Зонная теория твердого тела
Лекция 4-5
4. Зонная теория твердого тела
4.1. Уравнение Шредингера для твердого тела
Любое твердое тело состоит из атомов, т.е. представляет собой совокупность ядер и электронов. В кристаллических твердых телах ядра атомов располагаются в узлах кристаллической решетки, обладающей пространственной периодичностью.
Стационарные состояния всех частиц описываются уравнением Шредингера:
, (4.1)
где 
- гамильтониан всей совокупности частиц, 
-собственная волновая функция; Е - энергия твердого тела.
Обозначим 
1, 2 …- радиус-векторы электронов, а 
1, 2 …- радиус-векторы ядер. Пусть Мк - масса ядра атома вида к , m - масса электрона.
Гамильтониан системы частиц 
, где 
- оператор кинетической энергии, U – потенциальная энергия системы,
.
Здесь 
- оператор Лапласа для i –той частицы. Первое слагаемое представляет собой оператор кинетической энергии электронов, второе – ядер.
Потенциальная энергия совокупности частиц, составляющих твердое тело - это энергия попарного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами:
.
Волновая функция зависит от координат всех частиц:
.
Если на эту волновую функцию наложить ограничения, вытекающие из ее физического смысла (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а лишь при некоторых. Эти значения Е являются решением уравнения (4.1) и определяют энергетический спектр твердого тела.
Из-за огромного числа независимых переменных уравнение (4.1) не имеет точного решения. Для описания приближенного решения прибегают к ряду упрощений:
- Ядра в кристаллах совершают колебания относительно своих положений равновесия. Электроны же участвуют в поступательно – вращательном движении, при этом их скорость много больше скорости ядер. Приближение, учитывающее различный характер движения ядер и электронов, называется адиабатическим приближением (или приближением Борна- Оппенгеймера).
Самое грубое допущение состоит в том, что ядра покоятся. Тогда уравнение (4.1) принимает вид:
. (4.2)
Оно описывает движение электронов в поле неподвижных ядер.
- Валентная аппроксимация. Считают, что все электроны внутренних оболочек атома образуют вместе с ядром покоящегося атома атомный остаток, то есть ион, и уравнение (4.2) записывают лишь для валентных электронов, которые движутся в некотором результирующем поле неподвижных ионов.