АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

 

Рассмотрим водородоподобный атом во внешнем поле. На самом деле результаты, получаемые ниже, справедливы для произвольного атома, если сделать замены l®L, s®S, j®J, где большими буквами обозначены соответствующие моменты атома в целом, которые складываются из моментов отдельных электронов.

Как мы видели, гамильтониан электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами А₀ и А задается в нерелятивистском приближении выражением

+е- sH.

Повозимся немножко с первым членом:

.

 

Чтобы снять знак вопроса, вычисляем коммутатор

,

т.е.

.

 

Таким образом, для коммутативности необходимо и достаточно

divA= 0.

Но в стационарном случае именно так и записывается дополнительное условие Лоренца, накладываемое на потенциалы, которое считаем выполненным (в противном случае можно совершить подходящее калибровочное преобразование). Это - электродинамика! Итак, можно записать

,

 

где мы пренебрегли квадратичным по А² членом, считая магнитное поле Н достаточно слабым (при реальных полях это пренебрежение всегда оправдано).

Пусть теперь поле Н - однородное, что также всегда оправдано, ибо нас интересует его изменение на атомных размерах, а здесь, конечно, никакого изменения нет. Для однородного поля можно положить

=1/2[H´r],

 

в чем можно убедиться тривиально, вычисляя rot A , который будет как раз Н. Элементарно проверяется и равенство div A = 0 для этого А. Поэтому в данном случае

.

 

Учитываем тождество, несомненно справедливое при Н=const:

.

 

После подстановки в гамильтониан найдем

,

 

где введены магнитные моменты - спиновый m_s и орбитальный m_l

.

 

И все-таки для дальнейшего их удобно вновь выразить через механические моменты. Окончательно для гамильтониана водородоподобного атома в достаточно слабом и однородном магнитном поле получаем:

.

Рассматриваем как невозмущенный гамильтониан, а как малое возмущение. Считаем поле направленным вдоль оси z и достаточно слабым:

1. можно пренебречь квадратичным членом (что уже сделали );

2. зеемановское расщепление много меньше тонкого расщепления.

Даже в отсутствие Н векторы Lи S не сохраняются, а потому стационарным состояниям нельзя сопоставить квантовые числа l, m_l, s, m_s. Но без поля есть центральная симметрия, и J сохраняется. Поэтому стационарные состояния характеризуем четверкой чисел

l, s, j, m_j º m.

Все направления равноправны, а потому в нулевом приближении каждый уровень с заданными l, s, j вырожден по m, причем с кратностью 2j+1 . При включении магнитного поля выделяется направление z (H),и каждый уровень расщепляется на 2j+1 подуровней.

Чтобы упростить теорию возмущений, т.е. формально как бы не учитывать вырождение, будем характеризовать и невозмущенные состояния теми же квантовыми числами - это отвечает правильному выбору нулевых волновых функций. Тогда в первом порядке величины расщепления есть

,

где усреднение проводится по невозмущенным состояниям с определенными значениями l, j, s, но главное - m, от которых и зависит величина расщепления.

Среднее значение в родном состоянии есть

áJ_zñ = m, (выделено в )

и задача свелась к вычислению среднего от . Для этого заметим, что в отсутствие поля сохраняется только вектор J и ничего более, а потому только он задает выделенное направление, а потому только вдоль него и может быть направлен вектор áSñ:

áSñ = gJ.

Для отыскания g умножаем на постоянный вектор J:

 

JáSñ = áJSñ = gJ² = g= gj(j+1),

откуда

g = ,

и

áS_zñ = gáJ_zñ = gm = áJSñ.

 

Чтобы найти áJSñ, возьмем равенство , возведем его в квадрат и получим

.

 

Средние от операторов в их родных состояниях равны просто собственным значениям, и потому получаем

áJSñ = 1/2{j(j +1) - l(l +1) - s(s + 1)},

откуда

áS_zñ = {j(j + 1) - l(l + 1) - s(s + 1)}.

 

Подставляя найденные значения áS_zñ и áJ_zñ в DЕ, найдем

DЕ _lsjm = -{m +[j(j +1) - l(l + 1) - s(s + 1)]},

или, окончательно

DЕ _nlsj;m = -gm,

где величина

 

называется фактором Ланде. В частности, при s=0 (для электрона и водорода это не бывает, но для других атомов сколько угодно) g=1, и

DЕ _m = Hm º m_BHm.

 

Как это все сказывается на спектральных линиях? Обозначим частоту перехода между какими-то нерасщепленными в отсутствие поля уровнями Е₁⁽⁰⁾ и Е₂⁽⁰⁾ через w₀ . При наличии поля получим

(w₀ + Dw) = (E₁⁽⁰⁾ + DE₁) - (E₂⁽⁰⁾ + DЕ₂).

Принимая во внимание, что

 

Е₁⁽⁰⁾ - Е₂⁽⁰⁾ = w₀ ,

найдем

Dw = (g₁m₁ - g₂m₂).

 

Таким образом, вместо одной линии получится несколько - в зависимости от значений факторов Ланде (при перечислении всех частот нужно использовать правила отбора Dm=0,±1, которые будут доказаны потом). В частности, если спина нет, то, учитывая правила отбора по m , сразу получим

Dw = Dm = (0,±1),

 

т.е. исходная линия с частотой w₀ расщепится на три с частотами

 

w₁= w₀-, w₂ = w₀, w₃ = w₀+

 

Это есть нормальный эффект Зеемана, объясненный Лоренцом еще в рамках классической физики.

Но на самом-то деле нормальным является общий эффект Зеемана, который по историческим причинам называется аномальным - расщепление на большее число линий и с другими интервалами. Он поставил в тупик всех физиков в 20-е г.г., когда начала создаваться квантовая механика. У Паули тогда кто-то спросил, почему он такой грустный и растерянный. «Но каким может быть человек, думающий об аномальном эффекте Зеемана?» Все прояснилось после гипотезы Паули об «удвоении» числа состояний электрона, а окончательно - после введения спина.

Рассмотрение проводилось в предположении слабости поля. Что это такое? Мы говорили, что величина зеемановского расщепления должна быть много меньше расстояния между соседними уровнями тонкой структуры, а это значит

 

.

 

Для водорода минимальное расстояние между уровнями тонкой структуры составляет величину порядка 10^-17 эрг. Учитывая, что магнетон Бора по порядку величины есть 10^-20 эрг, получим, что все будет хорошо при полях Н< 1000 Эрстед.

А что дальше? Если DЕ велико по сравнению с тонким расщеплением, то говорят о сильном магнитном поле. В нем разрывается связь спина и орбитального моментов, и они взаимодействуют с магнитным полем независимо, причем сохраняются. Тогда правильными волновыми функциями нулевого приближения будут функции с квантовыми числами . Величина расщепления в этих состояниях

 

вычисляется сразу, так как состояния - родные для :

.

 

Так как действует еще правило отбора Dm_s = 0, то в спектре мы увидим вновь три линии, т.е. в сильных полях аномальный эффект Зеемана всегда превращается в нормальный. Это называется эффект Пашена-Бака. Из формулы для DЕ видно, что каждый уровень Е_nl⁽⁰⁾ расщепляется на 2+3 равноотстоящих компонентов, отвечающих 2+3 возможным значениям суммы . Поскольку m_s=±1/2, то при данном значениями будут +1, , -1,...,-(+1). Из этих компонентов два высших и два низших не вырождены, а остальные двукратно вырождены в соответствии с двумя возможными способами получения одного :

= .