рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Анализ колебаний в нелинейных цепях

Анализ колебаний в нелинейных цепях - раздел Механика, Колебания и волны Как Мы Уже Отмечали Во Введении, Работа Целого Класса Устройств, Цепей И Приб...

Как мы уже отмечали во введении, работа целого класса устройств, цепей и приборов основана на использовании свойств, присущих только нелинейным системам. Только в параметрических и нелинейных системах происходит обогащение спектра входного колебания, что приводит к возможности создать устройства такие как детекторы, модуляторы, генераторы, умножители и многие другие. К нелинейным элементам относятся все устройства, у которых параметры зависят от самих переменных. Это полупроводниковые и электронные приборы, катушки индуктивности с различными сердечниками, емкости с различными диэлектрическими материалами или полупроводниковые приборы ─ варикапы, использующие изменение ширины запорного слоя p─n перехода, в качестве переменной емкости, величина которой зависит от приложенного напряжения и другие.

В теории линейных и параметрических цепей, рассмотренных в предыдущих разделах, предполагалось, что все элементы, входящие в какую либо цепь, были постоянными или зависящими от параметра (например, времени) соответственно. Были записаны уравнения связи, устанавливаюшие зависимости между токами и напряжениями, приложенными к этим элементам ─ уравнения связи. Каждому из этих элементов были присвоены определенные обозначения: резистивному элементу R или R(t), емкостному элементу C или C(t), индуктивному элементу L или L(t) (для линейного или параметрического элемента соответственно).

Рассмотрим в общем виде характеристики основных нелинейных идеализированных элементов.

 

§3.1. Нелинейные элементы цепей

1. Нелинейный элемент − активное сопротивление – идеализированное устройство, рассеивающее электрическую энергию и характеризуемое уравнением связи U=R(i)i или i=G(u)u. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.1. Для анализа любой схемы, мы должны выбрать правильную модель, описывающую ее свойства, а затем составить уравнения, связывающие токи и напряжения для различных элементов цепи, в том числе и нелинейных. Однако записать аналитическое выражение для нелинейных элементов R(i) или G(u) задача большой сложности. Значительно проще эсперементально определить связь между током и напряжением ─ определить вольтамперную характеристику прибора. На рис.3.2. представлены несколько видов вольтамперных характеристик нелинейных элементов. Поэтому для анализа нелинейных цепей используют вольтамперные характеристики нелинейных активных сопротивлений.

 

       
   
 
 

 


 

Рис.3.1. Обозначение на схеме Рис.3.2. Некоторые типы вольтамперных

нелинейной резистивности характеристик нелинейных резистивностей

 

Вольтамперная характеристика резистивного элемента эквивалентна уравнению связи: u=f(i); i=φ(u).

Отношение

u/i=f(i)/i=R(i)=Rст (3.1)

называют статическим сопротивлением или сопротивлением постоянному току, которое обычно определяют для фиксированных значений i=I0 и u=U0. Если соединить прямой точку А (рис.3.2) с началом координат, то сопротивление постоянному току в этой точке можно определить как

Rст = ctg α.

Отношение i/u=φ(u)/u=G(u)=Gст – называют статической проводимостью в точке с координатами i=I0 и u=U0. Статическая проводимость или проводимость постоянному току Gст является величиной обратной Rст.

.

Рассматривая u(t)=f(i(t)) или i(t)=φ(u(t)) имеем для дифференциалов:

и .

Для конечных приращений, в пределах которых вольтамперную характеристику можно считать линейной, имеем:

 

и ,

где и (3.2)

- дифференциальные сопротивление и проводимость или сопротивление и проводимость переменному току. В окрестности i=I0, u=U0 – это постоянные коэффициенты. Рассматривая конечные приращения в качестве колебаний, можно для последних записать уравнения связи:

и . (3.3)

Из рис.3.2. видно, что если провести касательную в точке А к вольтамперной характеристике, то

.

Дифференциальное сопротивление и обратная величина − дифференциальная проводимость

(3.4)

чаще других используются для характеристики сопротивления нелинейного элемента.

Дифференциальные сопротивления (проводимости) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (рис.3.3).На рис.3.3 отмечены участки вольтамперных характеристик с отрицательными дифференциальными сопротивлениями и проводимостями.

 

а) б)

 

Рис.3.3. Вольтамперные характеристики: а) туннельного диода

(характеристика N-типа) и б) неоновой лампочки (характеристика S-типа)

 

Нелинейные элементы активных сопротивлений являются, при определённых условиях, характеристиками электровакуумных и полупроводниковых диодов, варисторов, стабиловольтов, баристоров и т.п.

Для линейного постоянного активного сопротивления имеем: U=f(i)=Ri. Откуда из формул (3.1-3.2) следует, что Rст=f(i)/i=R и Rдиф.=df(i)/di=R. Т.е. статическое и дифференциальное сопротивления линейного постоянного активного сопротивления совпадают и равны R.

Таким образом, дифференциальные сопротивления и проводимости нелинейных элементов применимы при рассмотрении малых колебаний напряжений и токов в нелинейных схемах.

2. Элемент нелинейной индуктивности – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме магнитного поля. Элемент нелинейной индуктивности ─ это хорошая модель катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.4.

 
 


 

 

Рис.3.4. Обозначение на схеме нелинейной индуктивности

Уравнение связи элемента имеет вид:

(3.5)

. (3.6)

Правая часть равенства (3.6) − есть функция переменной i(t). Следовательно, это уравнение не пригодно для составления системы уравнений с помощью метода узловых напряжений (МУН).

Для анализа нелинейных цепей используют, эквивалентную уравнениям связи (3.5-3.6), зависимость магнитного потока ψ(i) от тока I, так называемую ампервеберную характеристику (рис.3.5).

 
 

 

 


Рис.3.5. Ампервеберная характеристика нелинейной индуктивности

 

Заметим, что ψ(i) =L(i)i. Отношение

=Lстат (3.7)

называют статической индуктивностью, определяемую, чаще всего, для какого-то фиксированного I0 (рис.3.5).

Lстат= tgα.

Величина

=tgβ (3.8)

- называется дифференциальной индуктивностью. Для линейного постоянного элемента индуктивности значение Lстат и Lдиф совпадают.

Вернёмся к уравнению связи:

; т.е.

. (3.9)

Следовательно, если величина колебаний тока настолько мала, что в пределе участка характеристики , последняя может считаться линейной, то и уравнение связи является линейным

. (3.10)

Элемент нелинейной индуктивности является хорошей моделью катушки индуктивности, имеющей магнитный сердечник с пренебрежимо узкой петлёй гистерезиса (гистерезис характеризует активные потери).

В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные, тaк и отрицательные значения, дифференциальная индуктивность принципиально не может быть отрицательной, поскольку увеличение тока через L не может приводить к уменьшению магнитного потока, т.е. всегда Lдиф>0.

3. Элемент нелинейной ёмкости – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме электрического поля. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.6. Как отмечалось выше, элемент нелинейная емкость, является хорошей моделью емкости с различными диэлектрическими материалами в качестве ε или полупроводниковые приборы ─ варикапы, использующие изменение ширины запорного слоя p─n перехода, в качестве переменной емкости, величина которой зависит от приложенного напряжения.

 

 

Рис.3.6. Обозначение на схеме нелинейной емкости

 

Уравнение связи элемента имеет вид:

. (3.11)

Возможна другая форма уравнения связи:

,

но она не пригодна для составления системы уравнений с помощью метода контурных токов (МКТ), т.к. правая часть в неявном виде содержит u(t).

Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи зависимость заряда q от напряжения u – вольткулоновскую характеристику (рис.3.7).

 

Рис.3.7. Вольткулоновская характеристика нелинейной емкости.

 

Заметим, что q=c(u)u, следовательно, можно записать отношение

, (3.12)

которое называют статической ёмкостью и которое определяет значение емкости для фиксированного значения u0 (рис.3.7).

Cстат=tgα.

Величина

=tgβ (3.13)

называется дифференциальной емкостью. Эти характеристики чаще всего определяют для малой окрестности некоторого фиксированного значения u0. Для линейного постоянного элемента ёмкости значения Сстат и Сдиф совпадают. Поэтому можно записать, что

Сстатдиф=С.

Вернёмся к уравнению связи, которое можно записать в форме:

, т.е.

. (3.14) Если величина колебаний напряжений относительно u0 мала, то в пределах рабочего участка характеристики последняя может считаться линейной, что обуславливает линейность уравнения связи

, откуда . (3.15)

Как и Lдиф элемента индуктивности, Сдиф элемента ёмкости всегда положительна, Сдиф>0. Это обусловлено тем, что увеличение u на ёмкости не может приводить к уменьшению заряда.

Элемент «нелинейная емкость» является хорошей моделью емкости с диэлектрической проницаемостью ε, зависящей от напряженности Е электрического поля без потерь или варикапа.

В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные тaк и отрицательные значения, дифференциальная емкость принципиально не может быть отрицательной, поскольку увеличение тока через С не может приводить к уменьшению электрического поля, т.е. Сдиф>0.

 

§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как указывалось ранее, удобными характеристиками нелинейных элементов являются не уравнения связи, а вольтамперная характеристика активного сопротивления или , или зависимость - для нелинейной индуктивности (ампервеберная характеристика), или зависимость q(u) – для нелинейной емкости (вольткулонная характеристика) (рис.3.8).

 

Рис.3.8. Виды характеристик нелинейных элементов

 

Однако, графическая форма характеристик нелинейных элементов (рис.3.8.) не позволяет использовать зависимости (3.1-3.15), для составления уравнений работы схем с нелинейными элементами. Поэтому одной из важнейших задач, которая возникает при анализе колебаний в схемах, содержащих нелинейные элементы, состоит в аппроксимации нелинейных характеристик. Наибольшее распространение аппроксимаций нелинейных характеристик получили полиномиальная и кусочно-линейная, а также аппроксимация с помощью различных видов трансцендентных функций.

При анализе нелинейных схем возможность получить правильный результат существенно зависит как от правильности выбора метода аппроксимации, так и от выражения аппроксимирующей функции нелинейного элемента. Возникает определенное противоречие – чем точнее аппроксимация нелинейного элемента, тем сложнее получить нужное аналитическое выражение характеристики нелинейного элемента. Но кроме этого, сложнее построить и решение нелинейного уравнения, описываюшего колебания в такой нелинейной системе, с помощью выбранного выражения аппроксимирующей функции. Поэтому правильный выбор аппроксимации нелинейной характеристики позволяет существенно упростить построение решения нелинейного уравнения. Кроме того необходимо отметить, что очень часто одну и ту же характеристику нелинейного элемента приходится по-разному аппроксимировать в зависимости от того, в каких условиях работает нелинейный элемент и какие вопросы должны быть исследованы. Поэтому, способы аппроксимации выбирают в каждом конкретном случае исследования колебаний в схемах с нелинейными элементами различными.

Рассмотрим способы аппроксимации различных функций нелинейных элементов. К наиболее распространенным способам аппроксимации нелинейных элементов относят следующие:

· полиномиальная аппроксимация ─ представление нелинейной характеристики с помощью степенного ряда,

· кусочно-линейная аппроксимация ─ представление аппроксимируемой функции отрезками прямых линий,

· аппроксимация с помощью различных видов трансцендентных функций.

Полиномиальная аппроксимация. Если любая из нелинейных характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки функция может быть представлена разложением в ряд Тейлора (в окрестности точки х0)

или

, (3.16)

где R – остаток в разложении в ряд Тейлора, которым пренебрегают при аппроксимации.

Если же характеристика задана графически (рис.3.9), то аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй - пятой степенью

. (3.17)

 

Рис.3.9. Графическое представление нелинейной характеристики

Для определения коэффициентов аk требуем, чтобы при значениях переменной xk в левой части полинома (3.17) получались значения функции yk.

Составляем систему уравнений:

, где . (3.18)

В этой системе уравнений yn, у0, xn, x0 – известные величины, поэтому эту систему можно решить по методу Крамера, относительно коэффициентов ak.

Если x=x0+S (х0 постоянное смещение, а S малый сигнал), то

, (3.19)

где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента. Таким образом, можно отметить, что первый коэффициент a1 полиномиальной аппроксимации нелинейной характеристики (3.17) совпадает с дифференциальным параметром нелинейного элемента. Кроме того отметим, что если х=0 лежит внутри интервала (х51) аппроксимации нелинейной характеристики полиномом, то коэффициент а0 определяет значение функции в начале координат (т.е. если мы рассматриваем в качестве нелинейной характеристики i=φ(u), то коэффициент а0=i(0) определяется как значение тока при u=0.

Кусочно-линейная аппроксимация. Кусочно-линейная аппроксимация основана на замене реальной характеристики нелинейного элемента отдельными участками, которые заменяются отрезками прямых линий (рис.3.10).

 

Рис.3.10. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейного элемента

 

Точность кусочно-линейного приближения зависит от количества интервалов, заменяемых отрезками прямых в заданном интервале использования кусочно-линейной аппроксимации. Чем на большее количество отрезков прямых разбит интервал, для которого мы применяем кусочно-линейное приближение, тем выше точность совпадения с реальной нелинейной характеристикой, но при этом сушественно усложняется анализ колебаний в такой системе. Для упрощения расчетов желательно ограничиваться минимальным количеством отрезков прямых, замещающих нелинейную характеристику. Например, динамическую проходную характеристику триода (рис.3.10) можно аппроксимировать с достаточной степенью точности всего лишь тремя отрезками прямых линий:

. (3.20)

Замена нелинейных участков характеристик нелинейных элементов отрезками прямых, прозволяет считать и сами характеристики линейными, а это значит, что применимы теперь все методы линейной теории цепей. На протяжении линейных участков нелинейные элементы заменяются на линейные, с характеристиками равными их дифференциальным величинам.

Аппроксимация нелинейных характеристик с помощью трансцендентных функций. Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями рис.3.11. В качестве аппроксимирующих трансцендентных функций применяются экспоненты и их суммы, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и другие функции. Например,

или . (3.21)

 

 


 

Рис.3.11. Примеры аппроксимации нелинейных характеристик

трансцендентными функциями

 

§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью

 

Одним из важнейших свойств нелинейных цепей, как отмечалось выше, является свойство обогащать спектр входного сигнала. Это свойство заключается в том, что при воздействии на нелинейную цепь гармонического или периодического сигнала, состоящего из суммы гармонических колебаний, на выходе нелинейной цепи возникнут колебания, содержащие не только спектральные составляющие входного колебания, но и их комбинационные частоты. Т.е. возникли новые гармонические составляющие, которых не было во входном сигнале. При этом частоты новых гармонических составляющих могут быть как кратными, так и некратными частотам входного сигнала.

Указанное свойство присуще только нелинейным или параметрическим колебаниям. Оно принципиально не могло возникнуть в линейных цепях, у которых при передаче сигнала происходит только деформация сигнала по амплитуде, а форма сигнала всегда сохраняется.

Пусть наша нелинейная цепь содержит нелинейный элемент, характеристика которого аппроксимируется полиномом

. (3.22)

Пусть входной сигнал состоит из суммы двух гармонических колебаний

s(t)=S1cosω1t + S2cosω2t . (3.23)

Подставляя выражение (3.23) в (3.22), получим:

.

Возводя двучлен s(t)=s1(t) + s2(t) в nю степень, и, группируя затем члены суммы, можно убедиться, что в составе реакции y(t) имеются слагаемые частот ξω1±ηω2, где ξ и η – любые числа, не исключая нуль, т.е. спектр содержит слагаемые комбинационных частот. Таким образом, в нелинейных цепях возможны различные радиотехнические процессы: стабилизация постоянного тока и напряжения, умножение, выпрямление, модуляция, детектирование и многое другое.

 

§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях

Анализ колебаний в нелинейных цепях представляет большие трудности. В настоящее время не существует единого математического метода пригодного для исследования любых нелинейных цепей при произвольных режимах их работы. Каждый метод оказывается достаточно эффективным обычно лишь для одного или нескольких режимов работы того или иного класса нелинейных цепей. Даже при исследовании одной и той же схемы, в зависимости от режимов ее работы, целей исследования, от требуемой точности решения, приходится применять различные методы.

В нелинейной цепи возможен дополнительный режим – автоколебания. Поэтому при анализе нелинейной цепи могут исследоваться следуюшие режимы:

· устойчивость цепи (ее состояние покоя)

· устойчивость автоколебаний

· установившийся режим автоколебаний

· процесс установления автоколебаний

· процесс исчезновения автоколебаний

· преобразование автоколебания в устойчивой нелинейной цепи

· взаимодействие внешнего колебания с автоколебаниями в нелинейной цепи и др.

Разновидности исследуемых нелинейных цепей:
- автогенераторы специальной и синусоидальной формы
- умножители и делители частоты, т.е. преобразователи частот
- ограничители

- выпрямители
- модуляторы и демодуляторы
- электронные реле другие.

Порядок дифференциального уравнения, описывающего колебания в нелинейной цепи, может быть различным до n=1020 и более. Соответственно многообразию видов нелинейных цепей, режимов их работы и поставленной задачи анализа в настоящее время разработано несколько сотен различных методов исследования. Наиболее распространенными методами исследования нелинейных систем являются:

1) метод линеаризации

2) метод гармонической линеаризации

3) методы малого параметра

4) метод усреднения

5) метод фазовой плоскости

6) метод интегральной аппроксимации

7) метод математического моделирования

8) метод медленно меняющихся амплитуд.

В следующих разделах рассмотрим наиболее часто применяемые методы исследования нелинейных цепей, ограничения применимости каждого из данных методов. Рассмотрим некоторые наиболее интересные нелинейные цепи и проанализируем результаты, получаемые с помощью данных методов.

 

§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений

 

Анализ резистивных цепей является необходимой частью анализа цепей содержащих и другие нелинейные элементы. Поэтому, прежде чем перейти к рассмотрению методов пригодных для анализа неленейных цепей общего вида, рассмотрим более простой случай анализа цепи, содержащей только резистивные нелинейные элементы.

 
 

 

 


Рис.3.12. Нелинейная цепь

 

Рассмотрим нелинейную электрическую цепь (рис.3.12), составленную частично или полностью из элементов активного сопротивления, каждый из которых определен своими характеристиками U = fk(i) и i = φk(u). Рассмотрим одномерную задачу анализа. Используем для анализа метод трансформации вольтамперной характеристики нелинейных резистивностей (рис.3.13), найдем φрез(u).

 

 

 

а) б)

 

Рис.3.13. Метод трансформации для параллельного соединения двух

нелинейных резисторов

 

С помощью графического суммирования токов строится результирующая вольтамперная характеристика:

i = i1+i2 = φ1(u)+φ2(u) = φрез, (3.24)

а параллельное включение нелинейных резисторов заменяется одним резистором.

Аналогичным образом, применяя метод трансформации, заменяем, последовательно включенные нелинейные сопротивления, одним с вольтамперной характеристикой f рез (рис.3.14).

 
 

 


 

 

Рис.3.14. Метод трансформации для последовательного соединения двух

нелинейных резисторов

С помощью графического суммирования токов, строится результирующая вольтамперная характеристика:

u = u1+u2 = f1(i)+f2(i) = f рез(i), (3.25)

а последовательное включение нелинейных резисторов заменяется одним резистором.

Методика преобразования сложной нелинейной цепи в простую представлена на рис.3.15.

Пример 3.1. Преобразовать сложное соединение активных сопротивлений, содержащих нелинейные элементы, в простую схему, упрощающую анализ данной цепи.

 

 

 
 

 

 


 

 

 

           
 
   
 
   

 


 

 

Рис.3.15. Алгоритм преобразования нелинейной цепи, состоящей из

нелинейных резисторов

 

На первом этапе цепь с помощью трансформации, представленной на рис.3.13-3.14, сводится к одному нелинейному элементу с результирующей вольтамперной характеристикой. Затем находятся результирующие токи и напряжения, а также токи и напряжения в отдельных ветвях или на отдельных элементах.

Нахождение вольтамперной характеристики аналитическим путем (например, для рис.3.14) представляет собой нелегкую задачу − нужно решить уравнение относительно φ по следующим условиям:

(3.26)

В нелинейной цепи, составленной из элементов R, происходит изменение спектра выходного колебания по сравнению со спектром входного колебания.

 

§3.6. Метод линеаризации

 

Метод основан на предположении, что колебания возбужденные в цепи, содержащей нелинейные элементы, являются настолько малыми, что участки характеристик нелинейных элементов, в пределах которых существуют колебания, могут считаться линейными.

Метод используется:

· для анализа малых вынужденных колебаний в устойчивых цепях с нелинейными элементами

· для исследования устойчивости цепи при малых отклонениях от состояния покоя

· для исследования устойчивости периодического автоколебания.

Метод линеаризации использовался ранее при выводе схем замещения электронных приборов. Причем, параметры электронных ламп S = и , а также параметры транзисторов gвх, gобр, gi и S – являются дифференциальными параметрами, определенными для некоторой окрестности рабочей точки (рекомендованной). Как следствие этого обстоятельства, анализ всех схем, содержащих электронные приборы (усилители разнообразного назначения), был проведен ранее именно методом линеаризации.

Рассмотрим применение метода линеаризации для исследования устойчивости цепи при малых отклонениях от состояния покоя.

Пусть некоторая цепь содержит нелинейные устройства, а также генераторы энергии в виде источников постоянного напряжения или тока. Если колебания в цепи отсутствуют, то ее состояние покоя характеризуется постоянными значениями токов I0 и напряжений U0 ветвей, которые могут быть определены анализом режима постоянного тока. Постоянные значения токов и напряжений нелинейных элементов определяют положения рабочих точек на их характеристиках.

При возбуждении каким-либо образом цепи, колебаниями реакции будут отклонения ∆ U и ∆ i токов и напряжений от постоянных значений. Для анализа этих колебаний, от схемы цепи переходим к схеме замещения для режима колебаний, причем нелинейные элементы заменяем линейными с параметрами, равными дифференциальным параметрам в определенной рабочей точке. Составляем систему интегродифференциальных уравнений для отклонений (колебаний). В операторной форме система уравнений имеет вид:

или

(справа в системе уравнений могут быть записаны изображения характеристических источников, вызывающих колебания в цепи).

Характер колебаний в цепи определяется расположением корней (рис.3.16) характеристического уравнения

или pn+a1pn-1+a2pn-2+…+an=0.

Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части (т.е. если они лежат в левой полуплоскости) (рис.3.16.а), тогда цепь является устойчивой, а решения принимают вид:

Se и Sncos(ωnt+ψn).

 

 
 

 

 


 

 

а б

Рис.3.16. Расположение корней характеристического полинома на

плоскости оператора р=δ ± jω: а − для устойчивой цепи, б − для

устойчивой цепи (автогенератора)

 

Свободные колебания в этом случае носят затухающий характер (рис.3.17.а) для гамонических колебаний и для апериодических колебаний.

 

 

а) б)

Рис.3.17. Поведение решений для: а − затухающих колебаний,

б − нарастающих колебаний

Если какие-либо из корней характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть рис.3.16.б, тогда им в решении будут соответствовать слагаемые вида:

Se и Sncos(ωnt+ψn).

Представленные колебания, являются расходящимися (см. рис.3.17.б). Такая цепь является неустойчивой.

Если характеристическое уравнение имеет порядок выше третьего, то корни не имеют аналитических выражений, связывающих их с коэффициентами ak. Для анализа устойчивости следует либо вычислить корни уравнения каким-либо численным методом, либо использовать один из критериев устойчивости, определяющий требования, которым должны удовлетворять коэффициенты ak, для того, чтобы цепи были устойчивы. Наиболее широкое распространение получили критерии Рауса – Гурвица, Михайлова и Найквиста.

 

Алгоритм метода линеаризации для анализа вынужденных колебаний

 
 

 


Рис.3.18. Алгоритм метода линеаризации для анализа вынужденных

колебаний

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица является аналитическим, критерии Михайлова и Найквиста – графоаналитическими. Критерий Рауса-Гурвица предполагает рассмотрение главного определителя вида

Dn = .

Из этого определителя, убирая по одному крайнему столбцу и по одной нижней строке, мы получим набор определителей следующего вида:

первый определитель D1=a1; второй определитель ; третий определитель

D3=и т.д.

Критерий Рауса – Гурвица устанавливает, что при a0>0 все корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные части тогда и только тогда, когда все n определителей положительны.

На рис.3.18 представлен алгоритм исследования колебаний с помощью метода линеаризации.

Пример 3.2. Для иллюстрации метода линеаризации и критерия Рауса – Гурвица рассмотрим схему с туннельным диодом (рис.3.19), способную при определенных условиях усиливать или генерировать колебания.

 

 

Рис.3.19. Нелинейная цепь, содержащая туннельный диод

Емкость С может быть как паразитной, так и включенной в схему.

Моделирующая схема туннельного диода, упрощенная – учитывающая только его нелинейные свойства, а также более общая, учитывающая потери в проводниках и их индуктивные свойства представлены на рис.3.20.

 

А б с

Рис.3.20.а − туннельный диод, б − схема замещения, учитывающая нелинейные свойства туннельного диода, с − схема замещения, учитывающая как нелинейные свойства туннельного диода, так и паразитные потери в проводниках, а также магнитные своиства проводников.

 
 

 

 


Рис.3.21. Эквивалентная схема для режима колебаний с учетом

нелинейных свойств туннельного диода

 

Для составления уравнений, описывающих колебания в такой схеме, используем оба закона Кирхгофа. Для этого введем обозначения: ток протекающий в неразветленной части схемы (рис.3.21) − i(t), а напряжение, на параллельно включенных элементах − u(t). Тогда, используя законы Кирхгофа, получаем:

. (3.27)

Используя уравнение связи для постоянной емкости, запишем ток i2(t) в виде:

.

С учетом того, что ток через туннельный диод определяется его нелинейной вольтамперной характеристикой, запишем:

.

Подставляя токи i1(t) и i2(t) в первое уравнение системы (3,27), получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:

. (3.28)

В соответствии с алгоритмом (рис.3.18), на данном этапе, необходимо составить эквивалентную схему для исследования режима покоя. Режим покоя – это режим, при котором токи и напряжения являются постоянными величинами, т.е. одновременно. А это значит, что емкость и индуктивность для исследования режима постоянного тока в схеме (рис.3.21) не учитываются (через емкость постоянный ток не протекает, а индуктивность для постоянного тока простой проводник).

Поэтому эквивалентная схема режима постоянного тока имеет вид (рис.3.22).

 

 

Рис.3.22. Эквивалентная схема, для режима покоя

 

Если (R2=Rq+Rн), то состояние цепи (рис.3.22) описывается нелинейной системой уравнений:

 

. (3.29)

Решение данной системы нелинейных алгебраических уравнений можно найти либо графическим методом (рис.3.23), либо численным. Первое уравнение системы (3.29) есть вольтамперная характеристика туннельного диода, второе уравнение – нагрузочная линия. Точки пересечения этих двух линий дают нам всевозможные значения точек покоя. Возможное расположение нагрузочных линий представлено на рис.3.23.

 
 

 

 


 

Рис.3.23. Графический способ решения уравнения (3.29)

 

В зависимости от параметров схемы (рис.3.23), нагрузочные линий могут пересекать вольтамперную характеристику четырьмя разными способами. Поэтому возможны четыре режима покоя в данной схеме. Для того, чтобы исследовать возможные колебания для каждого из этих случаев, необходимо в соответствии с алгоритмом найти дифференциальные параметры нелинейных элементов. В нашей схеме только один нелинейный элемент – туннельный диод. Он будет для режима малых отклонений от точек покоя заменен на дифференциальную проводимость. В соответствии с формулой (3.4) Gд определяется как тангенс угла наклона касательной к вольтамперной характеристике в точке покоя.

Для режима колебаний эквивалентная схема представлена на рис.3.24.

 

 

 
 

 


Рис.3.24. Эквивалентная схема для режима малых колебаний в схеме

на туннельном диоде

 

Для режима малых колебаний, т.к. все элементы теперь являются постоянными величинами, применимы методы теории линейных цепей. Например, составленное с помощью операторного метода уравнение малых колебаний в схеме на туннельном диоде примет вид:

. (3.30)
Правая часть уравнения (3.30) может либо равняться нулю, либо содержать источник, описывающий воздействия на нашу схему.

Характеристическое уравнение схемы (рис.3.24) определяется выражением:

p2LC + p(LG1диф + R2C) + R2G1диф + 1=0 (3.31)
или

. (3.32)

Введем обозначения:

и , (3.33)

тогда характеристический полином принимает вид

p2 + a1p + a2=0. (3.34)

Определитель Рауса–Гурвица, составленный из коэффициентов характеристического полинома (3.34), имеет следующий вид:

. (3.35)

 

Состояние цепи является устойчивым, если D1=a1>0 и D2=a1a2>0, т.е. если a1>0 и a2>0 одновременно. Из выражения (3.33) для коэффициента а2 получаем, что для устойчивости цепи должно выполняться следующее соотношение:

>0. (3.36)

Для дальнейшего рассмотрения колебаний в схеме на туннельном диоде необходимо конкретизовать режимы работы схемы.

Случай 1 − триггер. Рассмотрим пересечения нагрузочной линии и вольтамперной характеристики (рис.3.23), который в качестве решения дает три точки покоя, причем точка В, в отличие от точек А и С, расположена на падающем участке вольтамперной характеристики. Поэтому для т.В R1диф<0, а для т.А и т.С R1диф>0. Поэтому для т.А и т.С выполняются одновременно условия, что a1>0 и a2>0. Следовательно в т.А и т.С схема находится в устойчивых состояниях покоя. Рассмотрим состояние покоя для т.В. Для этого запишем, что . Тогда из соотношения (3.36) для этой точки покоя находим:

>0. (3.37)

Для устойчивости рабочей точки по постоянному току должно выполняться условие

. (3.38)

Проверим, выполняется ли условие (3.38). Для этого рассмотрим вольтамперную характеристику и нагрузочную линию (рис.3.25) для данного случая. Как известно, , а . Из (рис.3.25) видно, что , поэтому , а следовательно . Из последнего неравенства следует, что , т.е. условие (3.38) не выполняется. Следовательно, в т.В состояние покоя неустойчивое и цепь все время будет стремиться выйти из данного неустойчивого состояния.

 
 

 

 


Рис.3.25. ВАХ туннельного диода, нагрузочная линия для трех точек

покоя, касательная к ВАХ на падающем участке, определяющая R1диф

 

Мы получили систему с двумя устойчивыми состояниями. Данная схема, при выбранных параметрах, может использоваться как триггер – схема с двумя устойчивыми состояниями (рис.3.26).

 

 

Рис.3.26. Схема триггера на основе схемы с туннельным диодом

 

В схеме рис.3.21 элементы L и C являются паразитными. Чем меньше L и C, тем быстрее осуществляется переход из одного устойчивого состояния в другое.

 

 

Рис.3.27. Графики Uвх(t) и Uвых(t) для триггера на туннельном диоде

Рассматривая работу схемы (рис.3.26) необходимо отметить, если вначале у нас рабочая точка находилась в т.А (рис.3.25), то схема не будет реагировать на любые отрицательные импульсы, и только положительный импульс с амплитудой, которая сможет перевести рабочую точку за неустойчивую точку покоя − т.В, переведет схему во второе устойчивое состояние в − т.С. Аналогично, если рабочая точка находится в точке − т.С, до тех пор пока на вход не прийдет отрицательный сигнал, амплитудой, способной перевести состояние системы за точку покоя − т.В, цепь не будет реагировать на любые импульсы. Если величина амплитуды отрицательного импульса будет достаточна для изменения состояния системы, на триггере установится устойчивое состояние в точке − т.А.

 

Случай 2. Рассмотрим случай когда существует только одна точка покоя − т.В (рис.3.23), расположенная на падающем участке вольтамперной характеристики. На рис.3.28 показано прохождение нагрузочной линии и касательной к вольтамперной характеристики в точке покоя.

 
 

 

 


 

Рис.3.28. ВАХ туннельного диода и нагрузочная линия для одной точки

покоя на падающем участке, касательная к ВАХ, определяющая R1диф

 

Как и для первого случая, рассмотрение начнем с коэффициента а2. Т.к. точка покоя находится на падающем участке ВАХ, то . Рассматривая рис.3.28, можно сделать вывод, что , т.к. и следовательно, . Поэтому , а из (3.33) следует, что . Следовательно сделать вывод о поведении системы можно из рассмотрения коэффициента а1. В зависимости от параметров определяюших коэффициент а1, он может быть как больше, так и меньше нуля. Рассмотрим различные варианты схем, которые при этом реализуются.

Случай 2а − регенеративный усилитель. Пусть , тогда из выражения (3.33) для коэффициента a1 получаем, что а1>0, т.к.

; (3.39)

т.е.

. (3.40)

Учитывая, что - эквивалентное сопротивление параллельного контура при резонансе, тогда условие устойчивости запишем в виде:

. (3.41)

Т.к. коэффициенты а1>0 и а2>0 одновременно, то из критерия устойчивости Раусса-Гурвица следует, что схема в этом случае устойчива.

 

Рис.3.29. Графики ВАХ туннельного диода, нагрузочных линий для

постоянной и переменной составляющей

 

На рис.3.29 представленно расположение нагрузочной линии по переменному и постоянному току, а также пунктиром проведена линия касательная к ВАХ туннельного диода, которая определяет величину . Если параметры схемы такие, что корнями характеристического полинома является пара комплесно-сопряженных корней (а это возможно когда емкость С велика), расположенные в левой полуплоскости оператора (рис.3.30), тогда колебания будут

 
 

 

 


Рис.3.30 Расположение корней, для режима усиления колебаний

 

затухающими и иметь следующий вид (рис.3.31):

. (3.42)

В рассмотренном случае, имеет место регенерация, т.к. наличие отрицательной проводимости G1диф приводит к уменьшению потерь в схеме на туннельном диоде. Поэтому, для этого случая возможно получить усиление сигнала, а схема будет представлять собой регенеративный усилитель колебаний (рис.3.32).

 
 

 


 

Рис.3.31. Закон изменения сигнала в регенеративном усилителе на

туннельном диоде

 

 
 

 


Рис.3.32. Схема регенеративного усилителя на туннельном диоде

 

Если рассмотренную цепь использовать для усиления колебаний, необходимо обеспечить устойчивость и положения рабочей точки, и колебаний.

Если цепь использовать для генерирования колебаний, необходимо обеспечить устойчивость рабочей точки и неустойчивость колебаний . Следует заметить, что оба режима использования схемы требуют выполнения условия R2<|R1диф|.

Случай 2б − генератор гармонических колебаний. Считаем, что как и в предыдущем случаи единственная точка покоя располагается на падающем участке ВАХ туннельного диода (рис.3.28), поэтому коэффициент а2>0. Пусть теперь параметры схемы такие, что обеспечивается выполнение следующего соотношения:

,

тогда из равенства (3.33) следует, что а1<0. В соотвествии с критерием Раусса-Гурвица, система стала неустойчивой. Если С велико, то корнями характеристического полинома V(p) будет пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью

.

Поэтому на комплексной плоскости оператора p=δ+jω корни полинома V(p) будут распологаться в правой полуплоскости (рис.3.33), а решение для колебаний на начальной стадии (пока колебания малы и применим метод линеаризации) будут иметь нарастающий характер (рис.3.34).

 

 

 

Рис.3.33. Расположение корней характеристического полинома на

плоскости оператора р для автогенератора гармонических колебаний

 
 

 


Рис.3.34. Начальнай стадия развития колебаний в автогенераторе

гармонических колебаний

 

Закон развития колебаний в автогенераторе на начальной стадии имеет следующий вид:

. (3.43)

Колебания в автогенераторе не могут нарастатить до бесконечной величины. За счет нелинейных свойств вольтамперной характеристики туннельного диода, произойдет ограничение нарастания амплитуды колебаний автогенератора − установятся стационарные колебания. Метод линеаризации дает правильное решение только для начальной стадии развития колебаний, пока амплитуда мала. Как видно из соотношения (3.43), для возникновения режима автоколебаний необходимо устремить R2 к нулю. Вольтамперная характеристика туннельного диода, при расположении точки покоя на падающем участке ВАХ, дает положительную внутреннюю обратную связь. Поэтому схема автогенератора гармонических колебаний (рис.3.35), для получения колебаний не требует создания дополнительной обратной связи.

 
 

 

 


Рис.3.35. Схема автогенератора гармонических колебаний на туннельном

диоде

Случай 2в − генератор релаксационных колебаний (мультивибратор). Пусть, как и в предыдушем случае, выполняется следующее соотношение:

,

тогда из равенства (3.33) следует, что а1<0 и а2>0. Следовательно, система остается не устойчивой. Считаем, что R2=0, а емкость С − мала. В этом случае корни характеристического полинома будут действительными и располагаются в правой полуплоскости (рис.3.36).

 
 

 

 


 

 

Рис.3.36. Расположение корней характеристического полинома для

схемы на туннельном диоде − мультивибратора

 

Закон развития колебаний в автогенераторе релаксационных колебаний на начальной стадии имеет следующий вид:

. (3.44)

Это быстро нарастающие колебания, поэтому в этом положении рабочая точка не может находиться − возникнут автоколебания релаксационного типа. Схема автогенератора релаксационного типа на туннельном диоде − мультивибратора, представлена на рис.3.37. Здесь учтено, что для возникновения колебаний необходимо R2 и C устремить к нулю.

 
 


 

Рис.3.37. Схема мультивибратора на туннельном диоде

 

Для того, чтобы построить эпюры напряжения u(t) и тока i(t), рассмотрим (рис.3.38), на котором представлены графики ВАХ туннельного диода и нагрузочная линия, соответствующие режиму возникновения автоколебаний релаксационного типа. Представим, что момент времени t=0, совпадает с моментом времени подачи напряжения питания Eп на схему (рис.3.37).

 
 

 


 

Рис.3.38. ВАХ и нагрузочная линии для схемы мультивибратора

на туннельном диоде

В момент времени t=0 напряжение Eп возникнет на индуктивности L, ток через индуктивность L начнет нарастать по экспоненциальному закону (рис.3.39) до величины равной , время, за которое произойдет процесс нарастания тока до указанной величины, определяется Rg и L. Т.к. ток, протекающий через индуктивность, совпадает с током, протекающим через туннельный диод, то рабочая точка начнет смещаться по ВАХ туннельного прибора от начальной величины i=0 и u=0 к точке А расположенной на ВАХ туннельного прибора.

 
 

 


Рис.3.39. Эпюры тока и напряжения для схемы мультивибратора

на туннельном диоде

Ток и напряжение на туннельном диоде будут соответствовать эпюрам (рис.3.39) от момента времени t=0 до t=t1. В момент, когда напряжение на туннельном диоде достигнет величины uA, произойдет пробой туннельного диода. Его сопротивление резко возрастет и напряжение на туннельном диоде достигнет величины равной uB. Рабочая точка перескочит на другую ветвь ВАХ туннельного диода. Напряжение на туннельном диоде превысит напряжение источника uB>Eп (рис.3.38), и начнется процесс перезаряда индуктивности L. Рабочая точка начнет смещаться по ВАХ туннельного диода от т.В к т.С, а эпюры напряжения и тока располагаются от момента времени t1 до момента t2 (рис.3.39). В момент времени t2 рабочая точка сместится по ВАХ в т.С. В этот момент времени произойдет резкое уменьшение сопротивления туннельного диода, рабочая точка перескочит в точку D, а напряжение на туннельном диоде станет равным uD. Теперь напряжение на туннельном диоде опять стало меньше напряжения питания uD<Eп, начнется новый процесс заряда индуктивности L, рабочая точка начнет смещаться от точки D к т.А, а эпюры напряжения, соответствующие этому процессу, расположены от моментов времени t2 до t3 (рис.3.39). Процесс будет повторяться сначала. Мы получили мультивибратор напряжение и ток на котором представлены на (рис.3.39).

Случай 3 – одновибратор (формирователь положительных импульсов). Рассмотрим вариант, когда сушествует одна точка, покоя, распологающаяся на нарастающем участке ВАХ туннельного диода (рис.3.40).

 
 

 


Рис.3.40. ВАХ и нагрузочная линии для схемы одновибратора

на туннельном диоде

 

Т.к. рабочая точка А находится на возростающем участке ВАХ туннельного диода, то G1диф>0, поэтому из равенства (3.33) следует, что а1>0 и а2>0. Следовательно, из критерия Раусса-Гурвица следует, что система в точке покоя т.А устойчива и будет там находиться сколь угодно долго. В случае, когда L велико, а C мало мы можем получить одновибратор или недовозбужденный мультивибратор.

Схема одновибратора показана на (рис.3.41).

 

 

Рис.3.41. Схема одновибратора на туннельном диоде

 
 

 


 

Рис.3.42. Эпюры напряжений одновибратра на туннельном диоде

 

При подаче на вход схемы (рис.3.41) импульса отрицательной полярности, схема на него реагировать не будет, т.к. она находится в устойчивом состоянии покоя. При подаче на вход импульса положительной полярности, только при приходе импульса величиной достаточной, чтобы перевести рабочую точку за точку В, рабочая точка совершит один цикл по пути т.А → т.В → т.С → т.D → т.E → т.A. Таким образом, сформировался положительный прямоугольный импульс и теперь, только по приходу следуюшего прямоугольного импульса достаточной амплитуды, сформируется следующий прямоугольный импульс.

Случай 4 – одновибратор (формирователя импульсов отрицательной полярности). Еще одной разновидностью одновибратора, является случай 4 на (рис.3.23).

 
 

 


 

Рис.3.43. ВАХ и нагрузочная линия для схемы одновибратора

на туннельном диоде

 

 
 


Рис.3.44. Эпюры напряжений одновибратра на туннельном диоде

 

Так же как и в предыдущем случае, система устойчива. В соответствии с условиями критерия Раусса-Гурвица, т.к. G1диф>0, поэтому коэффициенты а1>0 и а2>0. Если на вход схемы рис.3.41 подать импульс отрицательной полярности, амплитудой достаточной для того, чтобы переместить рабочую точку, за точку В, рабочая точка пройдет по пути т.А → т.В → т.С → т.D → т.E → т.A и у нас сформируется прямоугольный импульс отрицательной полярности (рис.3.44). Система вернется в устойчивое состояние покоя т.А, и будет находиться там как угодно долго, пока следующий отрицательный импульс не приведет к новому формированию прямоугольного отрицательного импульса.

Метод линеаризации позволил выяснить условие, при котором в цепи могут возникнуть автоколебания, но этот метод не дает возможности определить амплитуду установившихся колебаний. С этой задачей справится метод гармоничной линеаризации.

 

§3.7. Метод гармонической линеаризации (МГЛ)

 

Метод МГЛ применим для исследования как свободных, так и вынужденных колебаний в нелинейных цепях (системах) (рис.3.45).

Идея метода:если за счет фильтрующих свойств нелинейной системы, колебания в ней близки к гармоническим, то нелинейные элементы в такой

 

 

 


 

Рис.3.45. Нелинейная цепь

системе можно заменить эквивалентными линейными элементами с параметрами, соответствующими данному режиму гармонических колебаний. Метод применим для исследования стационарных процессов близких к гармоническим в нелинейных системах с ярко выраженными резонансными свойствами. После замены нелинейных элементов линейными, колебания в цепи могут исследоваться любым из методов линейной теории.

 

§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов

 

Рассмотрим нелинейный элемент – нелинейное сопротивление (рис.3.46). Ток задан ВАХ нелинейного элемента. Пусть напряжение, приложенное к обоим

 
 

 


Рис.3.46. Нелинейный элемент проводимость и эквивалентное

ему линейная проводимость

 

элементам, является гармоническим (в силу резонансных свойств внешней к нелинейному сопротивлению цепи)

= φ (Ucosω 0t) = cosnω0t, = GэквUcosω0t, (3.44)

где . (3.45)

Если нелинейная система включает в себя резонансный контур, то за счет резонансных свойств контура из всех гармоник существенной будет, лишь составляющая основной частоты ω0. Следовательно, ток i в нелинейном контуре есть

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Колебания и волны

Хнациональный университет.. имени в н каразина.. радиофизический факультет кафедра прикладной электродинамики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Анализ колебаний в нелинейных цепях

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях
Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин Uc(0) и il(0); Ø составляем схему цеп

Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин Uc(0) и iL(0); Ø составляем схему цеп

Алгоритм решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии
Ø определяем начальные условия Ø записываем неоднородные дифференциальные уравнения (1.41) или (1.42) для конкретных начальных условий Ø решаем неоднородное д

Линейные параметрические цепи
§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи   В линейных инвариантных цепях проходит только деформация спектра, т.е.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги