МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Мы уже рассмотрели свойства момента импульса одной частицы, который был связан с ее движением в пространстве и определялся как

 

= ´

 

Это есть орбитальный момент. Теперь мы хотим обобщить это понятие, для чего получим его несколько иным способом - из симметрийных соображений.

Рассматриваем систему нескольких частиц с волновой функцией

 

y(r₁,...r_N) º y(r_a).

 

Произведем вращение системы координат на угол dj (вектор dj)направлен по оси вращения, а его модуль равен углу поворота). Это означает, что физическая система осталась той же самой, а приборы повернулись на угол dj. Радиусы- векторы изменятся:

 

r¢_a = r_a + dr_{a ,} dr_a=dj´r_a.

 

Преобразуются и значения y - функции, но так как в «новую» точку r_a «придет» «старая» точка r_a -dr_a,то должно быть

 

y¢(r_a) = y(r_a-dr_a).

 

 

Разлагая в ряд Тейлора, найдем:

 

y¢(r_a) = y(r_a-dr_a) = y(r_a) -r_{a a}y(r_a) = (-r_{a a}) y(r_a)

 

= (-(dj´r_a)_a) y(r_a) = (-djr_{a a}) y(r_a) º

 

º (-djr_a ´ (-i_a)) y(r_a) = (- dj)y(r_a).

 

Итак,

y¢(r_a) = (-dj )y(r_a), (*),

где

== (**)

 

В данном случае мы ничего нового не получили. Но важно, что момент импульса можно трактовать двумя способами. Согласно определению (*), оператор описывает преобразование волновой функции при малом вращении, т.е. является генератором вращения. Согласно определению (**) оператор выражается через координаты и импульсы так же, как в классической механике. Еще раз: в данном случае получилось, что это одно и то же. Но в общей ситуации определение (*) может оказаться более общим. Оператор (**) действует только на координаты волновой функции. Но у нее могут быть и другие какие-то переменные, на которые (**) не действует, а (*) - действует.

И такие дополнительные переменные действительно существуют у многих частиц (прежде всего у электрона). Это - спиновые переменные, являющиеся внутренними, врожденными степенями свободы частицы, никак не связанными с координатами. Обозначая их буквой s, запишем волновую функцию одной частицы как

 

y = y(r,s),

 

и в полной аналогии с рассмотренным частным случаем введем по определению оператор полного момента импульса как генератор вращений, т.е. преобразующий волновую функцию по закону

 

y¢(r,s) = (- dj)y(r,s).

Оператор можно представить в виде двух слагаемых:

=+.

 

Оператор есть рассмотренный ранее оператор орбитального момента, который действует только на координаты. Оператор есть новый оператор - оператор спина, который действует только на спиновые переменные s. Оператор спина можно определить как оператор ,действующий в системе покоя частицы. Значит это действительно внутренний, врожденный момент импульса частицы.

Найдем правила коммутации с операторами других физических величин. Пусть физическая величина F- векторная, и ей соответствует векторный оператор . Установим закон преобразования среднего значения Fпо произвольному состоянию y. С одной стороны имеем:

 

dF ºdáñy = áy¢êêy¢ñ-áyêêyñ »

áyê(+dj)(– dj)êyñ @ áyê[dj,]êyñ.

 

С другой стороны, как и для всякой векторной величины,

 

dF = dj´F = djáyêêyñ = áyêdj´êyñ.

Сравнение дает

[,dj] = idj´.

 

Проектируем на ось 1:

[₁,dj₁₁+dj₂₂ + dj₃₃] = i(dj₂₃-dj₃₂).

Сравниваем коэффициенты при dj₁, а потом при dj₂ :

 

[₁,₁]=0, [₁,₂] = i₃.

 

Остальные случаи получаются проектированием на оси 2 и 3, или циклической перестановкой индексов в выписанных соотношениях:

 

[_j,_k] = ie_{jkl l}.

 

В частности, полагая =,получим коммутационные соотношения для компонентов самого момента:

 

[_j,_k] = ie_jkll.

 

Так как =+, [,]=(действуют на разные переменные) и

 

[_j,_k] = ie_jkll

 

то для спиновых операторов получаем те же коммутационные соотношения, что и для орбитальных:

 

[_j,_k] = ie_jkll.

 

Если оператор F-скалярный, то абсолютно аналогичные рассуждения, основывающиеся на том, что при вращении dF = 0, дают

 

[,_k] = .

 

В частности, для квадратов полного момента и спина получаем

 

[_k] = Þ [²,_k]=