ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Центральное поле - это такое, для которого

 

V = V(r),r º ïrï.

 

Гамильтониан

= Ѳ +V(r)

 

записываем в сферических координатах. Учитывая, что

Ѳ = Ñr² +Ñ_jq²,

и вспоминая, что

= -Ñ_jq²,= -i,

получим

= +V(r).

Отсюда видно, что

поскольку и не включают , а потому коммутируют с V(r), и поскольку

.

 

Таким образом, энергия, квадрат момента импульса и его проекция совместно измеримы. Поэтому они имеют общие собственные функции. Таковые и будем искать. Так как собственные функции - решения стационарного уравнения Шредингера:

 

y(r,q,j) = Ey(r,q,j),

 

то ищем решения с определенными L² и L_z:

 

y = y_E,l,m(r,q,j),

 

где l характеризует L², m характеризует L_z.

Но общие собственные функции и нам известны - при фиксированном r (на сфере) это сферические гармоники Y _lm (q,j):

 

Y _lm (q,j) = l(l+1) Y _lm (q,j), Y _lm (q,j) = m Y _lm (q,j).

 

Поэтому ищем решения в виде:

 

y_E,l,m(r,q,j) = f_Elm(r) Y _lm (q,j).

 

Подставляем в уравнение

 

y_E,l,m(r,q,j) = 0,

 

учитывая, что вся угловая зависимость входит только в :

 

f_Elm(r) = 0,

 

(на сферическую функцию сократили). В это уравнение m не входит, а потому радиальные функции от m не зависят:

 

f_Elm(r) = f_El(r).

 

Логика, которая приводит к данному результату, такова: задача сферически симметрична, отсюда нет выделенных направлений, отсюда волновые функции стационарных состояний фактически не зависят от проекции момента m (точнее, от m не зависит энергия, а значит радиальная часть волновой функции).

Итак, для радиальной волновой функции получаем уравнение

 

f_El(r) = 0.

 

Удобно сделать замену неизвестной функции, вводя

 

R_El(r) = rf_El(r).

 

Для функции R_El(r) получаем уравнение

 

+R_El = 0.

 

По форме оно очень похоже на одномерное уравнение Шредингера

 

+ [V(x) - E]y = 0,

 

но есть два существенных отличия:

· теперь задача ставится на полупрямой (0, +¥), а не на всей прямой, и граничное условие нужно задавать не только на бесконечности, но и в точке r=0;

· потенциальная энергия заменяется на эффективную потенциальную энергию

V_эфф(r) = º V_l(r),

 

(сравн. с классической механикой).