Средняя концентрация фотонов

 

Согласно (1.2) энергия единицы объема

 

,

энергия фотона (1.6)

,

 

тогда средняя концентрация фотонов

 

.

 

Следовательно, вероятность обнаружения фотона в единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату модуля волны

 

. (1.10)

 

Волна де Бройля

 

Корпускулярно-волновая двойственность присуща не только фотону, но и частице вещества согласно Луи де Бройлю (1924).

 

Луи де Бройль (1892–1987)

 

По аналогии с фотоном частица вещества описывается волной. Используя (1.8)

,

 

получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергией Е сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):

 

, (1.11)

 

,

 

.

Длина волны

. (1.13)

 

Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм до нм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров.

Плотность вероятности обнаружения частицы

 

, (1.14)

 

т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx

 

. (1.15)

 

Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки

. (1.16)

 

Квантование Бора–Зоммерфельда

 

Условие максимума интерференции (1.3)

 

 

обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы. Учитывая (1.13)

 

,

 

получаем условие обнаружения частицы на траектории с номером n

 

.

 

Обобщение на случай замкнутой траектории, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , дает формулу квантования Бора–Зоммерфельда

, (1.17)

где

– квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;

– объем фазового пространства одномерного движения, занятого n состояниями.

Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.

Формула (1.17) применимав квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)

 

,

 

и (1.17) получаем условие применимости (1.17)

 

, , . (1.18)

 

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.

Если частица движется по окружности радиусом c постоянным модулем импульса , то из (1.17) получаем

 

,

 

где учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется

 

.

 

В результате проекция орбитального момента квантуется

 

, (1.19)

 

где ось z перпендикулярна плоскости траектории;

– магнитное квантовое число.