cl семь валентных электронов. При образовании молекулы единственный валентный электрон Na захватывается атомом Cl и оба нейтральных атома превращаются в систему из двух ионов с противоположными знаками. Положительный и отрицательный заряды не распределены теперь симметрично по объему молекулы (рис. 1.14, а).

Диэлектрик называется полярным, если он состоит из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают даже в отсутствие внешнего электрического поля (). К полярным диэлектрикам относятся фенол, нитробензол и др.

Во внешнем электрическом поле напряженностью полярная молекула диэлектрика также деформируется, однако эта деформация незначительна и можно считать, что полярная молекула по своим свойствам подобна жесткому диполю, у которого имеется постоянный по модулю электрический момент ().

В однородном внешнем поле (рис. 1.14, б) на жесткий диполь действует пара сил и , момент которой по модулю равен

Вектор момента пары сил Этот момент стремится развернуть диполь так, чтобы его электрический момент совпал по направлению с вектором напряженности поля . Такая ориентация диполя соответствует состоянию его устойчивого равновесия в однородном электростатическом поле.

Помимо рассмотренных двух групп различают кристаллическиедиэлектрики, имеющие ионную структуру, или слабополярныедиэлектрики. К ним относятся KCl, CsCl и др.

Смещение положительных и отрицательных зарядов диэлектрика во внешнем электрическом поле называется поляризацией. Другими словами, при внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в любом макроскопически малом объеме вещества возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным.

В зависимости от строения молекул диэлектрика различают три вида поляризации.

1. Электронная (деформационная) поляризация. Она наблюдается у неполярных диэлектриков. Под действием внешнего поля у молекул диэлектриков этого типа возникают индуцированные дипольные моменты направленные вдоль поля, т.е. по направлению вектора (рис. 1.13, б). Время установления этой поляризации порядка 10^-15 с.

2. Дипольная (ориентационная) поляризация. Она наблюдается у полярных диэлектриков. Внешнее электрическое поле стремится ориентировать дипольные моменты полярных молекул – жестких диполей – по направлению вектора напряженности поля. Этому препятствует хаотическое тепловое движение молекул, вызывающее беспорядочный разброс диполей. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преимущественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая с увеличением напряженности и с уменьшением температуры. Эта поляризация устанавливается за время порядка 10^-10 с.

3. Ионная поляризация. Она происходит в твердых диэлектриках, имеющих ионную кристаллическую решетку. Внешнее электрическое поле вызывает в таких диэлектриках смещение всех положительных ионов в направлении вектора напряженности поля, а всех отрицательных ионов – в противоположную сторону. Это происходит за время порядка 10^-13 с.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью или вектором поляризации, равный отношению дипольного момента малого объема диэлектрика к этому объему:

(1.30)

где электрический дипольный момент i-молекулы; n - общее количество молекул в объеме . Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах электрическое поле можно было считать однородным.

В пределах малого объема все молекулы неполярного диэлектрика приобретают в электрическом поле одинаковые индуцированные электрические моменты . Поэтому поляризованность неполярного диэлектрика в электрическом поле напряженностью равна

 

(1.31)

 

где n₀ – концентрация молекул (); безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью неполярного диэлектрика ().

Поляризованность полярного диэлектрика

где среднее значение вектора дипольного момента для всех n молекул, содержащихся в малом объеме диэлектрика. Векторы молекул – жестких диполей – одинаковы по модулю и отличаются только ориентациями в поле. В очень сильном электрическом поле и при достаточно малой температуре электрические моменты всех молекул располагаются практически параллельно вектору . При этом поляризованность полярного диэлектрика достигает максимального значения:

В результате поляризации на гранях диэлектрика появляются заряды, не компенсированные соседними диполями. Это приводит к тому, что на одной его поверхности возникают положительные заряды, а на другой – отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными.

Внесем в однородное внешнее электростатическое поле , создаваемое двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, пластинку из однородного диэлектрика (рис. 1.15). Под влиянием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов – положительные смещаются вдоль поля, отрицательные – против поля. В результате на правой грани диэлектрика будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой грани – избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Так как поверхностная плотность связанных зарядов меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанныхзарядах. Таким образом, поляризация диэлектрика вызывает ослабление в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика поле

Следовательно, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного поля напряженностью (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Модуль напряженности результирующего поля внутри диэлектрика

Напряженность поля, создаваемого двумя протяженными заряженными плоскостями, определяется по формуле (1.27), поэтому

(1.32)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов . С одной стороны, согласно (1.30) полный дипольный момент пластинки диэлектрика где площадь пластинки, ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние между ними, т.е. Таким образом, или

(1.33)

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности.

Подставив в (1.32) выражение (1.33) и учитывая формулу (1.31), получим:

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

(1.34)

где безразмерная величина

(1.35)

 

называется диэлектрической проницаемостью среды. Из (1.34) следует, что показывает, во сколько раз электрическое поле ослабляется диэлектриком, количественно характеризуя свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем поле. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вещество		Вещество
Вода чистая		Парафин	2,3
Воздух	1,0006	Слюда	6-8
Кварц	4,5	Стекло	4-7
Керамика радиотехническая	до 80	Эбонит
Масло трансформаторное	2,2	Янтарь	2,8

 

Как следует из формулы (1.34) напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна . Вектор напряженности , переходя через границу диэлектриков, изменяется скачком, создавая затруднения при расчете электростатических полей. Поэтому помимо вектора напряженности поле характеризуется еще вектором электрического смещения (электрической индукции), который связан с вектором напряженности в электрически изотропной среде соотношением:

 

(1.36)

 

Так как в (1.36) то , т.е. электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего поля .

Что характеризует вектор электрического смещения? Электрическое поле в диэлектрике создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Однако первичным источником электрического поля в диэлектрике являются свободные заряды, так как поле связанных зарядов возникает в результате поляризации диэлектрика при помещении его в поле системы свободных зарядов. В свою очередь, поле связанных электрических зарядов может вызвать перераспределение свободных зарядов и соответственно изменить их поле. Поэтому вектор характеризуетэлектростатическое поле, создаваемое свободными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

 

Поле графически изображается линиями электрического смещения – линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения. Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора -только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии электрического смещения проходят не прерываясь.

Как следует из рис. 1.16, линии напряженности претерпевают разрыв на границе диэлектрик – вакуум (а), а линии электрического смещения остаются непрерывными (б). Непрерывность линий электрического смещения облегчает вычисление при заданном распределении зарядов.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, т.е.

 

(1.37)