Кривые четвертого порядка
Лекция №9
Кривые линии
Общие определения и понятия
Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.
Способы задания кривой линии
Классификация кривых линий
Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, и незакономерными.
Плоские кривые линии
алгебраическая кривая 2-го порядка, прямая пересекает ее не более чем в двух точках.
Парабола
Гипербола
Эллипс
Синусоида – трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного во взаимно перпендикулярном направлении.
Кривые третьего и четвертого порядка
Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.
Кривые третьего порядка
В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х3+а1у3+а2х2у+а3ху2+а4х2+а5у2+а6ху+а7х+а8у+а9=0.
Декартов лист
Уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 — 3аху = 0.
2. Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)
Кривые четвертого порядка
Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в…Улитка Паскаля
Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2Rx)2 — а2(х2 + y2) = 0,
Розы
Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
Общие Сведения о кривых линиях
Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.
Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.
В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек.
Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства – пространственная.
Точки стыка дуг называются узлами.
Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным.
Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные
Секущая и нормаль к кривой линии
Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m). Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к l и проходящая через точку касания А
Касательная к кривой линии
Касательной к кривой линии называется прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Различают несколько типов касательных к кривой: 1. Касательная, параллельная заданному направлениюСвойства точек кривой
Особые точки кривой
Точка излома В – кривая в этой точке имеет две полукасательные.
Точка возврата первого рода F (точка заострения) – полукасательные совпадают. Точка возврата второго рода D (вершина клюва) – полукасательные совпадают. Узловая точка – точка A, в которой кривая пересекает сама себя и имеет две касательные.Кривизна кривой
При исследовании свойств кривой бывает необходимо знать кривизну в ее отдельных точках. Направление кривой меняется от точки к точке. Чем более резко меняется направление кривой, тем больше ее кривизна.
Кривизна прямой линии во всех ее точках равна нулю, а кривизна окружности во всех точках постоянна.
Кривизна кривой в заданной точке определяется с помощью окружности, соприкасающейся с ней в этой точке.
Соприкасающейся окружностью называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.
Центр и радиус соприкасающейся окружности определяют центр и радиус кривизны исследуемой кривой в данной точке.
Кривизной плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности.
В рассматриваемой точке кривая и соприкасающаяся с ней окружность имеют общие касательную и нормаль.
Построение центра и радиуса Кривизны
Определение центра и радиуса кривизны кривой m в заданной точке А выполняется в следующей последовательности: 1. На кривой по обе стороны от заданной точки отмечаем несколько точек. 2. Проводим из всех отмеченных точек полукасательные.Свойства ортогональных проекций кривой
1. Проекцией кривой линии является кривая линия. 2. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к ее проекции. 3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.Случай 1.
На плоскость П1 окружность проецируется в натуральную величину Случай 2.Случай 3.
Окружность лежит в плоскости общего положения. Обе проекции окружности –эллипсы.
Пространственные кривые линии
Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траектория движения точки.
Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.
Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии
Цилиндрическая винтовая линия
Смещение точки вдоль образующей за один оборот называется шагом цилиндрической… Горизонтальная проекция винтовой линии является окружностью, а фронтальная - синусоидой. На развертке цилиндрической…Коническая винтовая линия
Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, пройденный точкой по образующей, все время равен углу поворота конуса.
