КАРТИНЫ ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА

Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. Они называются разными картинами (представлениями).

До сих пор мы пользовались картиной Шредингера, в которой считается, что всю зависимость от времени несут векторы состояния (волновые функции), а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных случаях (например, в гамильтониан системы, находящейся в нестационарных внешних условиях). Основным динамическим уравнением в картине Шредингера является уравнение Шредингера.

ii|y_ш(t)ñ = _ш |y_ш(t)ñ.

 

Оно позволяет связать вектор состояния |y_ш(t)ñ в произвольный момент времени t с вектором состояния |y_ш(t₀)ñ, заданным в начальный момент . Ведем оператор эволюции ) определением

|y_ш(t)ñ = )|y_ш(t₀)ñ.

 

Так как нормировка векторов не должна меняться во времени, имеем:

1 = áy_ш(t₀)Uy_ш(t₀) ñ = áy_ш(t)Uy_ш(t) ñ = áy_ш(t₀) | y_ш(t₀) ñ,

 

т.е. ) должен быть унитарным оператором:

 

.

 

Если гамильтониан не зависит явно от времени (стационарные внешние условия), то оператор эволюции может быть выписан в явном виде:

) =

Тогда

|y_ш(t)ñ = .

 

Дифференцируя это соотношение по времени, найдем::

 

|y_ш(t)ñ =- i/i×_ш=- i/i×_ш |y_ш(t)ñ ii| y_ш(t)ñ = _ш |y_ш(t)ñ,

 

т.е. получим уравнение Шредингера, как и должно быть.

Перейдем теперь к картине Гейзенберга, совершая унитарное преобразование

|y_г(t)ñ = |y_ш(t)ñ = )|y_ш(t₀)ñ =

 

= |y_ш(t₀)ñ = |y_ш(t₀)ñ

т.е.

|y_г(t)ñ = |y_ш(t₀)ñ = |y_г(t₀)ñ º |y_гñ.

 

Таким образом, в картине Гейзенберга векторы состояний не меняются во времени: один и тот же вектор описывает состояние системы во все моменты времени.

Но теперь вся зависимость от времени перекидывается на операторы наблюдаемых, унитарное преобразование которых дает

 

_г(t) = _ш) .

 

При унитарном преобразовании средние значения наблюдаемых не меняются. Их в разных картинах можно записать как

áFñ (t) = áy_ш(t) U_ш |y_ш(t) ñ =

= áy_гU_ш)|y_гñ = áy_гU_г(t) |y_гñ.

 

Таким образом, зависимость от времени средних значений не зависит от выбора картины, а именно она-то и является самой главной.

В картине Гейзенберга уравнения Шредингера нет, так как векторы состояний постоянны. Основные динамические уравнения формулируются для операторов. Чтобы получить их, найдем сначала уравнение, которому подчиняется оператор эволюции и сопряженный ему. Имеем:

|y_ш(t) ñ = )|y_ш(t₀) ñ.

 

Дифференцируем по времени:

ii|y_ш(t) ñ = ii)|y_ш(t₀) ñ.

 

С другой стороны, согласно уравнению Шредингера,

ii|y_ш(t) ñ = _ш |y_ш(t₀) ñ = _ш |y_ш(t₀) ñ.

 

Сравнение дает уравнение

ii) = _ш ),

 

к которому нужно добавить очевидное начальное условие

.

 

Переходя к сопряженному уравнению с учетом эрмитовости найдем

- ii= _ш

 

Гамильтониан в КГ имеет вид

 

_г =

Если

,

 

то мы выносим _ш налево и пользуемся унитарностью . Тогда получим

_г (t) = _ш º .

 

Это справедливо, в частности, когда _ш не зависит от времени и (см. выше)

.

Очевидно, что в этом случае .

Теперь, пользуясь уравнениями для и , мы можем получить динамические уравнения для операторов наблюдаемых в картине Гейзенберга:

_г(t) = .

 

Дифференцируем по времени:

 

_г(t) =

 

 

.

 

В итоге получаем уравнения Гейзенберга - динамические уравнения в картине Гейзенберга:

 

_г(t) ,

 

где по определению

 

.

 

Картина Шредингера хороша при практической работе (уравнения для векторов состояний в определенном представлении становятся дифференциальными уравнениями для обычных функций - волновых функций). Картина Гейзенберга с этой точки зрения хуже (уравнения для операторов), но она хороша при общих размышлениях. В частности, позволяет с легкостью обсудить законы сохранения.