СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

В координатном представлении

 

= r, = -iiÑ.

Коммутаторы этих операторов таковы :

 

= iid_kl

 

Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем, с ) равен нулю. Проверим, что

= ii ( и , аналогично ).

 

Имеем:

y(x) = y-y = x+ii(xy) =

 

= - ii x+ ii x+ ii y = ii y,

откуда в силу произвольности y и получаем, что надо.

Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая

 

= i,

 

где . Операторы и эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии:

º -, º -.

 

Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:

= i.

 

Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии y называется

D_y(A) º (DA)² .

 

Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.

Образуем скалярное произведение (Dy,Dy) и найдем его мнимую часть:

 

Im(Dy, Dy) = 1/2i{ (Dy, Dy) - (Dy, Dy)^* }=

= 1/2i{( Dy, Dy)-( Dy, Dy)} =

 

= 1/2i{( y, DDy)-( y, DDy)} =

 

= 1/2i (y,y) = 1/2i(y,y) = 1/2áCñ.

 

Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:

 

| Im(Dy, Dy)| £ | (Dy, Dy)| £ =

 

= = º (DA)(DB).

 

Сравнивая с предыдущим, мы и приходим к общему соотношению неопределенностей:

DA×DВ l 1/2UáCñU.

 

В частности, для координаты и импульса = i, а потому áCñ = i, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:

DxDp_x l i/2.

 

Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и p_x совместно неизмеримы.