Уравнение движения материальной точки.

Сила – производная импульса по времени. F=dp/dt.

Более общая формулировка второго закона Ньютона:скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение называется уравнением движения материальной точки.

Уравнение движения системы частиц F_cис=∑ⁿ_i=1dp_i/dt, где n – число частиц в системе, p_i – импульс каждой частицы.

 

18. Силы взаимодействия. Третий закон Ньютона.

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона:всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F₁₂= - F₂₁, где F₁₂ – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F₂₁ – сила, действующая на вторую материальную точку со сторону первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволят осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Третий закон Ньютона справедлив только в концепции дальнодействия.

 

19. Импульс системы частиц. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂,..., m_n и υ₁, υ₂,…, υ_n. Пусть F’₁,F’₂,...,F’_n – равнодействующие внешних сил, действующих на каждое из этих тел, а F₁,F₂,...,F_n – равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

[d(m₁υ₁)]/dt=F’₁+F₁,

[d(m₂υ₂)]/dt=F’₂+F₂,

………………………

[d(m_nυ_n)]/dt=F’_n+F_n.

Складывая почленно эти уравнения, получим

[d(m₁υ₁+m₂υ₂+...+m_nυ_n)]/dt=F’₁+F’₂+...+F’_n+F₁+F₂+...+F_n.

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

[d(m₁υ₁+m₂υ₂+...+m_nυ_n)]/dt=F₁+F₂+...+F_n,

или

dp/dt=F₁+F₂+...+F_n,

где p=Σ_i=1ⁿm_iυ_i – импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

dp/dt=Σ_i=1ⁿ[d(m_iυ_i)]/dt=0,

т.е.

p= Σ_i=1ⁿm_iυ_i=const.

Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.

 

20. Момент импульса системы частиц. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса системы частиц есть сумма моментов импульса отдельных частиц.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость:

L_z=I_zω. (20.1.)

Продифференцируем уравнение (20.1.) по времени:

dL_z/dt=(I_zdω)/dt=I_zε=M_z,

т.е.

dL_z/dt= M_z.

Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

dL/dt=M.

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда L=const. (20.2.)

Выражение (20.2.) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

21. Энергия взаимодействия системы частиц.

Энергия взаимодействия системы частиц (потенциальная энергия) - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входят или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная потенциальной энергии по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определённом положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Энергия взаимодействия системы частиц зависит только от координат и геометрии системы.

 

22. Механическая энергия системы частиц. Закон сохранения энергии в механике.

Полная механическая энергия системы – это энергия механического движения и взаимодействия, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂,…,m_n, движущихся со скоростями

υ₁, υ₂,…, υ_n. Пусть F’₁, F’₂,…, F’_n – равнодействующие внутренних консервативных сил действующих на каждую из этих точек, а F₁, F₂,…, F_n – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными (потенциальными). На материальные точки действуют и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек: f₁, f₂,…, f_n. При υ<<c масса материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m₁dυ₁/dt= F₁+ F’₁+f₁,

m₂dυ₂/dt= F₂+ F’₂+f₂,

………………………

m_ndυ_n/dt= F_n+ F’_n+f_n.

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂,…, dr_n. Умножим каждое уравнение скалярно на соответствующие перемещения, получим

m₁(υ₁dυ₁)-(F₁+F’₁)dr₁=f₁dr₁,

m₂(υ₂dυ₂)-(F₂+F’₂)dr₂=f₂dr₂,

……………………………

m_n(υ_ndυ_n)-(F_n+F’_n)dr_n=f_ndr_n.

Сложив эти уравнения, получим:

Σⁿ_i=1m_i(υ_idυ_i)-Σⁿ_i=1(F_i+F’_i)dr_i=Σⁿ_i=1f_idr_i.

Первый член левой части равенства есть приращение кинетической энергии системы dT. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы. При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2 ₁∫²d(Т+П)=А₁₂. Если внешние консервативные силы отсутствуют ,то d(Т+П)=0 откуда Т+П=Е=const.(22.1)

Полная механическая энергия сохраняется постоянной.

Выражение (22.1) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

 

23. Центр инерции (центр масс). Уравнение поступательного движения системы.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Её радиус-вектор равен r_C=∑ⁿ_i=1m_ir_i/m, где m_i и r_i – соответственно масса и радиус-вектор i-ой материальной точки; n – число материальных точек системы, m – масса системы.

Скорость центра масс

υ_С=dr_C/dt=(∑ⁿ_i=1m_ir_i/dt)/m=∑ⁿ_i=1m_iυ_i/m.

Учитывая, что p_i=m_iυ_i, p=mυ_С, т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. Тогда по второму закону Ньютона mdυ_С/dt=F₁+F₂+…+F_n, т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Это выражение представляет собой закон движения центра масс (уравнение поступательного движения системы). Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остаётся неподвижным.

 

24. Абсолютно твёрдое тело. Уравнение движения абсолютно твёрдого тела.

Абсолютно твёрдым теломназывается тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным. Любое движение твёрдого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущемся телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Абсолютно твёрдое тело имеет шесть степеней свободы поэтому движение описывается шестью уравнениями; т.е. комбинация поступательного и вращательного движений.