рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях

Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях - раздел Механика, Колебания и волны ø Анализируем Состояние Цепи В Момент Времени T = 0 И Определяем Начал...

Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин Uc(0) и il(0);

Ø составляем схему цепи в операторных параметрах. Нулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками;

Ø выбираем метод и записываем систему уравнений (или одно уравнение) в операторной форме;

Ø находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов (1.23);

Ø исследуем характеристический многочлен. Находим значения его нулей на комплексной плоскости. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица (1.31);

Ø определяем структуру решения на основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения нулей V(p);

Ø определяем коэффициенты Sk, Sl ψl решения (1.25) и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции;

Ø анализируем полученный результат.

 

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих алгоритм исследования процессов свободных колебаний и критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

 

Пример 1.1. КОНТУР УДАРНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

 

Пусть в цепи (рис.1.1) в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода равен I0. Пренебрегая влиянием разделительной емкости Cp (т.к. CpC) найти выходное напряжение Uвых(t) при

 

t0. Eп

1) Определяем начальные условия

 

Sупр iL(0)= I0; uc(0)= 0

Ср

 

L C R uвых(t)

 

 

Рис.1.1. Контур ударного возбуждения

 

2) Составляем схему в операторных параметрах

U(p) = Uвых(p)

 

 

Рис.1.2. Эквивалентная схема контура ударного возбуждения для

операторных величин

 

3) Записываем узловое уравнение для изображения напряжения U(p)

(pC + G + 1pL ) U(p) = I0 ⁄ p

4) Записываем решение уравнения

U(p)=,где>0; >0

5) Исследуем характеристический многочлен V(p)= p2 + 2δp + . Его корни p1,2 = -δ ± , при условии (контур колебательный), являются парой комплексно-сопряженных величин p1,2 = - , где = . Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно - цепь является устойчивой.

6) На основании общего решения задачи о свободных колебаниях, записываем структуру решения

Uвых(t) = U1e –δt cos (ω1t + ψ1 ) , (t 0)

7) Определяем коэффициенты решения U1 и ψ1

U1 = 2= ; ψ1 = arg = -

8) Записываем решение в окончательном виде

Uвых = , (t0)

9) Анализируем полученный результат. Выходной сигнал Uвых(t) (рис.1.3) представляет собой затухающее синусоидальное колебание начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I0, частота меньше резонансного значения ω0; скорость убывания колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы) и т.д.

Uвых(t)

 

t

 

Рис.1.3. Закон изменения Uвых(t) в контуре ударного возбуждения

 

Пример 1.2. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ

Данная цепь – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.1.4). Найти условия при которых в цепи возникают автоколебания и определить их характер.

 

 

б)

 

а) Рис.1.4. Автогенератор гармонических колебаний (а – электрическая схема, б – эквивалентная схема для операторных величин)

 

1) Начальные условия – нулевые, но предположим, что в момент времени t = 0 произошло очень малое изменение тока ЭП (флуктуация) и, следовательно, тока индуктивности. Пусть изображение этой флуктуации представляется источником токас задающей величиной J0(t).

2) Составляем схему цепи в операторных параметрах (1.14.б).

3) Записываем узловое уравнение

( pC + Gi + ) U(p) = nSU(p) + J0(p)

Преобразуем его к виду

( pC + Gi ─ nS + ) U(p) = J0(p)

4) Записываем решение уравнения

U(p) = , где 0; 0

5) Исследуем характеристический многочлен V(p) = p2 + 2δp + . Его корни p1,2 = -при условии (контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных величин , где . При GnS действительная часть корней отрицательна и, следовательно, цепь устойчива. При GnS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива, а свободные колебания описываются выражением

U(p) = U1, (t 0).

6) Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если GnS, то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины до значений при которых наступает ограничение нарастания амплитуды колебаний, связанное с нелинейными областями ВАХ ЭП (вольтамперная характеристика электронного прибора) (рис.1.5). Скорость нарастания колебаний тем больше, чем больше S и n, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний частоты ω1.

 

Рис.1.5. График изменения напряжения Uвых(t), где f =

 

Пример 1.3. РЕЖИМ РАБОТЫ ЦЕПИ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ

 

Рассматривается цепь (рис.1.6.) с туннельным диодом ВАХ которого задана графиком (рис.1.7.). Нагрузочная линия в режиме покоя пересекает ВАХ диода в трех точках (случай 1) или в одной точке (случай 2). В точке покоя А значение крутизны ВАХ gа = , в точках Б и С gб,с0. В зависимости от параметров цепи R, L, C и Eп могут возникнуть следующие режимы работы схемы цепи с туннельным диодом – триггерный, усилительный и автоколебательный. Найдем условия, при которых осуществляется тот или иной режим работы и определим характер свободных колебаний в линейной области работы цепи с туннельным диодом.

 

 

а) б)

Рис.1.6. Схема цепи с туннельным диодом для режима колебаний (а – электрическая схема, б–эквивалентная схема)

i=φ(u)

I0 u

Рис.1.7. Графики ВАХ туннельного диода и нагрузочной линии

 

1) Пусть начальные условия – не нулевые, имеющие определенный или флуктуационный характер. Представим их изображением источника напряжения E0(p).

2) Составим схему линеаризованной цепи в операторных параметрах справедливую для малых окрестностей рабочих точек А, Б и С.

 
 

 


Рис.1.8. Эквивалентная схема цепи с туннельным диодом в операторных величинах

3) Записываем контурное уравнение

.

4) Записываем решение данного уравнения в следующем виде

, где =.

5) Исследуем характеристический многочлен цепи при различных соотношениях параметров. Обозначим ; , тогда .

В соответствии с критерием Раусса-Гурвица цепь устойчива, если

и =a1a20, т.е. если a10 и a20 одновременно. Т.к. в районе точек Б и С дифференциальная проводимость туннельного диода GБ,С0, а в районе точки А - GА0 , то продолжаем исследовать устойчивость цепи для точки А (в окрестностях точек Б и С цепь устойчива, что следует из выражения для констант a1 и a2).

Случай 1: , тогда a20, цепь неустойчива. Замечаем, что при условии нагрузочная линия пересекает ВАХ ЭП в трех точках и при возникновении малейшей флуктуации тока произойдет переход состояния цепи из точки А точку Б или С. В любой из точек Б или С состояние цепи устойчиво.

Один из корней характеристического полинома V(p) положителен, т.е. p1=+δ1. Поэтому свободное колебание, соответствующее переходу в устойчивое состояние, на начальном этапе будет экспоненциально нарастающим. Следовательно

i(t)= через достаточный момент времени t (t›0).

В рассмотренном случае цепь характеризуется двумя устойчивыми состояниями и может использоваться в качестве триггера. Переход цепи из одного устойчивого состояния в другое можно осуществить управляющими импульсами той или иной полярности, прикладываемыми к диоду.

Случай 2: a1›0; a2›0 – цепь в точке А устойчива, характеристический многочлен имеет пару комплексно-сопряженных корней:

p1,2 = - ,

свободные колебания являются затухающими и описываются выражением

i(t)= , (t≥0).

Компенсирующее слагаемое в показателе экспоненты указывает на режим регенеративного усиления в цепи.

Случай 3: a1‹ 0; a2› 0 – цепь неустойчива, корни определяются выражением

p1,2 =

и при условии , являются парой комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью p1,2 = +δ ± iω. Тогда свободные колебания на начальном этапе определяются выражением i(t)= , описывающим нарастание колебаний в автогенераторе. Спустя некоторое время в цепи установятся гармонические автоколебания частоты =.

Если же , то оба корня V(p) вещественны, причем один положительный p1 = -δ1, а другой - отрицательный p2 = δ2. Свободные колебания на начальной стадии определяются выражением

i(t)= ,

в котором существенным является первый член. При указанных условиях в цепи будут существовать релаксационные автоколебания, т.е. цепь будет представлять собой генератор релаксационных колебаний – мультивибратор.

Итак, в рассмотренном примере в зависимости от соотношения параметров R, GA, C и L цепь с туннельным диодом может быть либо автогенератором гармонических колебаний, либо генератором релаксационных колебаний – мультивибратором, либо регенеративным усилителем.

 

§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь

Пусть ко входу линейной инвариантной устойчивой цепи в момент времени t=0 приложен входной сигнал Sвх(t), являющийся функцией-оригиналом. И пусть имеется единственное заданное воздействие Sвх(t), приложенное к какой-либо части системы, а определению подлежит единственный отклик системы Sвых(t) в той или другой ее части. Начальные условия нулевые. Выберем метод и составим систему уравнений в операторных величинах.

Используя метод контурных токов или метод узловых напряжений, составим уравнение или систему алгебраических уравнений в операторной форме:

(1.32)

.

Эта система уравнений является алгебраической, ее решение относительно искомого колебания строится на основе правила Кра­мера и приводится к виду:

(1.33)

где – Δ(р) – определитель системы уравнений; Δkl(р) алгеб­раическое дополнение, в котором индекс k указывает ту часть цепи, где действует источник входного сигнала, индекс l – указывает ту часть цепи, где наблюдается выходной сигнал; А(р) – сомножитель, присут­ствующий в решении в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве искомых при составлении уравнений; Т(р) – сомножитель, свя­зывающий изображения входного и выходного сигналов и называемый операторной передаточной функцией цепи. Если k=l (выходной сигнал рассматривается там же, где действует входной сигнал), то Т(р) является либо операторным входным сопротивлением цепи Zвх(р), либо операторной входной проводимостью Yвх(р).

Операторная передаточная функция линейной цепи Т(р) является ее важнейшей характеристикой. В ней содержится вся информация о составе цепи, а также о свойствах цепи передавать и преобразовывать сигналы. В связи с этим в тео­рии цепей исследованию T(р) уделяется много внимания, особен­но при решении задач синтеза цепей. Сечение функций Т(р) вдоль мнимой оси комплексной плоскости (р=jω) приводит к комп­лексной передаточной функции Т(р)|p==Т(ω), а обратное преобразование Лапласа для Т(р) определяет импульсную функцию цепи Z-1[T(р)]=g(t) - отклик цепи на воздействие вида Sвх(t)=δ(t).

Обратное преобразование Лапласа для Sвых(р) можно осу­ществить различными способами и получить при этом разные пред­ставления искомого выходного колебания.

Применение к выражению Sвых(p)=Т(р)Sвх(p) свойства (1.9) приводит к решению задачи в форме интеграла наложения:

(1.34)

Вычислять Т(р) при этом не нужно.

Заметим, что T(p) является дробно-рациональной функцией, T(p)=M(p)/V(p), где V(p) - характеристический многочлен цепи, а Sвх(р) для большинства сигналов либо отношение мно­гочленов, либо отношение целой функции к многочлену Sвх(р)=N(p)/W(p). Поэтому - тоже либо отношение многочленов, либо отношение целой функции к многочле­ну и, следовательно, обратное преобразование Лапласа в случае простых полюсов изображения Sвых(p) имеет вид:

(t≥0), (1.35)

где pk - нули многочленов W(р) и V (р). В этой сумме нули, относящиеся к характеристическому многочлену цепи V(p), определяют собственные колебания цепи, а корни многочлена W(p), связанного с изображением воздействия, опре­деляют вынужденные колебания. Собственные колебания цепи уже рас­сматривались, в связи с задачей анализа свободных колеба­ний, но в данном случае они возникают при возбуждении цепи вход­ным сигналом. Для устойчивых цепей собственные колебания носят затухающий характер. Вынужденные колебания в зависимости от ха­рактера воздействия Sвх(t) могут оказаться затухающими, нарастающими и стационарными. Поэтому корни W(p) могут распо­лагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях, а также на мнимой оси.

В случае простых полюсов Sвых(p) решение задачи анализа вынужденных колебаний в общем виде определяется формулой:

(t≥0) , (1.36)

где первая сумма обусловлена действительными нулями pкк > 0 или pкк < 0 полиномов V(p) и W(p), вторая - парами комплексно-сопряженных нулей рlll, а величины Sk, Sl и Ψl определяются выражениями:

(1.37)

Необходимо уметь решение конкретных задач приводить именно к такому виду и вычислять значения коэффициентов решения Sk, Sl и Ψl.

В теории цепей представляет интерес задача анализа процесса перехода цепи из одного установившегося режима в дру­гой. Такие процессы называют переходными. К установившимся отно­сят режимы: покоя, постоянного тока, гармонических колебаний и периодических колебаний. Из этого определения видно, что свобод­ные колебания - частный случай переходного процесса. В общем случае задача анализа переходных процессов сводится к опреде­лению отклика цепи на воздействие вида Sвх(t)=S0σ (t) или Sвх(t)=S0cos(ω t+Ψ )σ(t), или при ненулевых начальных условиях, которые следует определить, анализируя состояние цепи в исходном, установившемся режиме.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Колебания и волны

Хнациональный университет.. имени в н каразина.. радиофизический факультет кафедра прикладной электродинамики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин Uc(0) и iL(0); Ø составляем схему цеп

Алгоритм решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии
Ø определяем начальные условия Ø записываем неоднородные дифференциальные уравнения (1.41) или (1.42) для конкретных начальных условий Ø решаем неоднородное д

Линейные параметрические цепи
§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи   В линейных инвариантных цепях проходит только деформация спектра, т.е.

Анализ колебаний в нелинейных цепях
Как мы уже отмечали во введении, работа целого класса устройств, цепей и приборов основана на использовании свойств, присущих только нелинейным системам. Только в параметрических и нелинейных систе

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги