Кривые четвертого порядка

Лекция №9

Кривые линии

Общие определения и понятия

Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.

 

 

Способы задания кривой линии

Классификация кривых линий

Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, и незакономерными.

 

Плоские кривые линии

алгебраическая кривая 2-го порядка, прямая пересекает ее не более чем в двух точках.

 

Парабола

 

Гипербола

Эллипс

 

Синусоида – трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного во взаимно перпендикулярном направлении.

Кривые третьего и четвертого порядка

Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

 

Кривые третьего порядка

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х³+а₁у³+а₂х²у+а₃ху²+а₄х²+а₅у²+а₆ху+а₇х+а₈у+а₉=0.

Декартов лист

Уравнение в прямоугольных координатах: x³ + y³ — 3аху = 0.

 

2. Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)

 

 

Кривые четвертого порядка

Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в…  

Улитка Паскаля

Уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0,

 

 

Розы

Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

 

Общие Сведения о кривых линиях

 

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек.

Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства – пространственная.

Точки стыка дуг называются узлами.

Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным.

Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные

 

Секущая и нормаль к кривой линии

 

Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m). Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к l и проходящая через точку касания А

 

Касательная к кривой линии

Касательной к кривой линии называется прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Различают несколько типов касательных к кривой:   1. Касательная, параллельная заданному направлению

Свойства точек кривой

 

 

 

 

Особые точки кривой

 

Точка излома В – кривая в этой точке имеет две полукасательные.

Точка возврата первого рода F (точка заострения) – полукасательные совпадают. Точка возврата второго рода D (вершина клюва) – полукасательные совпадают. Узловая точка – точка A, в которой кривая пересекает сама себя и имеет две касательные.

Кривизна кривой

 

При исследовании свойств кривой бывает необходимо знать кривизну в ее отдельных точках. Направление кривой меняется от точки к точке. Чем более резко меняется направление кривой, тем больше ее кривизна.

Кривизна прямой линии во всех ее точках равна нулю, а кривизна окружности во всех точках постоянна.

Кривизна кривой в заданной точке определяется с помощью окружности, соприкасающейся с ней в этой точке.

Соприкасающейся окружностью называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.

Центр и радиус соприкасающейся окружности определяют центр и радиус кривизны исследуемой кривой в данной точке.

Кривизной плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности.

В рассматриваемой точке кривая и соприкасающаяся с ней окружность имеют общие касательную и нормаль.

 

Построение центра и радиуса Кривизны

Определение центра и радиуса кривизны кривой m в заданной точке А выполняется в следующей последовательности: 1. На кривой по обе стороны от заданной точки отмечаем несколько точек. 2. Проводим из всех отмеченных точек полукасательные.

Свойства ортогональных проекций кривой

1. Проекцией кривой линии является кривая линия. 2. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к ее проекции. 3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.

Случай 1.

На плоскость П1 окружность проецируется в натуральную величину Случай 2.

Случай 3.

Окружность лежит в плоскости общего положения. Обе проекции окружности –эллипсы.

 

Пространственные кривые линии

 

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траектория движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии

 

 

Цилиндрическая винтовая линия

Смещение точки вдоль образующей за один оборот называется шагом цилиндрической… Горизонтальная проекция винтовой линии является окружностью, а фронтальная - синусоидой. На развертке цилиндрической…

Коническая винтовая линия

 

Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, пройденный точкой по образующей, все время равен углу поворота конуса.

Кривые безье. сплайны

В векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Отрезки кривых Безье — это частный… Кривая Безье, названа в честь французского математика Пьера Безье (Р. Bezier),… Кривые Безье – это частный вид кривых третьего порядка. В основе построения кривых Безье лежит использование двух…