Де Dх і Dр – невизначеності у величинах відповідно координати й імпульсу.

Приклад 1. Оцініть швидкість електрона в атомі.

Розв’язання. Приймемо в співвідношенні невизначеностей Dх рівною порядку розміру атома: Dх »1 Å= =10^-10 м. Знаходимо невизначеність імпульсу для такого стану електрона:

Dрh /2p × Dх = 6,63×10^-34 /2 ×3,14 × 10^-10 = 1,06 × 10^-24 Дж×с/м.

Далі, враховуючи значення маси електрона (кг), знаходимо невизначеність його швидкості:

Dv = Dр / m_ē = 1,06× 10^-24/ 9,1× 10^-31 = 1,16× 10⁶ м/с.

Швидкість не може бути меншою своєї невизначеності. Отже вона більша за 1,16×10⁶ м/с, і це значення можна оціночно прийняти за швидкість електрона в атомі. Зверніть увагу, що вона більш ніж на два порядки менша максимальної швидкості у природі – швидкості світла (с = 3×10⁸м/с). Поясніть, чому при розгляді електронної структури атомів зневажають хвильовими властивостями ядра. Довжина хвилі якої мікрочастинки визначає розмір атома? Що таке атомна орбіталь електрона і як це поняття співвідноситься з класичним поняттям орбіти?

Стан мікрочастинки, а також системи частинок, цілком визначається хвильовою функцією Ψ (читається: "псі"). У звичайному, так званому координатному, представленні Ψ – функція, що залежить від координат і часу : Ψ = Ψ(x, y, z, t). У загальному випадку Ψ – комплексна функція, зокрема, вона може приймати позитивні і негативні дійсні значення. Фізичний зміст має квадрат модуля хвильової функції |Ψ|² – це густина ймовірності виявлення частинки у точці з координатами x, y, z. Це означає, що ймовірність знайти частинку у деякому малому об’ємі dV дорівнює |Ψ|²×dV Хвильову функцію знаходять із розв’язання рівняння Шредингера – основного рівняння квантової механіки.

Так, для частинки масою m , що рухається у потенційному полі (наприклад, електрон у полі електричного притягання ядра атома водню), рівняння Шредингера має вигляд

,

де U – потенційна , а E – повна енергія частинки.

Як диференційне рівняння в частинних похідних, рівняння Шредингера при E < 0 (тобто якщо електрон не відірваний від атома ) має не безперервний, а дискретний набір рішень: Ψ₁, Ψ_2, Ψ₃ , … . Цьому відповідає дискретний ряд (квантованість) можливих значень енергії електрона, моменту його орбітального імпульсу (кількості руху), проекції цього моменту на деякий виділений напрямок.

Квантованість станів электрона в атомі відображають квантові числа, які можна розглядати як набір номерів рішень рівняння Шредингера. Особливу увагу варто приділити фізичному змісту і можливим значенням квантових чисел (див. табл.1). Зверніть увагу на прийняті буквені позначення підрівнів.

Таблиця 1

Основні властивості квантових чисел електрона в атомі

Квантове число	Можливе значення	Число можливих значень	Физичний зміст (що визначає квантове число)
Головне n	1, 2, 3, 4… K,L,M,N...	∞	Енергію електрона на даному рівні. Середню відстань електрона від атомного ядра (розмір електронної хмари). Порядковий номер енерге-тичного рівня (електронної оболонки, шару).
Орбіталь-не (побі-чне) l	0,1,2,...(n-1) s,р,d, f...	N	Орбітальний момент імпуль-су і магнітний момент електрона. Енергію електро-на на підрівні даного рівня багатоелектронного атома. Форму орбіталі. Енергетич-ний підрівень.
Магнітне m­l	-l … 0 … +l	( 2l+1 )	Проекцію орбітального моменту на виділений напрямок. Просторову орієн-тацію орбіталі (електронної хмари).
Спінове m­s	+½ і -½		Власний момент імпульсу і магнітний момент електрона (один із двох можливих способів “обертання” електрона).

Проаналізувавши вміст таблиці, спробуйте відповісти на такі питання: які квантові числа та чи у однаковій мірі визначають енергію електрона в атомі? Які енергетичні рівні не мають: а) p-, б) d-, в) f- підрівнів? Чи можлива відсутність на рівнях s-підрівня? Скільки різних орієнтацій можуть мати орбіталі d-підрівня?

Кожен дозволений стан електрона в атомі характеризується конкретним набором усіх чотирьох квантових чисел. Припустимий набір перших двох квантових чисел (n і l) визначає конкретний підрівень, тобто підрівень розглянутого енергетичного рівня. При цьому використовуються буквені позначення для орбітального квантового числа (табл.1): 2s (n=2, l=0), 2p (n=2, l=1), 3d (n=3, l=2).

Допустимий набір перших трьох квантових чисел однозначно визначає атомну орбіталь (АО) електрона:

Вказуючи атомну орбіталь, до позначення підрівня додають підрядковий індекс, що показує її орієнтацію щодо осей координат і відповідає визначеному значенню m_l. Якщо орієнтація спеціально не вказується, індекс опускають, наприклад, 3d- або d-орбіталі. На графічних схемах АО позначають умовно "квантовими комірками" 1, а електрони – стрілками, що дає можливість розрізняти орієнтацію їх спінів:

( m­_s = +½ ) та ( m­_s = -½ ).

Приклад 2. Складіть графічну схему орбіталей 4-го енергетичного рівня.

Розв’язання. При n = 4 можливі наступні значення l = 0, 1, 2, 3. Відповідно цьому, 4-й рівень включає s-, p-, d- і f – підрівні (табл.1). Комірки, що зображують орбіталі одного підрівня, розташовуємо поруч по горизонталі, тому що енергія електронів на них однакова. Число орбіталей-комірок на підрівні дорівнює числу можливих значень m_l, тобто (2l +1) або одна на s-, три на p-, п'ять на d- і сім на f-підрівнях. Значення m_l записуємо під кожною з комірок. Розв’язок виглядає в такий спосіб:

Порядок заповнення орбіталей у багатоелектронних атомах визначається двома основними принципами: принципом найменшої енергії і принципом Паулі. По першому з них, електрони в незбуджених атомах займають ті АО, на яких їх енергія найменша.

За принципом Паулі (в атомі не може бути двох електронів з однаковим набором усіх чотирьох квантових чисел) на одній орбіталі не може бути більше двох електронів. Допускаються лише такі чотири варіанти заповнення кожної окремої АО:

(вільна АО) (пара з протилежними спінами)

Звідси можна послідовно визначити електронну ємність (максимально можливе число електронів) рівнів і підрівнів (табл.2).

Таблиця 2.